Ще про чотиривектори

Повернімося знову до аналогії між перетворенням Лоренца і поворотом просторових осей. Ми вже переконалися, що корисно збирати воєдино відмінні від координат величини, які перетворюються так само, як і координати; ці об'єднані величини називають векторами, або спрямованими відрізками. За звичайних обертань чимало величин перетворюється достеменно так само, як х, у, z (наприклад, швидкість з трьома компонентами х, у, z); при переході з однієї системи координат в іншу жодна з компонент не лишається колишньою, всі вони набувають нових значень. Але «сама» швидкість, у всякому разі, реальніша за будь-яку зі своїх компонент, і зображуємо ми її спрямованим відрізком. Тепер ми запитаємо: чи існують величини, які перетворюються при переході від нерухомої системи до рухомої так само, як і х, у, z, t? Наш досвід поводження з векторами підказує, що три з цих величин, подібно до х, у, z, могли б становити три компоненти звичайного просторового вектора, а четверта могла б виявитися схожою на звичайний скаляр стосовно просторових обертань: вона б не змінювалася, поки ми не перейдемо в рухому систему координат. Чи можливо, однак, пов'язати з одним із відомих «тривекторів» якийсь четвертий об'єкт (який можна назвати «часовою компонентою») таким чином, щоб уся четвірка «оберталася» точнісінько так само, як змінюються простір і час у просторі-часі? Ми зараз покажемо, що дійсно існує принаймні одна така четвірка (насправді далеко не одна): три компоненти імпульсу й енергія як часова компонента перетворюються разом і утворюють так званий «чотиривектор». Доводячи це, ми позбудемося с тим самим прийомом, який застосовувався в рівнянні (17.4). Наприклад, енергія і маса відрізняються лише множником с², і за належного вибору одиниць вимірювання енергія збіжиться з масою. Замість того щоб писати Е=mс², ми покладемо Е=m. Якщо знадобиться, в остаточних рівняннях можна знову розставити с у потрібних степенях. Отже, рівняння для енергії та імпульсу мають вигляд

Отже, за такого вибору одиниць вийде

Скажімо, якщо енергія виражена в електронвольтах (еВ), то чому дорівнює маса в 1 еВ? Вона дорівнює масі з енергією спокою 1 еВ, тобто m₀с²=1 еВ. В електрона, наприклад, маса спокою дорівнює 0,511*10⁶ еВ. Як же виглядатимуть імпульс і енергія в новій системі координат? Щоб дізнатися це, треба перетворити рівняння (17.6). Це перетворення легко отримати, знаючи, як перетворюється швидкість. Нехай якесь тіло мало швидкість v, а ми спостерігаємо за ним з космічного корабля, який сам має швидкість u, і позначаємо відповідні величини штрихами. Для простоти спершу ми розглянемо випадок, коли швидкість v спрямована вздовж швидкості u. (Більш загальний випадок ми розглянемо пізніше.) Чому дорівнює швидкість тіла v` за вимірюваннями з космічного корабля? Ця швидкість дорівнює «різниці» між v і u. За раніше здобутим нами законом

Тепер підрахуємо, якою виявиться енергія E` за вимірюваннями космонавта. Він, звісно, скористається тією самою масою спокою, зате швидкість стане v`. Він піднесе v` до квадрата, відніме від одиниці, добуде квадратний корінь і знайде обернену величину

Енергія E` просто дорівнює масі m₀, помноженій на цей вираз. Але нам хочеться виразити енергію через нештриховані енергію й імпульс. Ми помічаємо, що

Ми впізнаємо в цьому виразі знайоме нам перетворення

Тепер ми повинні знайти новий імпульс р`<sub>x</sub>. Він дорівнює енергії Е`, помноженій на v`, і так само просто виражається через Е і р:

Отже, перетворення старих енергії та імпульсу на нові енергію та імпульс точнісінько збіглося з перетворенням t і x в t` і x і t в x`: якщо ми в рівняннях (17.4) писатимемо Е щоразу, коли побачимо t, а замість x щоразу підставлятимемо р_x, то рівняння (17.4) перетворяться на рівняння (17.10) і (17.11). Якщо все правильно, то це правило передбачає додаткові рівності р`<sub>y</sub> = р<sub>y</sub> і p`_z=p_z. Щоб їх довести, треба подивитися, як перетворюється рух угору чи вниз. Але якраз у попередньому розділі ми розглянули такий рух. Ми аналізували складне зіткнення і помітили, що поперечний імпульс дійсно не змінюється при переході в рухому систему координат. Отже, ми вже переконалися, що р`<sub>y</sub> = р<sub>y</sub> і p`_z=p_z. Отже, повне перетворення дорівнює

Таким чином, ці перетворення виявили чотири величини, які перетворюються подібно до х, у, z, t. Назвемо їх чотиривектором імпульсу. Оскільки імпульс — це чотиривектор, його можна зобразити на діаграмі простору-часу рухомої частинки у вигляді «стрілки», дотичної до шляху (фіг. 17.4). У цієї стрілки часова компонента дає енергію, а просторові — тривектор імпульсу; сама стрілка «реальніша», ніж лише імпульс або лише енергія: адже й імпульс, і енергія залежать від нашої точки зору.