Розглянуті вище висновки загальної теорії відносності ми отримали в припущенні, що саме поле тяжіння заздалегідь задано. Проте ми добре знаємо, що поле тяжіння створюється матеріальними тілами. Тому вивчення фізичних процесів у «готовому» полі тяжіння не вичерпує всієї задачі; нам потрібно вміти знаходити й саме поле, якщо розподіл матерії в просторі задано.
Класичний закон тяжіння Ньютона стверджує, що сила тяжіння в полі, створеному тілом малих розмірів (матеріальною точкою), спадає обернено пропорційно квадрату відстані від цього тіла. Цього правила досить, щоб обчислити поле тяжіння при цілком довільному розподілі мас. Для цього дані маси розбивають на малі частини, обчислюють силу тяжіння від кожної такої маси окремо, а потім підсумовують здобуті результати, додаючи окремі малі сили за правилом паралелограма. Ця задача — суто математична; і математики чимало потрудилися, щоб зробити її розв'язання зручним та вишуканим. Була розроблена так звана теорія потенціалу, яка в принципі дозволяла розв'язати будь-яку задачу на визначення поля тяжіння. Основу цієї теорії становить рівняння потенціалу — математичне диференціальне рівняння, що є безпосереднім узагальненням закону Ньютона на тіла довільної форми, розмірів і густини.
Попри всю красу й завершеність цієї теорії, розвиток теорії відносності, як ми вже згадували, привів до необхідності її перегляду. І Ейнштейн одразу після створення спеціальної теорії відносності взявся до розв'язання цієї задачі.
Тут насамперед слід зауважити, що на той час ніяких дослідних фактів, які б хоч скільки-небудь певно свідчили про неточність закону Ньютона, не було. Навпаки, дуже великі успіхи небесної механіки, що супроводжувалися такими тріумфами, як передбачення існування нових планет — Нептуна і Плутона,— породжували дедалі більшу впевненість у тому, що закон Ньютона виконується всюди з абсолютною точністю. Зважившись на зміну цього закону, Ейнштейн одразу ж прирік себе на неможливість перевірити свої результати експериментальним шляхом.
Дослідні дані, які могли б підказати, як, у який бік потрібно змінювати теорію Ньютона, були відсутні. Ейнштейн замінив їх математичними ідеями, що їх виробила спеціальна теорія відносності. І найдивовижніше те, що це майже фантастичне підприємство блискуче вдалося.
Після десятирічних пошуків Ейнштейн знайшов нові рівняння тяжіння. Цей науковий подвиг воістину колосальний. Загальна теорія відносності, безперечно, назавжди ввійде в історію науки як одне з найвидатніших досягнень людського розуму. Водночас надзвичайна математизація нової теорії тяжіння створювала враження, що вона вся являє собою цілком довільну побудову, яка не має стосунку до реальної дійсності. Фізики звикли кожен свій теоретичний крок підкріплювати переконливими експериментальними підтвердженнями. На математику й надалі дивилися як на просте знаряддя для обчислень; тим часом у теорії відносності математичні ідеї та методи відіграють не меншу роль, ніж фізичні. Тому спочатку майже ніхто теорії Ейнштейна всерйоз не сприймав.
Тим несподіванішим виявилося її перше експериментальне підтвердження, пов'язане з викривленням світлових променів у полі тяжіння. Не дивно, що воно справило приголомшливе враження. Ставлення фізиків до теорії відносності швидко почало змінюватися; нині вона є необхідною складовою частиною теоретичної фізики.
Рамки цієї книги, звичайно, не дозволяють викласти хоч скільки-небудь повно основні провідні ідеї, за допомогою яких Ейнштейн досяг такого неймовірного успіху. В основних рисах вони зводяться до таких моментів.
По-перше, потрібно було виходити з того, що поле тяжіння повністю визначається масою, енергією та імпульсом матерії, що перебуває в просторі. У теорії Ньютона фігурує лише маса; теорія відносності досить швидко приводить до висновку, що самої маси недостатньо. Поле тяжіння істотно залежить від стану руху матерії та її внутрішньої структури.
По-друге, спеціальна теорія відносності й принцип еквівалентності показують, що поле тяжіння можна повністю визначити формулою власного часу. Тому належало шукати рівняння, які виражали б коефіцієнти цієї формули через масу, енергію й імпульс матерії. Цих коефіцієнтів у загальному випадку налічується десять; отже, ішлося про систему десяти рівнянь з десятьма невідомими.
Дослідження неінерціальних систем відліку показало, що всі фізичні закони допускають загальноковаріантне формулювання; тому й рівняння тяжіння можна було відразу шукати в коваріантному вигляді.
Далі, нові рівняння не повинні, звичайно, вступати в суперечність із теорією Ньютона; це означало, що для слабких полів тяжіння має виходити ньютонівський закон обернених квадратів. Рівняння тяжіння повинні тоді зводитися до класичного рівняння потенціалу.
До цього додавалися міркування про математичний характер шуканих рівнянь. Вони повинні належати до того самого математичного типу, що й рівняння потенціалу; величини, які входять до них, мають при зміні системи відліку перетворюватися за певними законами; вони повинні задовольняти деякі тотожності тощо.
Величезну роль тут відіграла розроблена Ріманом геометрична теорія, про яку ми згадували на початку книги. Виявилося, що основні поняття й співвідношення ріманової геометрії якнайкраще відповідають основним поняттям і співвідношенням теорії відносності. Геометрична мова міцно вкорінилася в цій фізичній теорії. Велике значення в ній має також тензорне числення.
Зрештою виявляється, що всі ці почасти фізичні, почасти математичні міркування призводять до рівнянь Ейнштейна майже з залізною необхідністю.
Основною задачею класичної теорії тяжіння є так звана задача Кеплера. Вона полягає у визначенні руху «планети» навколо «Сонця», тобто руху частинки зникомо малої маси в полі тяжіння, створеному масивним тілом. Її розв'язок усім добре відомий: частинка рухатиметься по еліпсу, в одному з фокусів якого перебуває центральне тіло; швидкість її руху визначається відомим законом площ. Зрозуміло, що Ейнштейн насамперед узявся до розв'язання цієї самої задачі на підставі своїх рівнянь. Виявилося, що її розв'язок мало відрізняється від класичного,— планета рухається по кривій, дуже близькій до еліпса, але цей еліпс не залишається нерухомим у просторі, а повільно обертається в тому самому напрямку, в якому рухається планета (рис. 39), так що з часом планета описує «розетку». Швидкість обертання еліпса тим більша, чим ближче планета до Сонця і чим більш витягнута її орбіта. Обчислення відразу показують, що майже для всіх планет це обертання орбіти безнадійно мале; лише для орбіти Меркурія воно порівняно велике — близько 43 кутових секунд на століття.
Класичний закон тяжіння Ньютона стверджує, що сила тяжіння в полі, створеному тілом малих розмірів (матеріальною точкою), спадає обернено пропорційно квадрату відстані від цього тіла. Цього правила досить, щоб обчислити поле тяжіння при цілком довільному розподілі мас. Для цього дані маси розбивають на малі частини, обчислюють силу тяжіння від кожної такої маси окремо, а потім підсумовують здобуті результати, додаючи окремі малі сили за правилом паралелограма. Ця задача — суто математична; і математики чимало потрудилися, щоб зробити її розв'язання зручним та вишуканим. Була розроблена так звана теорія потенціалу, яка в принципі дозволяла розв'язати будь-яку задачу на визначення поля тяжіння. Основу цієї теорії становить рівняння потенціалу — математичне диференціальне рівняння, що є безпосереднім узагальненням закону Ньютона на тіла довільної форми, розмірів і густини.
Попри всю красу й завершеність цієї теорії, розвиток теорії відносності, як ми вже згадували, привів до необхідності її перегляду. І Ейнштейн одразу після створення спеціальної теорії відносності взявся до розв'язання цієї задачі.
Тут насамперед слід зауважити, що на той час ніяких дослідних фактів, які б хоч скільки-небудь певно свідчили про неточність закону Ньютона, не було. Навпаки, дуже великі успіхи небесної механіки, що супроводжувалися такими тріумфами, як передбачення існування нових планет — Нептуна і Плутона,— породжували дедалі більшу впевненість у тому, що закон Ньютона виконується всюди з абсолютною точністю. Зважившись на зміну цього закону, Ейнштейн одразу ж прирік себе на неможливість перевірити свої результати експериментальним шляхом.
Дослідні дані, які могли б підказати, як, у який бік потрібно змінювати теорію Ньютона, були відсутні. Ейнштейн замінив їх математичними ідеями, що їх виробила спеціальна теорія відносності. І найдивовижніше те, що це майже фантастичне підприємство блискуче вдалося.
Після десятирічних пошуків Ейнштейн знайшов нові рівняння тяжіння. Цей науковий подвиг воістину колосальний. Загальна теорія відносності, безперечно, назавжди ввійде в історію науки як одне з найвидатніших досягнень людського розуму. Водночас надзвичайна математизація нової теорії тяжіння створювала враження, що вона вся являє собою цілком довільну побудову, яка не має стосунку до реальної дійсності. Фізики звикли кожен свій теоретичний крок підкріплювати переконливими експериментальними підтвердженнями. На математику й надалі дивилися як на просте знаряддя для обчислень; тим часом у теорії відносності математичні ідеї та методи відіграють не меншу роль, ніж фізичні. Тому спочатку майже ніхто теорії Ейнштейна всерйоз не сприймав.
Тим несподіванішим виявилося її перше експериментальне підтвердження, пов'язане з викривленням світлових променів у полі тяжіння. Не дивно, що воно справило приголомшливе враження. Ставлення фізиків до теорії відносності швидко почало змінюватися; нині вона є необхідною складовою частиною теоретичної фізики.
Рамки цієї книги, звичайно, не дозволяють викласти хоч скільки-небудь повно основні провідні ідеї, за допомогою яких Ейнштейн досяг такого неймовірного успіху. В основних рисах вони зводяться до таких моментів.
По-перше, потрібно було виходити з того, що поле тяжіння повністю визначається масою, енергією та імпульсом матерії, що перебуває в просторі. У теорії Ньютона фігурує лише маса; теорія відносності досить швидко приводить до висновку, що самої маси недостатньо. Поле тяжіння істотно залежить від стану руху матерії та її внутрішньої структури.
По-друге, спеціальна теорія відносності й принцип еквівалентності показують, що поле тяжіння можна повністю визначити формулою власного часу. Тому належало шукати рівняння, які виражали б коефіцієнти цієї формули через масу, енергію й імпульс матерії. Цих коефіцієнтів у загальному випадку налічується десять; отже, ішлося про систему десяти рівнянь з десятьма невідомими.
Дослідження неінерціальних систем відліку показало, що всі фізичні закони допускають загальноковаріантне формулювання; тому й рівняння тяжіння можна було відразу шукати в коваріантному вигляді.
Далі, нові рівняння не повинні, звичайно, вступати в суперечність із теорією Ньютона; це означало, що для слабких полів тяжіння має виходити ньютонівський закон обернених квадратів. Рівняння тяжіння повинні тоді зводитися до класичного рівняння потенціалу.
До цього додавалися міркування про математичний характер шуканих рівнянь. Вони повинні належати до того самого математичного типу, що й рівняння потенціалу; величини, які входять до них, мають при зміні системи відліку перетворюватися за певними законами; вони повинні задовольняти деякі тотожності тощо.
Величезну роль тут відіграла розроблена Ріманом геометрична теорія, про яку ми згадували на початку книги. Виявилося, що основні поняття й співвідношення ріманової геометрії якнайкраще відповідають основним поняттям і співвідношенням теорії відносності. Геометрична мова міцно вкорінилася в цій фізичній теорії. Велике значення в ній має також тензорне числення.
Зрештою виявляється, що всі ці почасти фізичні, почасти математичні міркування призводять до рівнянь Ейнштейна майже з залізною необхідністю.
Основною задачею класичної теорії тяжіння є так звана задача Кеплера. Вона полягає у визначенні руху «планети» навколо «Сонця», тобто руху частинки зникомо малої маси в полі тяжіння, створеному масивним тілом. Її розв'язок усім добре відомий: частинка рухатиметься по еліпсу, в одному з фокусів якого перебуває центральне тіло; швидкість її руху визначається відомим законом площ. Зрозуміло, що Ейнштейн насамперед узявся до розв'язання цієї самої задачі на підставі своїх рівнянь. Виявилося, що її розв'язок мало відрізняється від класичного,— планета рухається по кривій, дуже близькій до еліпса, але цей еліпс не залишається нерухомим у просторі, а повільно обертається в тому самому напрямку, в якому рухається планета (рис. 39), так що з часом планета описує «розетку». Швидкість обертання еліпса тим більша, чим ближче планета до Сонця і чим більш витягнута її орбіта. Обчислення відразу показують, що майже для всіх планет це обертання орбіти безнадійно мале; лише для орбіти Меркурія воно порівняно велике — близько 43 кутових секунд на століття.
Зображення
Астрономам давно було відомо, що орбіти всіх планет повільно обертаються; проте це обертання не має ніякого стосунку до теорії відносності. Воно пояснюється впливом планет одна на одну.
Притягуючись одна до одної, планети взаємно «збурюють» одна в одної орбіти, що й призводить до зазначеного обертання. Ці збурення астрономи навчилися чудово враховувати; нагадаємо, що Левер'є довів існування Нептуна саме на основі вивчення збурень орбіти Урана.
Орбіта Меркурія повертається на століття на 532", тобто в 12,5 раза швидше, ніж вимагає теорія Ейнштейна. Зрозуміло, що виокремити серед безлічі збурювальних чинників суто релятивістський ефект — задача не з легких. Але ще в середині минулого століття той самий Левер'є спеціально зайнявся дослідженням збурень орбіти Меркурія й дійшов висновку, що не всі вони можуть бути пояснені відомими чинниками. У нього саме залишився «залишок» обертання приблизно в 40" за століття. Він одразу запідозрив існування нової планети, що перебуває до Сонця ще ближче, ніж Меркурій, і навіть дав їй ім'я Вулкан. Проте цього разу славетний обчислювач помилився — жодного Вулкана не існує.
Обчисливши в 1915 році величину обертання орбіти Меркурія, Ейнштейн одразу ж звернув увагу на добрий її збіг з обчисленнями Левер'є. Згодом результати Левер'є неодноразово уточнювалися. Це привело до ще кращої згоди, і нині обертання орбіти Меркурія оцінюється як добре кількісне підтвердження загальної теорії відносності.
Для орбіти Землі ефект обертання становить близько 4" на століття й узгоджується з теорією. Для решти планет точність астрономічних вимірювань поки що не дозволяє зробити хоч скільки-небудь певний висновок. У цьому зв'язку великий інтерес становлять штучні супутники Землі; підрахунки показують, що в них обертання орбіт можуть бути визначені з великою точністю. Цим поки що вичерпуються експериментальні підтвердження теорії тяжіння Ейнштейна, а точніше — її розбіжностей з теорією Ньютона. Водночас не відомо жодного явища, яке б їй суперечило. У майбутньому, за відповідного підвищення точності вимірювань, питання про згоду теорії Ейнштейна з дійсністю стане, сподіваймося, значно визначенішим.
Багато висновків із нового закону тяжіння надзвичайно цікаві. Передусім він цілком розв'язує старе питання про швидкість поширення тяжіння. Виявляється, що тяжіння поширюється зі швидкістю світла. Мало того. Із закону Ейнштейна випливає, що можуть існувати гравітаційні хвилі, тобто коливання поля тяжіння, які поширюються на всі боки, подібно до електромагнітних хвиль. Швидкість цих хвиль також дорівнює швидкості світла. Такі хвилі, між іншим, породжуються під час руху всіма планетами Сонячної системи, так що від неї безперервно розходяться «кола» гравітаційних хвиль. На ці хвилі витрачається деяка енергія. Розрахунки показують, що ця енергія мізерно мала — уся Сонячна система випромінює у вигляді енергії хвиль тяжіння близько 1 кВт. На жаль, гравітаційні хвилі поки що зовсім не піддаються експериментальному дослідженню.
Далі, в теорії Ньютона поле тяжіння залежить тільки від маси тіла, що його створює. Так, поле важкої кулі не залежить від того, обертається ця куля чи ні. У теорії Ейнштейна поле тяжіння істотно залежить від стану руху тіл. Поле тяжіння кулі, що обертається, відрізняється від поля нерухомої кулі тим, що в цьому полі з'являються додаткові, щоправда, дуже слабкі, сили, аналогічні відцентровій силі та силі Коріоліса (сила Коріоліса — це та сама сила, яка на Землі, що обертається, змушує повертатися маятник Фуко, «закручує» циклони в земній атмосфері й змушує ріки в північній півкулі підмивати свій правий берег). Ці додаткові сили швидко спадають із відстанню від центрального тіла — вони обернено пропорційні кубу цієї відстані. Корисно в цьому зв'язку згадати, що «справжні» сили інерції в системі, що обертається, зростають пропорційно відстані від центра.
Є певні підстави сподіватися, що ці результати загальної теорії відносності можуть бути перевірені шляхом спостережень за рухом штучних супутників Землі.
Велике зацікавлення становить питання про енергію поля тяжіння. Якщо ми розглянемо, наприклад, Сонячну систему, то легко виявимо, що сумарна енергія всіх тіл, які до неї входять, безперервно змінюється. Адже планети рухаються навколо Сонця нерівномірно. Згідно із законом площ Кеплера, планета в перигелії, тобто в найближчій до Сонця точці орбіти, рухається швидше, ніж у протилежній точці — афелії. Тому її кінетична енергія безперервно змінюється. Це стосується всіх планет, так що й сумарна енергія всіх планет не залишається сталою.
Класична фізика обходила цю скруту тим, що вводила поняття потенціальної енергії. Планета в афелії має більшу потенціальну енергію, ніж у перигелії; під час її руху сума кінетичної та потенціальної енергії залишається сталою.
Проте при ближчому розгляді поняття потенціальної енергії виявляється далеко не бездоганним. Розглянемо простіший приклад. Нехай на поверхні Землі лежить вантаж. Піднімемо його на деяку висоту й закріпимо його там знову нерухомо. Піднімаючи, ми виконали певну роботу, тобто витратили певну кількість енергії. Куди вона поділася? Кажуть, вона перейшла в потенціальну енергію. Але енергія сама по собі не існує; будь-яка енергія є енергією певного матеріального об'єкта. До якого ж об'єкта належить потенціальна енергія?
Можна спробувати приписати її вантажу. Але ж при підйомі внутрішній стан цього вантажу не змінився; яким він був, лежачи на землі, таким він залишився і після підйому. Доводиться визнати, що енергія тіла може змінюватися без будь-якої зміни його стану. А це суперечить усьому духу сучасної фізики. З тієї самої причини не можна приписати потенціальну енергію й Землі.
Часто кажуть, що потенціальна енергія належить до системи, яка складається із Землі та вантажу, а не до якогось окремого тіла. Але з погляду класичної фізики ця система містить у собі лише два фізичні об'єкти — Землю й вантаж — і будь-яка її енергія може належати або до одного, або до другого тіла, або ж бути якось розподіленою між ними. Як бачимо, ні перше, ні друге, ні третє не можна прийняти безвідмовно.
При переході до теорії відносності справа ще більше ускладнюється. Будь-якій енергії відповідає певна маса; яка ж маса відповідає потенціальній енергії? Ця маса буквально «повисає в повітрі», бо її не можна віднести ні до вантажу, ні до Землі.
В електродинаміці ці питання давно розв'язані. З'ясувалося, що певну енергію необхідно приписати самому електромагнітному полю. Тим самим потенціальну енергію звідти цілком усунуто. Будь-яка енергія є або енергією тіл, або енергією поля. Під час руху заряджених тіл в електромагнітному полі змінюється як енергія цих тіл, так і енергія поля; але загальна сума енергії тіл і поля залишається сталою. Енергія даного об'єму, зайнятого електромагнітним полем, визначається напруженістю поля, а закон збереження енергії є прямим наслідком рівнянь Максвелла.
У теорії тяжіння слід, очевидно, вчинити аналогічно. Полю тяжіння необхідно приписати певну енергію; при цьому треба подбати про те, щоб закон збереження енергії випливав із рівнянь тяжіння. Виявляється, що рівняння Ейнштейна таку операцію допускають, так що й тут потенціальна енергія набуває конкретного змісту енергії поля тяжіння. Водночас одразу виявляється, що енергетичні властивості поля тяжіння багато в чому відрізняються від властивостей інших відомих нам видів матерії.
Маючи справу, наприклад, з рідиною чи газом, ми завжди можемо приписати певну енергію будь-якому їхньому об'єму; те саме стосується й електромагнітного поля. При цьому енергія завжди додатна, а якщо вона в даному об'ємі перетворюється на нуль, то це означає, що тут рідина, газ чи електромагнітне поле просто відсутні. У випадку поля тяжіння справа стоїть інакше. Якщо ми розглянемо в полі тяжіння малий об'єм простору, то за відомими формулами можемо розрахувати енергію поля тяжіння, що міститься там. Але, як відомо, для цього об'єму можна вибрати систему відліку, в якій поле тяжіння зникне; водночас перетвориться на нуль і енергія поля тяжіння. Звідси випливає, що не має сенсу говорити про кількість енергії тяжіння, що міститься в даному об'ємі; можна говорити лише про енергію всього поля тяжіння в цілому. У випадку Сонячної системи ми можемо сформулювати тільки такий закон: загальна енергія всіх тіл системи й загального їхнього поля тяжіння залишається сталою.
Ми говорили тут лише про енергію поля тяжіння; проте все сказане майже дослівно можна повторити і про масу, й про імпульс. Відповідні закони збереження можуть бути сформульовані й для поля тяжіння; при цьому вони також мають такі самі особливості.
Притягуючись одна до одної, планети взаємно «збурюють» одна в одної орбіти, що й призводить до зазначеного обертання. Ці збурення астрономи навчилися чудово враховувати; нагадаємо, що Левер'є довів існування Нептуна саме на основі вивчення збурень орбіти Урана.
Орбіта Меркурія повертається на століття на 532", тобто в 12,5 раза швидше, ніж вимагає теорія Ейнштейна. Зрозуміло, що виокремити серед безлічі збурювальних чинників суто релятивістський ефект — задача не з легких. Але ще в середині минулого століття той самий Левер'є спеціально зайнявся дослідженням збурень орбіти Меркурія й дійшов висновку, що не всі вони можуть бути пояснені відомими чинниками. У нього саме залишився «залишок» обертання приблизно в 40" за століття. Він одразу запідозрив існування нової планети, що перебуває до Сонця ще ближче, ніж Меркурій, і навіть дав їй ім'я Вулкан. Проте цього разу славетний обчислювач помилився — жодного Вулкана не існує.
Обчисливши в 1915 році величину обертання орбіти Меркурія, Ейнштейн одразу ж звернув увагу на добрий її збіг з обчисленнями Левер'є. Згодом результати Левер'є неодноразово уточнювалися. Це привело до ще кращої згоди, і нині обертання орбіти Меркурія оцінюється як добре кількісне підтвердження загальної теорії відносності.
Для орбіти Землі ефект обертання становить близько 4" на століття й узгоджується з теорією. Для решти планет точність астрономічних вимірювань поки що не дозволяє зробити хоч скільки-небудь певний висновок. У цьому зв'язку великий інтерес становлять штучні супутники Землі; підрахунки показують, що в них обертання орбіт можуть бути визначені з великою точністю. Цим поки що вичерпуються експериментальні підтвердження теорії тяжіння Ейнштейна, а точніше — її розбіжностей з теорією Ньютона. Водночас не відомо жодного явища, яке б їй суперечило. У майбутньому, за відповідного підвищення точності вимірювань, питання про згоду теорії Ейнштейна з дійсністю стане, сподіваймося, значно визначенішим.
Багато висновків із нового закону тяжіння надзвичайно цікаві. Передусім він цілком розв'язує старе питання про швидкість поширення тяжіння. Виявляється, що тяжіння поширюється зі швидкістю світла. Мало того. Із закону Ейнштейна випливає, що можуть існувати гравітаційні хвилі, тобто коливання поля тяжіння, які поширюються на всі боки, подібно до електромагнітних хвиль. Швидкість цих хвиль також дорівнює швидкості світла. Такі хвилі, між іншим, породжуються під час руху всіма планетами Сонячної системи, так що від неї безперервно розходяться «кола» гравітаційних хвиль. На ці хвилі витрачається деяка енергія. Розрахунки показують, що ця енергія мізерно мала — уся Сонячна система випромінює у вигляді енергії хвиль тяжіння близько 1 кВт. На жаль, гравітаційні хвилі поки що зовсім не піддаються експериментальному дослідженню.
Далі, в теорії Ньютона поле тяжіння залежить тільки від маси тіла, що його створює. Так, поле важкої кулі не залежить від того, обертається ця куля чи ні. У теорії Ейнштейна поле тяжіння істотно залежить від стану руху тіл. Поле тяжіння кулі, що обертається, відрізняється від поля нерухомої кулі тим, що в цьому полі з'являються додаткові, щоправда, дуже слабкі, сили, аналогічні відцентровій силі та силі Коріоліса (сила Коріоліса — це та сама сила, яка на Землі, що обертається, змушує повертатися маятник Фуко, «закручує» циклони в земній атмосфері й змушує ріки в північній півкулі підмивати свій правий берег). Ці додаткові сили швидко спадають із відстанню від центрального тіла — вони обернено пропорційні кубу цієї відстані. Корисно в цьому зв'язку згадати, що «справжні» сили інерції в системі, що обертається, зростають пропорційно відстані від центра.
Є певні підстави сподіватися, що ці результати загальної теорії відносності можуть бути перевірені шляхом спостережень за рухом штучних супутників Землі.
Велике зацікавлення становить питання про енергію поля тяжіння. Якщо ми розглянемо, наприклад, Сонячну систему, то легко виявимо, що сумарна енергія всіх тіл, які до неї входять, безперервно змінюється. Адже планети рухаються навколо Сонця нерівномірно. Згідно із законом площ Кеплера, планета в перигелії, тобто в найближчій до Сонця точці орбіти, рухається швидше, ніж у протилежній точці — афелії. Тому її кінетична енергія безперервно змінюється. Це стосується всіх планет, так що й сумарна енергія всіх планет не залишається сталою.
Класична фізика обходила цю скруту тим, що вводила поняття потенціальної енергії. Планета в афелії має більшу потенціальну енергію, ніж у перигелії; під час її руху сума кінетичної та потенціальної енергії залишається сталою.
Проте при ближчому розгляді поняття потенціальної енергії виявляється далеко не бездоганним. Розглянемо простіший приклад. Нехай на поверхні Землі лежить вантаж. Піднімемо його на деяку висоту й закріпимо його там знову нерухомо. Піднімаючи, ми виконали певну роботу, тобто витратили певну кількість енергії. Куди вона поділася? Кажуть, вона перейшла в потенціальну енергію. Але енергія сама по собі не існує; будь-яка енергія є енергією певного матеріального об'єкта. До якого ж об'єкта належить потенціальна енергія?
Можна спробувати приписати її вантажу. Але ж при підйомі внутрішній стан цього вантажу не змінився; яким він був, лежачи на землі, таким він залишився і після підйому. Доводиться визнати, що енергія тіла може змінюватися без будь-якої зміни його стану. А це суперечить усьому духу сучасної фізики. З тієї самої причини не можна приписати потенціальну енергію й Землі.
Часто кажуть, що потенціальна енергія належить до системи, яка складається із Землі та вантажу, а не до якогось окремого тіла. Але з погляду класичної фізики ця система містить у собі лише два фізичні об'єкти — Землю й вантаж — і будь-яка її енергія може належати або до одного, або до другого тіла, або ж бути якось розподіленою між ними. Як бачимо, ні перше, ні друге, ні третє не можна прийняти безвідмовно.
При переході до теорії відносності справа ще більше ускладнюється. Будь-якій енергії відповідає певна маса; яка ж маса відповідає потенціальній енергії? Ця маса буквально «повисає в повітрі», бо її не можна віднести ні до вантажу, ні до Землі.
В електродинаміці ці питання давно розв'язані. З'ясувалося, що певну енергію необхідно приписати самому електромагнітному полю. Тим самим потенціальну енергію звідти цілком усунуто. Будь-яка енергія є або енергією тіл, або енергією поля. Під час руху заряджених тіл в електромагнітному полі змінюється як енергія цих тіл, так і енергія поля; але загальна сума енергії тіл і поля залишається сталою. Енергія даного об'єму, зайнятого електромагнітним полем, визначається напруженістю поля, а закон збереження енергії є прямим наслідком рівнянь Максвелла.
У теорії тяжіння слід, очевидно, вчинити аналогічно. Полю тяжіння необхідно приписати певну енергію; при цьому треба подбати про те, щоб закон збереження енергії випливав із рівнянь тяжіння. Виявляється, що рівняння Ейнштейна таку операцію допускають, так що й тут потенціальна енергія набуває конкретного змісту енергії поля тяжіння. Водночас одразу виявляється, що енергетичні властивості поля тяжіння багато в чому відрізняються від властивостей інших відомих нам видів матерії.
Маючи справу, наприклад, з рідиною чи газом, ми завжди можемо приписати певну енергію будь-якому їхньому об'єму; те саме стосується й електромагнітного поля. При цьому енергія завжди додатна, а якщо вона в даному об'ємі перетворюється на нуль, то це означає, що тут рідина, газ чи електромагнітне поле просто відсутні. У випадку поля тяжіння справа стоїть інакше. Якщо ми розглянемо в полі тяжіння малий об'єм простору, то за відомими формулами можемо розрахувати енергію поля тяжіння, що міститься там. Але, як відомо, для цього об'єму можна вибрати систему відліку, в якій поле тяжіння зникне; водночас перетвориться на нуль і енергія поля тяжіння. Звідси випливає, що не має сенсу говорити про кількість енергії тяжіння, що міститься в даному об'ємі; можна говорити лише про енергію всього поля тяжіння в цілому. У випадку Сонячної системи ми можемо сформулювати тільки такий закон: загальна енергія всіх тіл системи й загального їхнього поля тяжіння залишається сталою.
Ми говорили тут лише про енергію поля тяжіння; проте все сказане майже дослівно можна повторити і про масу, й про імпульс. Відповідні закони збереження можуть бути сформульовані й для поля тяжіння; при цьому вони також мають такі самі особливості.