У загальній теорії відносності всі властивості поля тяжіння повністю визначаються формулою власного часу. Знаючи, як виражається інтервал власного часу через координати подій у будь-якій точці поля, ми тим самим знаємо і саме поле. Це означає, що маючи в руках формулу власного часу, ми можемо розв'язати в принципі будь-яку задачу, яка стосується руху тіл, поширення світлових сигналів тощо. При цьому за допомогою принципу еквівалентності будь-який фізичний закон, одержаний у рамках спеціальної теорії відносності, ми можемо сформулювати і для будь-якого поля тяжіння.
Розглянемо з цього погляду закон інерції. Щоб перенести його в загальну теорію відносності, потрібно мати таке його формулювання, яке має силу в будь-яких, інерціальних і неінерціальних, системах відліку. Таке формулювання ми знаємо: для тіла, що рухається за інерцією, інтервал власного часу набуває найбільшого значення. Що ж означає такий закон у полі тяжіння?
Нехай спочатку поля тяжіння немає, але система відліку неінерціальна. У такій системі тіло, що рухається за інерцією, рухається нерівномірно. З погляду того фіктивного поля тяжіння, яке створюється в цій системі силами інерції, рух за інерцією означає не що інше, як вільне падіння. Саме для тіл, що вільно падають, інтервал власного часу буде максимальним.
Перейдімо тепер до справжнього поля тяжіння. Виділімо в ньому довільний, але малий просторовий об'єм і виберімо місцеву інерціальну систему відліку. Тут інтервал власного часу буде максимальним для тих тіл, які рухаються рівномірно і прямолінійно. Але в системі відліку, пов'язаній із тілом, що притягує, це — тіла, які вільно падають. Таким чином, замість закону інерції в полі тяжіння ми дістаємо такий закон: інтервал власного часу набуває найбільшого значення для тіл, які в цьому полі вільно падають.
Підкиньмо якесь тіло вгору таким чином, щоб воно після деякого вільного польоту впало назад у ту саму точку. Якщо ми порівняємо проміжок власного часу цього тіла з власним часом тіла, що нерухомо лежить на земній поверхні, то виявимо, що для підкинутого тіла він буде більшим, ніж для нерухомого. При цьому, щоправда, ми відкидаємо час, протягом якого тіло прискорюється на початку польоту і гальмується в кінці; для більшої наочності можна уявити, що його кидають біля підніжжя вежі, на вершині якої перебуває тіло порівняння. Порівнювати показання годинників обох тіл слід у ті моменти, коли підкинуте тіло пролітає повз вершину вежі.
Якщо ми згадаємо розрахунок часу космічного польоту, виконаний нами в § 12, то виявимо, що там результат виходив протилежний: для ракети, що рухалася прискорено, проміжок власного часу виявлявся меншим, ніж для нерухомих земних мешканців. Звичайно, тут немає жодної суперечності, оскільки тоді ми не брали до уваги жодних полів тяжіння. Це було цілком законно, бо ракета перебувала в цих полях лише протягом дуже короткого, порівняно з тривалістю всього польоту, часу.
У полі тяжіння вільне падіння еквівалентне рухові за інерцією, еквівалентне в тому самому розумінні, в якому сили тяжіння еквівалентні силам інерції. Вільне падіння є в цьому розумінні найбільш «природним» станом руху тіла, так само як за відсутності тяжіння «природним» є рівномірний прямолінійний рух. Будь-якій зміні такого руху тіло «опирається»; при цьому й виникають сили. З цього погляду вага тіла є не що інше, як його реакція на спробу утримати його від вільного падіння. Неважко бачити, що це міркування являє собою лише перефразування закону рівності інертної і важкої маси.
Отже, у полі тяжіння власний час для нерухомого тіла тече, в деякому розумінні, повільніше, ніж для тіла, що вільно падає. Легко зрозуміти, що це уповільнення часу буде тим значнішим, чим сильніше поле. Наприклад, на поверхні Сонця, де сила тяжіння дуже велика, час тече повільніше, ніж на поверхні Землі; на Землі повільніше, ніж на Місяці, і т. д. Цьому дещо невизначеному твердженню можна надати цілком точного змісту.
Розглянемо стаціонарне поле тяжіння, тобто поле, яке не змінюється з часом. Мається на увазі, звичайно, координатний час, бо тільки він може стосуватися всього поля в цілому. Формула власного часу дає його вираз через координати подій; зокрема, для нерухомих тіл ця формула дає відношення власного часу до координатного. У різних точках поля це відношення різне; при цьому чим сильніше поле, тим більше відрізняється власний час від координатного.
Нехай є два нерухомі тіла, одне в точці, де поле сильне, інше — де воно слабке. Нехай перше тіло A випромінює світловий сигнал, який приймається другим тілом B. Знаючи формулу власного часу, ми можемо знайти повністю світову лінію сигналу— для цього можна скористатися тим, що вздовж такої лінії інтервал власного часу перетворюється на нуль. Нехай це буде лінія A1B1 (рис. 38; як завжди, зображено лише одну просторову координату). Нехай те саме тіло A випромінює другий сигнал зі світовою лінією A2B2. Оскільки поле тяжіння стаціонарне, світова лінія другого сигналу повністю подібна до першої, і щоб одержати її, досить просто зсунути вгору першу лінію. Це означає, що через будь-яку точку простору обидва сигнали пройдуть через один і той самий проміжок координатного часу.
Нехай перше тіло випромінює сигнали, наприклад, через 1 секунду за своїм власним часом. Оскільки відношення власного часу до координатного для тіл A і B різне, то тіло B прийматиме сигнали за своїм власним часом не через 1 секунду, а через інший проміжок часу; при цьому різниця повністю визначається різницею напруженості поля тяжіння в точках A і B. Якщо в точці A поле сильніше, ніж у B, то сигнали буде прийнято через більші проміжки часу, і навпаки.
Ми вже знаємо, що атоми випромінюють коливання відповідно до свого власного часу. Тому, якщо ми порівняємо спектри двох атомів водню, один з яких перебуває на Сонці, а другий — на Землі, то, оскільки поле тяжіння на Сонці сильніше, то й коливання від «сонячного» атома буде сприйнято одним і тим самим приладом як повільніші, ніж коливання «земного» атома. Досліджуючи ці випромінювання під спектроскопом, ми виявимо, що лінії «сонячного» спектра зсунуті порівняно із «земним» до червоного кінця. Цей ефект дістав назву гравітаційного червоного зміщення.
Усі поля тяжіння, з якими доводиться мати справу в астрономії, є з погляду теорії відносності полями слабкими. Вони досить повно характеризуються гравітаційним потенціалом φ, який для тіл кулястої форми має вираз
φ = - μm/r
Тут m— маса тіла, r— відстань від центра, μ— гравітаційна стала, що дорівнює в системі CGS 6,670*10-8. Можна довести, що якщо v1 і v2 — частоти того самого сигналу, виміряні в одиницях власного часу в точках з потенціалами φ1 і φ2, зміщення цих частот виражається формулою
Розглянемо з цього погляду закон інерції. Щоб перенести його в загальну теорію відносності, потрібно мати таке його формулювання, яке має силу в будь-яких, інерціальних і неінерціальних, системах відліку. Таке формулювання ми знаємо: для тіла, що рухається за інерцією, інтервал власного часу набуває найбільшого значення. Що ж означає такий закон у полі тяжіння?
Нехай спочатку поля тяжіння немає, але система відліку неінерціальна. У такій системі тіло, що рухається за інерцією, рухається нерівномірно. З погляду того фіктивного поля тяжіння, яке створюється в цій системі силами інерції, рух за інерцією означає не що інше, як вільне падіння. Саме для тіл, що вільно падають, інтервал власного часу буде максимальним.
Перейдімо тепер до справжнього поля тяжіння. Виділімо в ньому довільний, але малий просторовий об'єм і виберімо місцеву інерціальну систему відліку. Тут інтервал власного часу буде максимальним для тих тіл, які рухаються рівномірно і прямолінійно. Але в системі відліку, пов'язаній із тілом, що притягує, це — тіла, які вільно падають. Таким чином, замість закону інерції в полі тяжіння ми дістаємо такий закон: інтервал власного часу набуває найбільшого значення для тіл, які в цьому полі вільно падають.
Підкиньмо якесь тіло вгору таким чином, щоб воно після деякого вільного польоту впало назад у ту саму точку. Якщо ми порівняємо проміжок власного часу цього тіла з власним часом тіла, що нерухомо лежить на земній поверхні, то виявимо, що для підкинутого тіла він буде більшим, ніж для нерухомого. При цьому, щоправда, ми відкидаємо час, протягом якого тіло прискорюється на початку польоту і гальмується в кінці; для більшої наочності можна уявити, що його кидають біля підніжжя вежі, на вершині якої перебуває тіло порівняння. Порівнювати показання годинників обох тіл слід у ті моменти, коли підкинуте тіло пролітає повз вершину вежі.
Якщо ми згадаємо розрахунок часу космічного польоту, виконаний нами в § 12, то виявимо, що там результат виходив протилежний: для ракети, що рухалася прискорено, проміжок власного часу виявлявся меншим, ніж для нерухомих земних мешканців. Звичайно, тут немає жодної суперечності, оскільки тоді ми не брали до уваги жодних полів тяжіння. Це було цілком законно, бо ракета перебувала в цих полях лише протягом дуже короткого, порівняно з тривалістю всього польоту, часу.
У полі тяжіння вільне падіння еквівалентне рухові за інерцією, еквівалентне в тому самому розумінні, в якому сили тяжіння еквівалентні силам інерції. Вільне падіння є в цьому розумінні найбільш «природним» станом руху тіла, так само як за відсутності тяжіння «природним» є рівномірний прямолінійний рух. Будь-якій зміні такого руху тіло «опирається»; при цьому й виникають сили. З цього погляду вага тіла є не що інше, як його реакція на спробу утримати його від вільного падіння. Неважко бачити, що це міркування являє собою лише перефразування закону рівності інертної і важкої маси.
Отже, у полі тяжіння власний час для нерухомого тіла тече, в деякому розумінні, повільніше, ніж для тіла, що вільно падає. Легко зрозуміти, що це уповільнення часу буде тим значнішим, чим сильніше поле. Наприклад, на поверхні Сонця, де сила тяжіння дуже велика, час тече повільніше, ніж на поверхні Землі; на Землі повільніше, ніж на Місяці, і т. д. Цьому дещо невизначеному твердженню можна надати цілком точного змісту.
Розглянемо стаціонарне поле тяжіння, тобто поле, яке не змінюється з часом. Мається на увазі, звичайно, координатний час, бо тільки він може стосуватися всього поля в цілому. Формула власного часу дає його вираз через координати подій; зокрема, для нерухомих тіл ця формула дає відношення власного часу до координатного. У різних точках поля це відношення різне; при цьому чим сильніше поле, тим більше відрізняється власний час від координатного.
Нехай є два нерухомі тіла, одне в точці, де поле сильне, інше — де воно слабке. Нехай перше тіло A випромінює світловий сигнал, який приймається другим тілом B. Знаючи формулу власного часу, ми можемо знайти повністю світову лінію сигналу— для цього можна скористатися тим, що вздовж такої лінії інтервал власного часу перетворюється на нуль. Нехай це буде лінія A1B1 (рис. 38; як завжди, зображено лише одну просторову координату). Нехай те саме тіло A випромінює другий сигнал зі світовою лінією A2B2. Оскільки поле тяжіння стаціонарне, світова лінія другого сигналу повністю подібна до першої, і щоб одержати її, досить просто зсунути вгору першу лінію. Це означає, що через будь-яку точку простору обидва сигнали пройдуть через один і той самий проміжок координатного часу.Нехай перше тіло випромінює сигнали, наприклад, через 1 секунду за своїм власним часом. Оскільки відношення власного часу до координатного для тіл A і B різне, то тіло B прийматиме сигнали за своїм власним часом не через 1 секунду, а через інший проміжок часу; при цьому різниця повністю визначається різницею напруженості поля тяжіння в точках A і B. Якщо в точці A поле сильніше, ніж у B, то сигнали буде прийнято через більші проміжки часу, і навпаки.
Ми вже знаємо, що атоми випромінюють коливання відповідно до свого власного часу. Тому, якщо ми порівняємо спектри двох атомів водню, один з яких перебуває на Сонці, а другий — на Землі, то, оскільки поле тяжіння на Сонці сильніше, то й коливання від «сонячного» атома буде сприйнято одним і тим самим приладом як повільніші, ніж коливання «земного» атома. Досліджуючи ці випромінювання під спектроскопом, ми виявимо, що лінії «сонячного» спектра зсунуті порівняно із «земним» до червоного кінця. Цей ефект дістав назву гравітаційного червоного зміщення.
Усі поля тяжіння, з якими доводиться мати справу в астрономії, є з погляду теорії відносності полями слабкими. Вони досить повно характеризуються гравітаційним потенціалом φ, який для тіл кулястої форми має вираз
φ = - μm/r
Тут m— маса тіла, r— відстань від центра, μ— гравітаційна стала, що дорівнює в системі CGS 6,670*10-8. Можна довести, що якщо v1 і v2 — частоти того самого сигналу, виміряні в одиницях власного часу в точках з потенціалами φ1 і φ2, зміщення цих частот виражається формулою
Зображення
де під v можна розуміти v1 або v2; у слабкому полі ці дві частоти надзвичайно близькі.
На поверхні Сонця r=6,963*1010 см, m=1,991*1033 г. Звідси (φ/c2)——2,12*10-6.Для поверхні Землі маємо відповідно r=6,37*108см, m=5,98*1027г; тому на земній поверхні(φ/c2)——7*10-10. Крім того, на земній орбіті існує і потенціал, створюваний сонячним тяжінням; легко обчислити (радіус земної орбіти дорівнює 1,5*1018 см), що цей потенціал дорівнює —2*10-8. Тому під час обчислення зміщення частот потенціалом тяжіння на поверхні Землі можна спокійно знехтувати — він щонайменше в сто разів менший за потенціал на поверхні Сонця. Звідси дістаємо, що відношення зміщення частоти до самої частоти дорівнюватиме — 2,12*10-6. Знак мінус вказує на зменшення частоти.
Експериментальну перевірку цього наслідку загальної теорії відносності ускладнює складність фізичних умов, що мають місце на поверхні Сонця. Атоми, які випромінюють світло, на Сонці перебувають у безперервному й надзвичайно інтенсивному русі, який спричиняє зміщення ліній через ефект Доплера та значне їхнє «розмиття». Сильні електромагнітні поля, тиск у сонячній атмосфері — усе це в дуже помітному ступені впливає на спектральні лінії. З іншого боку, усі ці чинники порівняно добре вивчені й можуть бути враховані; крім того, прилади для дослідження сонячного спектра мають високий ступінь точності, що дуже важливо з огляду на надзвичайну малість гравітаційного червоного зміщення. У результаті довгого ряду досліджень з'ясувалося, що цей ефект існує. Що ж до його величини, то про точну згоду з теорією сказати щось із цілковитою певністю поки що важко. Вимірювання не спростовують висновку теорії відносності, але й повного підтвердження її не дають. Усе ж порівняно з викривленням світлових променів тут теорія з дослідом узгоджується, мабуть, трохи краще.
Гравітаційне червоне зміщення має спостерігатися також і в спектрах багатьох зір. Здебільшого, однак, це явище виявити неможливо з тієї простої причини, що невідома точна величина швидкості зорі, а тому червоне зміщення не можна відокремити від звичайного ефекту Доплера. Але тут є деякі щасливі винятки. Вони стосуються подвійних зір; типовим прикладом є найяскравіша зоря нашого неба — Сіріус. Уже давно було виявлено, що Сіріус рухається серед інших зір за дивною звивистою лінією. Було висловлено припущення, що в нього є неяскравий супутник із досить великою масою. Обидві ці зорі обертаються навколо спільного центра ваги, тому й шлях Сіріуса має такий незвичайний вигляд. Невдовзі супутник Сіріуса було виявлено; яскравість його, справді, дуже мала. Але його маса має бути досить значною. Дослідження цього питання привело до висновку, що маса супутника Сіріуса близька до маси Сонця. З іншого боку, довелося зробити висновок про те, що розміри його надзвичайно малі — його діаметр лише втричі більший за земний. Звідси виходить, що густина речовини цього супутника справді колосальна — у 30 000 разів більша за густину води! Спочатку астрономи не хотіли собі вірити, але згодом розвиток атомної фізики показав, що цей факт не такий уже дивовижний і така густина цілком можлива. Нині відомо багато таких зір; вони дістали назву білих карликів.
Але це означає, що напруженість сили тяжіння на поверхні супутника Сіріуса має бути величезною — майже в 30 000 разів більшою, ніж на Землі. З іншого боку, рух цієї зоряної пари добре вивчений, так що ефект Доплера ми можемо впевнено відокремити від інших зміщень спектральних ліній.
Гравітаційне червоне зміщення в супутника Сіріуса встановлено з цілковитою безсумнівністю. На жаль, ми ще погано знаємо його радіус; якщо все ж використати найкращі наявні дані, то згода з теорією виходить цілком задовільна. Це ж стосується й деяких інших білих карликів.
Зауважимо, що одночасно з цим ми одержуємо дуже переконливе доведення правильності висновку про жахливу густину цих зір.
Важливо зазначити, що дослідження гравітаційного червоного зміщення дає нам сильний доказ слушності загального принципу еквівалентності. Випромінювання світла атомами аж ніяк не можна звести до суто механічного руху; це — дуже складний фізичний процес. Тому одним законом рівності важкої та інертної маси в цьому питанні аж ніяк не обійтися. Той факт, що висновок теорії відносності в цьому випадку узгоджується з дослідом, означає, що явище випромінювання світла підпорядковується принципу еквівалентності.
Дуже привабливі перспективи в цьому відношенні відкриває сучасна радіотехніка. Через низку причин оптичні методи дослідження спектрів мають обмежену точність, і межа тут уже, можна сказати, досягнута. Інша річ — радіохвилі. Тут під час порівняння частот можна домогтися в мільйон разів більшої точності. Але тоді зміну частоти можна буде виявити вже в межах Землі. Установивши передавач десь на вершині високої гори, а приймач — у долині, можна буде помітити зсув частоти. Ще цікавіше використати для цієї мети штучні супутники Землі. Щоправда, необхідної точності поки що не досягнуто, але в самому найближчому майбутньому слід чекати нових цікавих результатів.
Насамкінець повернімося ще раз до багаторазово обговорюваного вище парадоксу годинників. Якщо один годинник перебуває в спокої в деякій інерціальній системі відліку, а другий — описує замкнений шлях, що починається й закінчується поблизу першого годинника, то після закінчення руху виявляється, що другий годинник покаже менший проміжок часу. Ми, звичайно, як завжди, маємо на увазі ідеальний годинник, що є, по суті, синонімом власного часу. Другий годинник рухається прискорено; тому він на своєму шляху зазнає дії сил інерції, еквівалентної дії сил тяжіння. Ці сили й можна вважати фізичною причиною уповільнення його ходу. Якщо розглянути весь процес у системі відліку, де другий годинник перебуває в спокої, то негайно виявиться, що перший годинник «вільно падає». Згідно із законом, еквівалентним закону інерції, ми дістаємо, що перший годинник має показати більший проміжок власного часу. На цьому парадокс годинників можна вважати вичерпаним.
На поверхні Сонця r=6,963*1010 см, m=1,991*1033 г. Звідси (φ/c2)——2,12*10-6.Для поверхні Землі маємо відповідно r=6,37*108см, m=5,98*1027г; тому на земній поверхні(φ/c2)——7*10-10. Крім того, на земній орбіті існує і потенціал, створюваний сонячним тяжінням; легко обчислити (радіус земної орбіти дорівнює 1,5*1018 см), що цей потенціал дорівнює —2*10-8. Тому під час обчислення зміщення частот потенціалом тяжіння на поверхні Землі можна спокійно знехтувати — він щонайменше в сто разів менший за потенціал на поверхні Сонця. Звідси дістаємо, що відношення зміщення частоти до самої частоти дорівнюватиме — 2,12*10-6. Знак мінус вказує на зменшення частоти.
Експериментальну перевірку цього наслідку загальної теорії відносності ускладнює складність фізичних умов, що мають місце на поверхні Сонця. Атоми, які випромінюють світло, на Сонці перебувають у безперервному й надзвичайно інтенсивному русі, який спричиняє зміщення ліній через ефект Доплера та значне їхнє «розмиття». Сильні електромагнітні поля, тиск у сонячній атмосфері — усе це в дуже помітному ступені впливає на спектральні лінії. З іншого боку, усі ці чинники порівняно добре вивчені й можуть бути враховані; крім того, прилади для дослідження сонячного спектра мають високий ступінь точності, що дуже важливо з огляду на надзвичайну малість гравітаційного червоного зміщення. У результаті довгого ряду досліджень з'ясувалося, що цей ефект існує. Що ж до його величини, то про точну згоду з теорією сказати щось із цілковитою певністю поки що важко. Вимірювання не спростовують висновку теорії відносності, але й повного підтвердження її не дають. Усе ж порівняно з викривленням світлових променів тут теорія з дослідом узгоджується, мабуть, трохи краще.
Гравітаційне червоне зміщення має спостерігатися також і в спектрах багатьох зір. Здебільшого, однак, це явище виявити неможливо з тієї простої причини, що невідома точна величина швидкості зорі, а тому червоне зміщення не можна відокремити від звичайного ефекту Доплера. Але тут є деякі щасливі винятки. Вони стосуються подвійних зір; типовим прикладом є найяскравіша зоря нашого неба — Сіріус. Уже давно було виявлено, що Сіріус рухається серед інших зір за дивною звивистою лінією. Було висловлено припущення, що в нього є неяскравий супутник із досить великою масою. Обидві ці зорі обертаються навколо спільного центра ваги, тому й шлях Сіріуса має такий незвичайний вигляд. Невдовзі супутник Сіріуса було виявлено; яскравість його, справді, дуже мала. Але його маса має бути досить значною. Дослідження цього питання привело до висновку, що маса супутника Сіріуса близька до маси Сонця. З іншого боку, довелося зробити висновок про те, що розміри його надзвичайно малі — його діаметр лише втричі більший за земний. Звідси виходить, що густина речовини цього супутника справді колосальна — у 30 000 разів більша за густину води! Спочатку астрономи не хотіли собі вірити, але згодом розвиток атомної фізики показав, що цей факт не такий уже дивовижний і така густина цілком можлива. Нині відомо багато таких зір; вони дістали назву білих карликів.
Але це означає, що напруженість сили тяжіння на поверхні супутника Сіріуса має бути величезною — майже в 30 000 разів більшою, ніж на Землі. З іншого боку, рух цієї зоряної пари добре вивчений, так що ефект Доплера ми можемо впевнено відокремити від інших зміщень спектральних ліній.
Гравітаційне червоне зміщення в супутника Сіріуса встановлено з цілковитою безсумнівністю. На жаль, ми ще погано знаємо його радіус; якщо все ж використати найкращі наявні дані, то згода з теорією виходить цілком задовільна. Це ж стосується й деяких інших білих карликів.
Зауважимо, що одночасно з цим ми одержуємо дуже переконливе доведення правильності висновку про жахливу густину цих зір.
Важливо зазначити, що дослідження гравітаційного червоного зміщення дає нам сильний доказ слушності загального принципу еквівалентності. Випромінювання світла атомами аж ніяк не можна звести до суто механічного руху; це — дуже складний фізичний процес. Тому одним законом рівності важкої та інертної маси в цьому питанні аж ніяк не обійтися. Той факт, що висновок теорії відносності в цьому випадку узгоджується з дослідом, означає, що явище випромінювання світла підпорядковується принципу еквівалентності.
Дуже привабливі перспективи в цьому відношенні відкриває сучасна радіотехніка. Через низку причин оптичні методи дослідження спектрів мають обмежену точність, і межа тут уже, можна сказати, досягнута. Інша річ — радіохвилі. Тут під час порівняння частот можна домогтися в мільйон разів більшої точності. Але тоді зміну частоти можна буде виявити вже в межах Землі. Установивши передавач десь на вершині високої гори, а приймач — у долині, можна буде помітити зсув частоти. Ще цікавіше використати для цієї мети штучні супутники Землі. Щоправда, необхідної точності поки що не досягнуто, але в самому найближчому майбутньому слід чекати нових цікавих результатів.
Насамкінець повернімося ще раз до багаторазово обговорюваного вище парадоксу годинників. Якщо один годинник перебуває в спокої в деякій інерціальній системі відліку, а другий — описує замкнений шлях, що починається й закінчується поблизу першого годинника, то після закінчення руху виявляється, що другий годинник покаже менший проміжок часу. Ми, звичайно, як завжди, маємо на увазі ідеальний годинник, що є, по суті, синонімом власного часу. Другий годинник рухається прискорено; тому він на своєму шляху зазнає дії сил інерції, еквівалентної дії сил тяжіння. Ці сили й можна вважати фізичною причиною уповільнення його ходу. Якщо розглянути весь процес у системі відліку, де другий годинник перебуває в спокої, то негайно виявиться, що перший годинник «вільно падає». Згідно із законом, еквівалентним закону інерції, ми дістаємо, що перший годинник має показати більший проміжок власного часу. На цьому парадокс годинників можна вважати вичерпаним.