Почнімо з дослідження такого уявного експерименту. Уявімо собі круглий диск, що обертається навколо своєї осі в деякій інерціальній системі відліку S. Поряд із системою S ми розглянемо також систему відліку S′, що обертається разом з диском, так що в цій системі диск нерухомий. Очевидно, система відліку S′ неінерціальна. Уявімо собі, що на диску перебуває спостерігач, наділений вимірювальною лінійкою; нехай він бажає виміряти радіус і довжину кола диска. Якими будуть результати цих вимірювань?
Стежитимемо за діями нашого вимірювача з інерціальної системи відліку S. Припустімо, що його лінійка вклалася вздовж радіуса 100 разів. Коли він приступить до вимірювання довжини кола, він мусить повернути свою лінійку в напрямку колової швидкості краю диска; при цьому лінійка відразу зазнає лоренцового скорочення. Якби не цей ефект, то вона вклалася б по колу приблизно 628 разів; тепер же, ставши коротшою, вона вкладеться, скажімо, 640 разів. Що це означає?
Адже ми добре знаємо, що лоренцове скорочення є суто кінематичним ефектом, насправді сама лінійка при повороті не зазнала жодної зміни. У системі відліку S′, де диск і спостерігач нерухомі, лінійка як до повороту, так і після нього має одну й ту саму довжину. Отже, в цій системі відліку відношення довжини кола до радіуса дорівнює не 2π, а іншій величині. Ця величина залежить, очевидно, від швидкості обертання системи відліку, чим більша швидкість, тим більше й відношення довжини кола до радіуса. У системі відліку, що обертається, геометрія простору виявляється неевклідовою. Геометричні властивості простору відносні, у різних системах відліку вони різні.
Слід гадати, що читач досить підготовлений до того, щоб прийняти цей висновок без особливого опору. Адже ще раніше, в § 9, займаючись геометрією простору — часу, ми виявили, що різні системи відліку здійснюють різне «розщеплення» єдиного чотиривимірного простору — часу на тривимірний простір і одновимірний час. Інерціальні системи відліку «вирізають» із простору — часу «плоскі» просторові «шари», внутрішня геометрія яких є евклідовою, система відліку, що обертається, «розщеплює» простір — час на «криві» просторові «шари». Тому тут геометрія простору виявляється неевклідовою, подібно до внутрішньої геометрії сферичної поверхні (згадаймо рис. 1). Щоправда, у нашому звичайному тривимірному евклідовому просторі немає поверхні, внутрішня геометрія якої збігалася б з геометрією поверхні диска, що обертається; тому можливість наочного уявлення тут сильно обмежена.
Але якщо так, якщо вже в неінерціальних системах відліку геометрія простору не є евклідовою, то тим більше цього слід чекати в тому випадку, коли в просторі є поле тяжіння. Відповідне дослідження показує, що це справді так і є. Зокрема, неевклідовою є геометрія простору поблизу земної поверхні. Щоправда, відхилення від евклідової геометрії тут надзвичайно малі й прямим вимірюванням поки що не піддаються, але наявність їх безсумнівна.
Геометрія нашого «земного» простору вже допускає досить наочну ілюстрацію. Візьмімо на звичайній евклідовій площині осі координат x і y; одиниці довжини виберемо для обох осей точно по 1 см. Рівняння y = 0,291x2 + 0,86 в цій координатній системі визначає параболу, зображену 1/4 натуральної величини на рис. 40. Уявімо собі цю криву продовженою до нескінченності. Нехай, далі, вона обертається навколо осі x. При цьому наша парабола опише поверхню, зображену на рис. 41 (нагадуємо, що всі побудови виконуються в евклідовому просторі). Розглянемо ділянку цієї поверхні, що віддалена від осі обертання на відстань, яка дорівнює радіусу Землі, тобто приблизно 6370 км.
Виявляється, що внутрішня геометрія цієї ділянки збудованої нами кривої поверхні збігається з внутрішньою геометрією вертикальної площини поблизу земної поверхні. Оскільки відстань від осі обертання дуже велика, то наша поверхня викривлена тут дуже слабко, і її внутрішня геометрія вельми мало відрізняється від евклідової.
Можна додати до цього, що геометрія поверхні сфери з центром, який збігається з центром земної кулі, не відрізняється від геометрії сферичної поверхні в звичайному евклідовому просторі.
Ми досі говорили лише про геометрію простору; проте можна розглядати також геометрію чотиривимірного простору — часу, подібно до того, як ми це робили в § 9. Якщо поле тяжіння відсутнє, то ця чотиривимірна геометрія буде евклідовою, оскільки в цьому випадку завжди можна вибрати інерціальну систему відліку. У полі тяжіння цього зробити вже не можна; це означає, що геометрія простору — часу в цілому не буде евклідовою. Кажуть, що в полі тяжіння простір—час має кривину. Проте цьому виразові не слід надавати надто буквального змісту. Нічого, крім неможливості вибрати інерціальну систему відліку в усьому просторі одразу, цей термін по суті не означає.
Отже, характер геометрії простору — часу визначається полем тяжіння; саме ж поле тяжіння створюється матерією, розподіленою в просторі.
Таким чином, геометричні властивості як тривимірного простору, так і чотиривимірного простору — часу цілком визначаються матерією, що перебуває в просторі. Встановлення цього факту є одним із найвидатніших досягнень загальної теорії відносності. Геніальні здогади Лобачевського і Рімана блискуче підтвердилися. Геометричні властивості простору невіддільні від фізичних властивостей матерії, що його наповнює; проблема геометрії реального світу є насамперед проблемою фізичною.
Аксіоми евклідової геометрії стосовно реального фізичного простору справедливі далеко не завжди, а лише в інерціальних системах відліку за відсутності поля тяжіння. В усіх решті випадків вони є лише певним наближенням до дійсності.
Поблизу важких матеріальних тіл простір — час «викривляється»; це «викривлення» сприймається нами як поле тяжіння. Воно позначається, по-перше, в тому, що рух «за інерцією» не є вже рівномірним і прямолінійним, і, по-друге, в тому, що геометрія простору перестає бути евклідовою. Те, що перше явище для нас набагато помітніше, ніж друге, пояснюється великою величиною швидкості світла.
Усі відомі нам явища, пов'язані зі всесвітнім тяжінням: закони падіння тіл, закони Кеплера, відхилення світлового променя поблизу важких тіл, гравітаційне червоне зміщення тощо, можуть бути повністю пояснені цим «викривленням» простору — часу. Проте тепер уже досить ясно, що загальна теорія відносності далеко не вичерпує властивостей простору — часу та властивостей тяжіння. Розвиток квантової теорії полів уже привів до істотно нових поглядів на фізичний вакуум, висунуто гіпотезу про існування своєрідних частинок тяжіння — гравітонів. Щоправда, ця нова теорія ще далека від завершення, і поки що зовсім не ясно, якого вигляду вона набуде зрештою, але не можна сумніватися в тому, що теорія відносності не є «остаточною істиною в останній інстанції».
Але якою б не була ця нова теорія, сучасна теорія відносності ніколи вже не буде спростована, так само як вона сама не спростувала класичної ньютонівської механіки. Вона назавжди збереже своє значення як теорія, що дає надзвичайно точне кількісне пояснення великому колу фізичних явищ.
Стежитимемо за діями нашого вимірювача з інерціальної системи відліку S. Припустімо, що його лінійка вклалася вздовж радіуса 100 разів. Коли він приступить до вимірювання довжини кола, він мусить повернути свою лінійку в напрямку колової швидкості краю диска; при цьому лінійка відразу зазнає лоренцового скорочення. Якби не цей ефект, то вона вклалася б по колу приблизно 628 разів; тепер же, ставши коротшою, вона вкладеться, скажімо, 640 разів. Що це означає?
Адже ми добре знаємо, що лоренцове скорочення є суто кінематичним ефектом, насправді сама лінійка при повороті не зазнала жодної зміни. У системі відліку S′, де диск і спостерігач нерухомі, лінійка як до повороту, так і після нього має одну й ту саму довжину. Отже, в цій системі відліку відношення довжини кола до радіуса дорівнює не 2π, а іншій величині. Ця величина залежить, очевидно, від швидкості обертання системи відліку, чим більша швидкість, тим більше й відношення довжини кола до радіуса. У системі відліку, що обертається, геометрія простору виявляється неевклідовою. Геометричні властивості простору відносні, у різних системах відліку вони різні.
Слід гадати, що читач досить підготовлений до того, щоб прийняти цей висновок без особливого опору. Адже ще раніше, в § 9, займаючись геометрією простору — часу, ми виявили, що різні системи відліку здійснюють різне «розщеплення» єдиного чотиривимірного простору — часу на тривимірний простір і одновимірний час. Інерціальні системи відліку «вирізають» із простору — часу «плоскі» просторові «шари», внутрішня геометрія яких є евклідовою, система відліку, що обертається, «розщеплює» простір — час на «криві» просторові «шари». Тому тут геометрія простору виявляється неевклідовою, подібно до внутрішньої геометрії сферичної поверхні (згадаймо рис. 1). Щоправда, у нашому звичайному тривимірному евклідовому просторі немає поверхні, внутрішня геометрія якої збігалася б з геометрією поверхні диска, що обертається; тому можливість наочного уявлення тут сильно обмежена.
Але якщо так, якщо вже в неінерціальних системах відліку геометрія простору не є евклідовою, то тим більше цього слід чекати в тому випадку, коли в просторі є поле тяжіння. Відповідне дослідження показує, що це справді так і є. Зокрема, неевклідовою є геометрія простору поблизу земної поверхні. Щоправда, відхилення від евклідової геометрії тут надзвичайно малі й прямим вимірюванням поки що не піддаються, але наявність їх безсумнівна.
Геометрія нашого «земного» простору вже допускає досить наочну ілюстрацію. Візьмімо на звичайній евклідовій площині осі координат x і y; одиниці довжини виберемо для обох осей точно по 1 см. Рівняння y = 0,291x2 + 0,86 в цій координатній системі визначає параболу, зображену 1/4 натуральної величини на рис. 40. Уявімо собі цю криву продовженою до нескінченності. Нехай, далі, вона обертається навколо осі x. При цьому наша парабола опише поверхню, зображену на рис. 41 (нагадуємо, що всі побудови виконуються в евклідовому просторі). Розглянемо ділянку цієї поверхні, що віддалена від осі обертання на відстань, яка дорівнює радіусу Землі, тобто приблизно 6370 км.Виявляється, що внутрішня геометрія цієї ділянки збудованої нами кривої поверхні збігається з внутрішньою геометрією вертикальної площини поблизу земної поверхні. Оскільки відстань від осі обертання дуже велика, то наша поверхня викривлена тут дуже слабко, і її внутрішня геометрія вельми мало відрізняється від евклідової.
Можна додати до цього, що геометрія поверхні сфери з центром, який збігається з центром земної кулі, не відрізняється від геометрії сферичної поверхні в звичайному евклідовому просторі.
Ми досі говорили лише про геометрію простору; проте можна розглядати також геометрію чотиривимірного простору — часу, подібно до того, як ми це робили в § 9. Якщо поле тяжіння відсутнє, то ця чотиривимірна геометрія буде евклідовою, оскільки в цьому випадку завжди можна вибрати інерціальну систему відліку. У полі тяжіння цього зробити вже не можна; це означає, що геометрія простору — часу в цілому не буде евклідовою. Кажуть, що в полі тяжіння простір—час має кривину. Проте цьому виразові не слід надавати надто буквального змісту. Нічого, крім неможливості вибрати інерціальну систему відліку в усьому просторі одразу, цей термін по суті не означає.
Отже, характер геометрії простору — часу визначається полем тяжіння; саме ж поле тяжіння створюється матерією, розподіленою в просторі.
Таким чином, геометричні властивості як тривимірного простору, так і чотиривимірного простору — часу цілком визначаються матерією, що перебуває в просторі. Встановлення цього факту є одним із найвидатніших досягнень загальної теорії відносності. Геніальні здогади Лобачевського і Рімана блискуче підтвердилися. Геометричні властивості простору невіддільні від фізичних властивостей матерії, що його наповнює; проблема геометрії реального світу є насамперед проблемою фізичною.
Аксіоми евклідової геометрії стосовно реального фізичного простору справедливі далеко не завжди, а лише в інерціальних системах відліку за відсутності поля тяжіння. В усіх решті випадків вони є лише певним наближенням до дійсності.
Поблизу важких матеріальних тіл простір — час «викривляється»; це «викривлення» сприймається нами як поле тяжіння. Воно позначається, по-перше, в тому, що рух «за інерцією» не є вже рівномірним і прямолінійним, і, по-друге, в тому, що геометрія простору перестає бути евклідовою. Те, що перше явище для нас набагато помітніше, ніж друге, пояснюється великою величиною швидкості світла.
Усі відомі нам явища, пов'язані зі всесвітнім тяжінням: закони падіння тіл, закони Кеплера, відхилення світлового променя поблизу важких тіл, гравітаційне червоне зміщення тощо, можуть бути повністю пояснені цим «викривленням» простору — часу. Проте тепер уже досить ясно, що загальна теорія відносності далеко не вичерпує властивостей простору — часу та властивостей тяжіння. Розвиток квантової теорії полів уже привів до істотно нових поглядів на фізичний вакуум, висунуто гіпотезу про існування своєрідних частинок тяжіння — гравітонів. Щоправда, ця нова теорія ще далека від завершення, і поки що зовсім не ясно, якого вигляду вона набуде зрештою, але не можна сумніватися в тому, що теорія відносності не є «остаточною істиною в останній інстанції».
Але якою б не була ця нова теорія, сучасна теорія відносності ніколи вже не буде спростована, так само як вона сама не спростувала класичної ньютонівської механіки. Вона назавжди збереже своє значення як теорія, що дає надзвичайно точне кількісне пояснення великому колу фізичних явищ.