Досі ми займалися винятково просторово-часовими співвідношеннями, кінематикою теорії відносності. Тепер нам належить ознайомитися з основними положеннями релятивістської динаміки.
Передусім пригадаймо основні уявлення динаміки класичної, ньютонівської. По-перше, вважається, що властивості будь-якого матеріального тіла, якою б не була його природа й внутрішня структура, дають змогу приписати йому цілком певні числові значення низки величин: маси, імпульсу, кінетичної енергії тощо. По-друге, взаємодії між тілами здійснюються за посередництвом сил, що діють між ними і які так само припускають точний числовий вираз. По-третє, хоча в процесі руху значення всіх цих величин і змінюються, проте вони завжди задовольняють деякі співвідношення, які й виражають закони механіки.
Так, другий закон Ньютона, що лежить в основі класичної динаміки, стверджує, що зміна імпульсу якогось тіла протягом проміжку часу t2—t1 завжди дорівнює добутку величини цього проміжку на силу, що діє на тіло. Аналогічний зміст мають і інші закони.
Різні фізичні закони мають різний ступінь загальності. Одні з них застосовні до порівняно невеликого, вузького кола явищ; для інших область застосовності ширша. Зокрема, фізика зуміла виявити й такі закони, які справедливі завжди й усюди, які якнайточніше дотримуються буквально в усіх явищах. Найважливіші з них — закони збереження.
Цих законів у класичній фізиці є три: закон збереження маси, закон збереження імпульсу та закон збереження енергії. Вони стверджують, що в кожній ізольованій системі тіл (тобто такій системі, яка не взаємодіє з жодними зовнішніми тілами) сумарні маса, імпульс та енергія всіх тіл, що складають дану систему, залишаються сталими.
У ньютонівській механіці імпульс p тіла та його кінетична енергія T виражаються через масу m і швидкість u таким чином:
p = mu, T = mu2/2.
Чи можна без жодних змін перенести всі ці закони й співвідношення в.теорію відносності? Інакше кажучи, чи сумісні вони з релятивістською кінематикою? Легко переконатися, що відповідь на це запитання буде заперечною. Справді, розгляньмо хоча б такий простий приклад.
Нехай назустріч один одному рухаються дві абсолютно пружні кулі (рис. 27). Нехай маса однієї кулі рівно вдвічі більша за масу другої, а швидкість її відповідно вдвічі менша. Тоді після зіткнення обидві кулі рухатимуться з тими самими швидкостями, лише змінивши їхні напрямки на протилежні — тільки за цієї умови імпульс і кінетична енергія системи цих двох тіл залишаться незмінними.
Розгляньмо тепер той самий рух у системі відліку, де перша (легша) куля до удару нерухома. Із закону додавання швидкостей неважко дістати швидкості обох куль у цій новій системі відліку. Позначмо через u абсолютну величину швидкості другої кулі в старій системі відліку. Тоді до удару в новій системі відліку швидкість першої кулі дорівнюватиме, звісно, нулю, а швидкість другої —
Передусім пригадаймо основні уявлення динаміки класичної, ньютонівської. По-перше, вважається, що властивості будь-якого матеріального тіла, якою б не була його природа й внутрішня структура, дають змогу приписати йому цілком певні числові значення низки величин: маси, імпульсу, кінетичної енергії тощо. По-друге, взаємодії між тілами здійснюються за посередництвом сил, що діють між ними і які так само припускають точний числовий вираз. По-третє, хоча в процесі руху значення всіх цих величин і змінюються, проте вони завжди задовольняють деякі співвідношення, які й виражають закони механіки.
Так, другий закон Ньютона, що лежить в основі класичної динаміки, стверджує, що зміна імпульсу якогось тіла протягом проміжку часу t2—t1 завжди дорівнює добутку величини цього проміжку на силу, що діє на тіло. Аналогічний зміст мають і інші закони.
Різні фізичні закони мають різний ступінь загальності. Одні з них застосовні до порівняно невеликого, вузького кола явищ; для інших область застосовності ширша. Зокрема, фізика зуміла виявити й такі закони, які справедливі завжди й усюди, які якнайточніше дотримуються буквально в усіх явищах. Найважливіші з них — закони збереження.
Цих законів у класичній фізиці є три: закон збереження маси, закон збереження імпульсу та закон збереження енергії. Вони стверджують, що в кожній ізольованій системі тіл (тобто такій системі, яка не взаємодіє з жодними зовнішніми тілами) сумарні маса, імпульс та енергія всіх тіл, що складають дану систему, залишаються сталими.
У ньютонівській механіці імпульс p тіла та його кінетична енергія T виражаються через масу m і швидкість u таким чином:
p = mu, T = mu2/2.
Чи можна без жодних змін перенести всі ці закони й співвідношення в.теорію відносності? Інакше кажучи, чи сумісні вони з релятивістською кінематикою? Легко переконатися, що відповідь на це запитання буде заперечною. Справді, розгляньмо хоча б такий простий приклад.Нехай назустріч один одному рухаються дві абсолютно пружні кулі (рис. 27). Нехай маса однієї кулі рівно вдвічі більша за масу другої, а швидкість її відповідно вдвічі менша. Тоді після зіткнення обидві кулі рухатимуться з тими самими швидкостями, лише змінивши їхні напрямки на протилежні — тільки за цієї умови імпульс і кінетична енергія системи цих двох тіл залишаться незмінними.
Розгляньмо тепер той самий рух у системі відліку, де перша (легша) куля до удару нерухома. Із закону додавання швидкостей неважко дістати швидкості обох куль у цій новій системі відліку. Позначмо через u абсолютну величину швидкості другої кулі в старій системі відліку. Тоді до удару в новій системі відліку швидкість першої кулі дорівнюватиме, звісно, нулю, а швидкість другої —
Зображення
Після удару швидкості обох куль матимуть один і той самий напрямок; їхні величини дорівнюють відповідно
Зображення
Якщо масу першої кулі прийняти за одиницю, то маса другої кулі дорівнюватиме двом одиницям. Помноживши ці маси на відповідні швидкості й додавши, дістанемо сумарний імпульс обох куль. До удару він виявляється рівним
Зображення
Це означає, що в новій системі відліку закон збереження імпульсу виявляється порушеним.
Що ж звідси випливає? Якщо ми прагнемо перенести закони збереження в теорію відносності — а це зробити необхідно,— то для імпульсу й кінетичної енергії слід пошукати нові вирази, які були б повністю узгоджені з релятивістською кінематикою. Для цього можна, розглядаючи ті чи інші уявні експерименти в різних системах відліку, добирати формули для імпульсу та енергії так, щоб закони збереження виконувалися в усіх системах відліку одночасно. З огляду на певну складність викладок ми їх опускаємо й наведемо лише остаточний результат. Виявляється, що єдино можливим виразом для релятивістського імпульсу є такий:
Що ж звідси випливає? Якщо ми прагнемо перенести закони збереження в теорію відносності — а це зробити необхідно,— то для імпульсу й кінетичної енергії слід пошукати нові вирази, які були б повністю узгоджені з релятивістською кінематикою. Для цього можна, розглядаючи ті чи інші уявні експерименти в різних системах відліку, добирати формули для імпульсу та енергії так, щоб закони збереження виконувалися в усіх системах відліку одночасно. З огляду на певну складність викладок ми їх опускаємо й наведемо лише остаточний результат. Виявляється, що єдино можливим виразом для релятивістського імпульсу є такий:
Зображення
Для його виведення досить розглянути такий рух двох абсолютно пружних куль однакової маси (рис. 28). Кулі спочатку рухаються назустріч одна одній з однаковими швидкостями, а потім, зіткнувшись, розлітаються так, як показано на рисунку. Міркування, засновані на симетрії цього руху, показують, що він, у всякому разі, можливий. Тоді, розглядаючи цей рух у відповідних системах відліку й вимагаючи виконання закону збереження імпульсу, ми дійдемо вищевказаного виразу.
Зображення
Слід зазначити, що формулу релятивістського імпульсу вперше було отримано Ейнштейном з електродинаміки Максвелла — Лоренца. На той час закони руху заряджених частинок в електромагнітному полі були вивчені з достатньою повнотою. Аналіз їх з погляду теорії відносності неминуче приводив до такого самого виразу.
За малих швидкостей, як легко переконатися, ця формула практично збігається з класичною.
Цікаво з'ясувати, як наростає імпульс за розглянутого нами в попередньому параграфі рівноприскореного руху. Швидкість змінюється згідно з рівнянням
За малих швидкостей, як легко переконатися, ця формула практично збігається з класичною.
Цікаво з'ясувати, як наростає імпульс за розглянутого нами в попередньому параграфі рівноприскореного руху. Швидкість змінюється згідно з рівнянням
Зображення
що показує, що за рівноприскореного руху імпульс наростає пропорційно до часу. Цей висновок цілком узгоджується з нашими уявленнями про рівноприскорений рух; величину m0a з цього погляду слід розглядати як силу. Утім, поняття сили нам надалі доведеться дещо уточнити.
Наведені вище аргументи, при всій їхній переконливості, не можуть, однак, розглядатися як строге виведення формули релятивістського імпульсу. Потрібно з повною ясністю усвідомити, що суто умоглядним шляхом довести цю формулу неможливо, так само як неможливо довести й класичну формулу p=ти. Її належить розглядати як дослідний факт. Те, що ми зуміли отримати її без безпосереднього звернення до досліду, цьому твердженню не суперечить, адже міркування, якими ми при цьому користувалися (релятивістська кінематика, принцип відносності, закони зіткнень пружних тіл), ґрунтуються зрештою на досліді. З них ще не випливає, що закон збереження імпульсу в такому формулюванні виконуватиметься завжди й усюди; ця гіпотеза, будучи надзвичайно правдоподібною, потребує підтвердження дослідом. Деякі результати дослідів ми розглянемо нижче; зараз же можемо сказати, що закон збереження релятивістського імпульсу підтверджений величезним експериментальним матеріалом і в наш час по праву може вважатися твердо встановленим фізичним фактом.
Звернімося тепер до питання про масу. На перший погляд здається, що це питання вже розв'язане,— ми позначили масу через m0 і без дальших манівців увели цю величину у формулу релятивістського імпульсу; при цьому вважалося само собою зрозумілим, що маса не залежить від швидкості, тобто є величиною абсолютною. Проте уважніший розгляд показує, що справа тут не така проста.
Звернімося спочатку ще раз до нашої ракети, що рухається з прискоренням. У міру зростання її швидкості подальше її прискорення відбувається дедалі повільніше; додати до вже наявної швидкості одну й ту саму «добавку» стає дедалі важче. Чим більша швидкість ракети, тим більше вона «опирається» спробам подальшої зміни швидкості. У певному сенсі інертність тіла зростає разом зі зростанням його швидкості. Але ж мірою інертності є маса. Слід визнати, отже, що в міру збільшення швидкості маса тіла повинна зростати. Величина m0 залишається, звісно, сталою; наші міркування показують лише, що властивості інертності тіла характеризуються цією величиною далеко не повністю.
Тепер звернімо увагу ще на один надзвичайно важливий фізичний закон, тісно пов'язаний із законом збереження імпульсу, так званий закон руху центра ваги. Він полягає, як відомо, в тому, що самими лише внутрішніми силами не можна змінити руху центра ваги системи тіл. Якщо на будь-яку як завгодно складну систему зовнішні сили не діють, то центр ваги її рухатиметься рівномірно й прямолінійно. Зокрема, для такої системи завжди можна вибрати таку систему відліку, в якій центр ваги буде нерухомий, яким би складним не
було рух окремих тіл. Розгляньмо цей закон з погляду теорії відносності.
Нехай маємо два тіла з масами m0 і M0; нехай вони спочатку нерухомі й дотикаються одне до одного. Їхній спільний центр ваги перебуватиме поблизу точки дотику. Нехай, далі, в деякий момент часу ці тіла раптово відштовхуються одне від одного. Для визначеності можна уявити собі, що це відштовхування відбувається за допомогою стиснутої пружини, яка у потрібний момент звільняється. У результаті обидва тіла дістануть однакові за величиною імпульси (оскільки до відштовхування їхній спільний імпульс дорівнював нулю), але оскільки маси їхні різні, то різними будуть і швидкості; позначмо абсолютні величини швидкостей через u та U. Через одиницю часу після моменту відштовхування наші тіла перебуватимуть від колишнього положення центра ваги на відстанях, рівних якраз u та U (рис. 29).
Наведені вище аргументи, при всій їхній переконливості, не можуть, однак, розглядатися як строге виведення формули релятивістського імпульсу. Потрібно з повною ясністю усвідомити, що суто умоглядним шляхом довести цю формулу неможливо, так само як неможливо довести й класичну формулу p=ти. Її належить розглядати як дослідний факт. Те, що ми зуміли отримати її без безпосереднього звернення до досліду, цьому твердженню не суперечить, адже міркування, якими ми при цьому користувалися (релятивістська кінематика, принцип відносності, закони зіткнень пружних тіл), ґрунтуються зрештою на досліді. З них ще не випливає, що закон збереження імпульсу в такому формулюванні виконуватиметься завжди й усюди; ця гіпотеза, будучи надзвичайно правдоподібною, потребує підтвердження дослідом. Деякі результати дослідів ми розглянемо нижче; зараз же можемо сказати, що закон збереження релятивістського імпульсу підтверджений величезним експериментальним матеріалом і в наш час по праву може вважатися твердо встановленим фізичним фактом.
Звернімося тепер до питання про масу. На перший погляд здається, що це питання вже розв'язане,— ми позначили масу через m0 і без дальших манівців увели цю величину у формулу релятивістського імпульсу; при цьому вважалося само собою зрозумілим, що маса не залежить від швидкості, тобто є величиною абсолютною. Проте уважніший розгляд показує, що справа тут не така проста.
Звернімося спочатку ще раз до нашої ракети, що рухається з прискоренням. У міру зростання її швидкості подальше її прискорення відбувається дедалі повільніше; додати до вже наявної швидкості одну й ту саму «добавку» стає дедалі важче. Чим більша швидкість ракети, тим більше вона «опирається» спробам подальшої зміни швидкості. У певному сенсі інертність тіла зростає разом зі зростанням його швидкості. Але ж мірою інертності є маса. Слід визнати, отже, що в міру збільшення швидкості маса тіла повинна зростати. Величина m0 залишається, звісно, сталою; наші міркування показують лише, що властивості інертності тіла характеризуються цією величиною далеко не повністю.
Тепер звернімо увагу ще на один надзвичайно важливий фізичний закон, тісно пов'язаний із законом збереження імпульсу, так званий закон руху центра ваги. Він полягає, як відомо, в тому, що самими лише внутрішніми силами не можна змінити руху центра ваги системи тіл. Якщо на будь-яку як завгодно складну систему зовнішні сили не діють, то центр ваги її рухатиметься рівномірно й прямолінійно. Зокрема, для такої системи завжди можна вибрати таку систему відліку, в якій центр ваги буде нерухомий, яким би складним не
було рух окремих тіл. Розгляньмо цей закон з погляду теорії відносності.
Нехай маємо два тіла з масами m0 і M0; нехай вони спочатку нерухомі й дотикаються одне до одного. Їхній спільний центр ваги перебуватиме поблизу точки дотику. Нехай, далі, в деякий момент часу ці тіла раптово відштовхуються одне від одного. Для визначеності можна уявити собі, що це відштовхування відбувається за допомогою стиснутої пружини, яка у потрібний момент звільняється. У результаті обидва тіла дістануть однакові за величиною імпульси (оскільки до відштовхування їхній спільний імпульс дорівнював нулю), але оскільки маси їхні різні, то різними будуть і швидкості; позначмо абсолютні величини швидкостей через u та U. Через одиницю часу після моменту відштовхування наші тіла перебуватимуть від колишнього положення центра ваги на відстанях, рівних якраз u та U (рис. 29).
Зображення
Відомо, що центр ваги двох тіл міститься на прямій, яка сполучає ці тіла, ближче до тіла з більшою масою, причому у стільки разів ближче, у скільки разів більша маса. Оскільки до початку руху центр ваги був нерухомий, він має перебувати в тій самій точці й тепер. Таким чином, мала б, здавалося, виконуватися співвідношення
Зображення
Це означає, що, обчислюючи положення центра ваги системи рухомих тіл, ми повинні брати замість
m0 і M0 величини
m0 і M0 величини
Зображення
відповідно до звичайного правила обчислення центра ваги.
Отже, поряд із «звичайною» масою, яку ми позначили через m0, у теорії відносності відіграє роль також і величина, позначена нами через m. Якщо швидкість тіла порівняно невелика, ці дві величини практично збігаються, але за великих швидкостей m зростає й може стати як завгодно великою. Пригадавши нашу ракету, ми доходимо висновку, що величина m відображає властивості інертності тіла значно повніше, ніж m0.
Але продовжмо наші розгляди. Уявімо собі прямокутний ящик з абсолютно пружними стінками; нехай його маса буде M0. Цю масу ми можемо виміряти, діючи на ящик зовнішньою силою відомої величини й вимірюючи прискорення, якого він набув. При цьому можна обмежитися малими силами й прискореннями, так що в результати вимірювань релятивістських поправок можна не вносити.
Припустімо тепер, що до цього ящика наближається релятивістська, тобто дуже швидко рухома, частинка з масою m0. У той момент, коли вона підійде впритул, відкриємо одну зі стінок ящика, пропустивши всередину частинку, а потім негайно закриємо стінку, так що наша частинка опиниться «замкненою». Оскільки стінки ящика абсолютно пружні, частинка почне «метатися» по ящику з кінця в кінець, ударяючись об її стінки. Розглядаючи ящик ззовні, ми виявимо, що під дією ударів частинки він «тремтить». Якщо швидкість частинки достатньо велика, то це тремтіння буде таким частим, що ми можемо вважати ящик у середньому нерухомим (або таким, що рухається рівномірно й прямолінійно).
Спробуймо тепер знову виміряти масу ящика. Для цього подіємо на нього тією самою силою й виміряймо прискорення, якого він при цьому набуде. Частинка, що перебуває всередині, також братиме участь у русі ящика, так що повідомлена ящику швидкість додасться до тієї швидкозмінної швидкості, якою володіє частинка всередині ящика (звісно, при такому додаванні швидкостей необхідно враховувати їхні миттєві напрямки). Але ми вже бачили, що змінити швидкість тіла, яке швидко рухається, важче, ніж нерухомого або такого, що рухається повільно. Тому наша частинка опиратиметься зміні швидкості тим сильніше, чим більша її власна швидкість. Це цілком підтверджується точним розрахунком, заснованим на законі збереження імпульсу. Виявляється, що при повторному вимірюванні маси ми дістанемо результат, який більший за старий якраз на величину m! Отже, нова видима маса ящика із замкненою в ньому частинкою складається з маси самого ящика й величини m частинки.
Тим самим значення цієї величини m ще більше зростає; пора дати їй назву. Її називають релятивістською масою. Оскільки при u=0 маємо m=m0, то величину m0 називають масою спокою.
Ми можемо розглянути ящик, у якому замкнено не одну, а багато частинок. Результат буде той самий — видима маса ящика дорівнює масі порожнього ящика плюс сума релятивістських мас усіх частинок, що перебувають у ньому. Але такий ящик є не чим іншим, як найпростішою моделлю посудини, наповненої газом. Отже, загальна маса такої посудини складається з маси її стінок і релятивістських мас молекул газу. Те саме стосується й твердого тіла, оскільки його молекули здійснюють, як відомо, безперервний тепловий рух. Вимірюючи масу твердого тіла, ми вимірюємо, власне, сумарну релятивістську масу всіх його молекул. Отже, видима маса, яку ми розглядаємо, є просто тією самою масою, що править за міру інертності тіла. Якщо тіло нерухоме, то вона дорівнює масі спокою, якщо ж тіло рухається, то це буде його релятивістська маса.
Якщо два чи кілька тіл з'єднуються, утворюючи одне нове тіло, то релятивістська маса нового тіла дорівнюватиме точно сумі релятивістських мас його складових частин; таким чином, релятивістська маса підпорядковується закону збереження. Що ж до маси спокою, то для неї ніякого закону збереження не існує. Справді, на прикладі посудини з газом ми бачили, що її маса спокою аж ніяк не дорівнює сумі мас спокою молекул і стінок. Більше того, ми незабаром переконаємося, що маса спокою може знищуватися або виникати там, де раніше жодної такої маси не було.
Отже, релятивістський закон збереження маси формулюється точнісінько так само, як і класичний; відмінність полягає лише в тому, що замість класичної маси (яку певною мірою можна ототожнити з масою спокою) у нього входить маса релятивістська. Оскільки ця маса є величиною відносною, то й новий закон за своїм значенням і фізичним змістом істотно відрізняється від класичного закону.
Раніше вважали, що можна виміряти масу як завгодно складної фізичної системи, вимірюючи по черзі маси її складових частин; при цьому можна було складові частини виймати із системи, повертаючи їх на попереднє місце після вимірювань. Вважалося, що арифметична сума мас, отриманих таким чином, і є маса всієї системи. Закон збереження маси вважався законом статичним, рух і внутрішній стан системи не мали до нього жодного стосунку.
Теорія відносності такої процедури вже не допускає. Маса тіла не дорівнює простій сумі мас спокою його складових частин; тут необхідний облік руху та взаємодії їх між собою. Закон збереження маси втратив свою статичність, він став законом динамічним, законом руху. Найправильніше було б формулювати його таким чином: у будь-якій (ізольованій від зовнішніх впливів) фізичній системі тіла, що її складають, рухаються так, що їхня сумарна релятивістська маса залишається сталою.
Певна парадоксальність цього закону пов'язана, звісно, з тим, що релятивістська маса є величиною відносною, тобто залежить від вибору системи відліку. Усі ми зі шкільної лави надто звикли бачити в масі не стільки міру інертності, скільки міру кількості речовини чи матерії; часто саме слово «маса» фігурує як синонім «матерії». Важко відмовитися від думки, що коли маса тіла змінюється, то з ним обов'язково щось має відбуватися, якось має змінюватися й внутрішній стан тіла. Безумовно, маса має багато властивостей, які роблять її придатним засобом для вимірювання кількості речовини. Це пов'язано насамперед з тим, що за звичайних швидкостей релятивістська маса практично точно збігається з масою спокою, а фізичні явища, пов'язані зі «зникненням» і «зародженням» маси спокою, дають надто нікчемний ефект. Тому й виходить, що маса тіла практично дорівнює сумі мас його складових частин. Як бачимо, точніший облік релятивістських ефектів показує, що ці уявлення є лише певним наближенням до дійсності.
Але чи не вказує закон збереження релятивістської маси на те, що ця маса все ж може правити за міру кількості матерії? Адже відомо, що матерія не знищується й не самозароджується. Навіть у тих випадках, коли зникає маса спокою, матерія аж ніяк не зникає; вона лише переходить в іншу форму.
Такому розумінню релятивістської маси знову-таки перешкоджає її відносність. Одне й те саме тіло в різних системах відліку має різну масу; виходить, що в різних системах відліку в ньому міститься різна кількість матерії. Але навіть якщо з цим примиритися, усе ж аж ніяк не можна уникнути безглуздостей. Розгляньмо, наприклад, дві пружні кулі однакової маси спокою. Нехай перша куля рухається, а друга нерухома. Відомо, що можливе таке їхнє зіткнення, після якого перша куля зупиниться, а друга рухатиметься з тією самою швидкістю в тому самому напрямку. До зіткнення більшу релятивістську масу має перша куля; після зіткнення, навпаки, більшу масу має інша. Ми змушені зробити висновок, що в момент удару частина матерії першої кулі якимось чином перейшла на другу кулю. Розгляньмо тепер той самий рух у системі відліку, де до удару нерухома не друга, а перша куля. Там усе відбувається у зворотному порядку: більшу масу має спочатку друга куля, а потім перша. Виходить, що матерія перейшла з другої кулі на першу. Усе це робить вельми й вельми сумнівною користь розгляду маси як кількості матерії.
Маса не є матерія, а лише одна з властивостей матерії. Закон збереження маси не є законом збереження матерії. Безумовно, збереження маси певною мірою відображає факт збереження матерії; але вважати цей фізичний закон точним і адекватним кількісним виразом загальнофілософського принципу збереження матерії було б помилкою.
Властивість інертності матерії в класичній фізиці описувалася однією величиною; теорія відносності виявила більше багатство, різнобічність цього поняття. Однієї величини для відображення цієї властивості виявляється недостатньо, тепер доводиться мати справу з двома величинами — відносною та абсолютною.
Тепер розгляньмо дещо детальніше питання про перетворення маси та імпульсу при зміні системи відліку. Ми знаємо, як ці величини виражаються через масу спокою та швидкість; при зміні системи відліку маса спокою не змінюється, а швидкість перетворюється згідно з релятивістським законом додавання швидкостей. Таким чином, знаючи масу й імпульс тіла в одній системі відліку, ми завжди зможемо обчислити їх у будь-якій іншій системі. Якщо в системі відліку S
Отже, поряд із «звичайною» масою, яку ми позначили через m0, у теорії відносності відіграє роль також і величина, позначена нами через m. Якщо швидкість тіла порівняно невелика, ці дві величини практично збігаються, але за великих швидкостей m зростає й може стати як завгодно великою. Пригадавши нашу ракету, ми доходимо висновку, що величина m відображає властивості інертності тіла значно повніше, ніж m0.
Але продовжмо наші розгляди. Уявімо собі прямокутний ящик з абсолютно пружними стінками; нехай його маса буде M0. Цю масу ми можемо виміряти, діючи на ящик зовнішньою силою відомої величини й вимірюючи прискорення, якого він набув. При цьому можна обмежитися малими силами й прискореннями, так що в результати вимірювань релятивістських поправок можна не вносити.
Припустімо тепер, що до цього ящика наближається релятивістська, тобто дуже швидко рухома, частинка з масою m0. У той момент, коли вона підійде впритул, відкриємо одну зі стінок ящика, пропустивши всередину частинку, а потім негайно закриємо стінку, так що наша частинка опиниться «замкненою». Оскільки стінки ящика абсолютно пружні, частинка почне «метатися» по ящику з кінця в кінець, ударяючись об її стінки. Розглядаючи ящик ззовні, ми виявимо, що під дією ударів частинки він «тремтить». Якщо швидкість частинки достатньо велика, то це тремтіння буде таким частим, що ми можемо вважати ящик у середньому нерухомим (або таким, що рухається рівномірно й прямолінійно).
Спробуймо тепер знову виміряти масу ящика. Для цього подіємо на нього тією самою силою й виміряймо прискорення, якого він при цьому набуде. Частинка, що перебуває всередині, також братиме участь у русі ящика, так що повідомлена ящику швидкість додасться до тієї швидкозмінної швидкості, якою володіє частинка всередині ящика (звісно, при такому додаванні швидкостей необхідно враховувати їхні миттєві напрямки). Але ми вже бачили, що змінити швидкість тіла, яке швидко рухається, важче, ніж нерухомого або такого, що рухається повільно. Тому наша частинка опиратиметься зміні швидкості тим сильніше, чим більша її власна швидкість. Це цілком підтверджується точним розрахунком, заснованим на законі збереження імпульсу. Виявляється, що при повторному вимірюванні маси ми дістанемо результат, який більший за старий якраз на величину m! Отже, нова видима маса ящика із замкненою в ньому частинкою складається з маси самого ящика й величини m частинки.
Тим самим значення цієї величини m ще більше зростає; пора дати їй назву. Її називають релятивістською масою. Оскільки при u=0 маємо m=m0, то величину m0 називають масою спокою.
Ми можемо розглянути ящик, у якому замкнено не одну, а багато частинок. Результат буде той самий — видима маса ящика дорівнює масі порожнього ящика плюс сума релятивістських мас усіх частинок, що перебувають у ньому. Але такий ящик є не чим іншим, як найпростішою моделлю посудини, наповненої газом. Отже, загальна маса такої посудини складається з маси її стінок і релятивістських мас молекул газу. Те саме стосується й твердого тіла, оскільки його молекули здійснюють, як відомо, безперервний тепловий рух. Вимірюючи масу твердого тіла, ми вимірюємо, власне, сумарну релятивістську масу всіх його молекул. Отже, видима маса, яку ми розглядаємо, є просто тією самою масою, що править за міру інертності тіла. Якщо тіло нерухоме, то вона дорівнює масі спокою, якщо ж тіло рухається, то це буде його релятивістська маса.
Якщо два чи кілька тіл з'єднуються, утворюючи одне нове тіло, то релятивістська маса нового тіла дорівнюватиме точно сумі релятивістських мас його складових частин; таким чином, релятивістська маса підпорядковується закону збереження. Що ж до маси спокою, то для неї ніякого закону збереження не існує. Справді, на прикладі посудини з газом ми бачили, що її маса спокою аж ніяк не дорівнює сумі мас спокою молекул і стінок. Більше того, ми незабаром переконаємося, що маса спокою може знищуватися або виникати там, де раніше жодної такої маси не було.
Отже, релятивістський закон збереження маси формулюється точнісінько так само, як і класичний; відмінність полягає лише в тому, що замість класичної маси (яку певною мірою можна ототожнити з масою спокою) у нього входить маса релятивістська. Оскільки ця маса є величиною відносною, то й новий закон за своїм значенням і фізичним змістом істотно відрізняється від класичного закону.
Раніше вважали, що можна виміряти масу як завгодно складної фізичної системи, вимірюючи по черзі маси її складових частин; при цьому можна було складові частини виймати із системи, повертаючи їх на попереднє місце після вимірювань. Вважалося, що арифметична сума мас, отриманих таким чином, і є маса всієї системи. Закон збереження маси вважався законом статичним, рух і внутрішній стан системи не мали до нього жодного стосунку.
Теорія відносності такої процедури вже не допускає. Маса тіла не дорівнює простій сумі мас спокою його складових частин; тут необхідний облік руху та взаємодії їх між собою. Закон збереження маси втратив свою статичність, він став законом динамічним, законом руху. Найправильніше було б формулювати його таким чином: у будь-якій (ізольованій від зовнішніх впливів) фізичній системі тіла, що її складають, рухаються так, що їхня сумарна релятивістська маса залишається сталою.
Певна парадоксальність цього закону пов'язана, звісно, з тим, що релятивістська маса є величиною відносною, тобто залежить від вибору системи відліку. Усі ми зі шкільної лави надто звикли бачити в масі не стільки міру інертності, скільки міру кількості речовини чи матерії; часто саме слово «маса» фігурує як синонім «матерії». Важко відмовитися від думки, що коли маса тіла змінюється, то з ним обов'язково щось має відбуватися, якось має змінюватися й внутрішній стан тіла. Безумовно, маса має багато властивостей, які роблять її придатним засобом для вимірювання кількості речовини. Це пов'язано насамперед з тим, що за звичайних швидкостей релятивістська маса практично точно збігається з масою спокою, а фізичні явища, пов'язані зі «зникненням» і «зародженням» маси спокою, дають надто нікчемний ефект. Тому й виходить, що маса тіла практично дорівнює сумі мас його складових частин. Як бачимо, точніший облік релятивістських ефектів показує, що ці уявлення є лише певним наближенням до дійсності.
Але чи не вказує закон збереження релятивістської маси на те, що ця маса все ж може правити за міру кількості матерії? Адже відомо, що матерія не знищується й не самозароджується. Навіть у тих випадках, коли зникає маса спокою, матерія аж ніяк не зникає; вона лише переходить в іншу форму.
Такому розумінню релятивістської маси знову-таки перешкоджає її відносність. Одне й те саме тіло в різних системах відліку має різну масу; виходить, що в різних системах відліку в ньому міститься різна кількість матерії. Але навіть якщо з цим примиритися, усе ж аж ніяк не можна уникнути безглуздостей. Розгляньмо, наприклад, дві пружні кулі однакової маси спокою. Нехай перша куля рухається, а друга нерухома. Відомо, що можливе таке їхнє зіткнення, після якого перша куля зупиниться, а друга рухатиметься з тією самою швидкістю в тому самому напрямку. До зіткнення більшу релятивістську масу має перша куля; після зіткнення, навпаки, більшу масу має інша. Ми змушені зробити висновок, що в момент удару частина матерії першої кулі якимось чином перейшла на другу кулю. Розгляньмо тепер той самий рух у системі відліку, де до удару нерухома не друга, а перша куля. Там усе відбувається у зворотному порядку: більшу масу має спочатку друга куля, а потім перша. Виходить, що матерія перейшла з другої кулі на першу. Усе це робить вельми й вельми сумнівною користь розгляду маси як кількості матерії.
Маса не є матерія, а лише одна з властивостей матерії. Закон збереження маси не є законом збереження матерії. Безумовно, збереження маси певною мірою відображає факт збереження матерії; але вважати цей фізичний закон точним і адекватним кількісним виразом загальнофілософського принципу збереження матерії було б помилкою.
Властивість інертності матерії в класичній фізиці описувалася однією величиною; теорія відносності виявила більше багатство, різнобічність цього поняття. Однієї величини для відображення цієї властивості виявляється недостатньо, тепер доводиться мати справу з двома величинами — відносною та абсолютною.
Тепер розгляньмо дещо детальніше питання про перетворення маси та імпульсу при зміні системи відліку. Ми знаємо, як ці величини виражаються через масу спокою та швидкість; при зміні системи відліку маса спокою не змінюється, а швидкість перетворюється згідно з релятивістським законом додавання швидкостей. Таким чином, знаючи масу й імпульс тіла в одній системі відліку, ми завжди зможемо обчислити їх у будь-якій іншій системі. Якщо в системі відліку S
Зображення
Зображення
Цей результат вельми цікавий. Ми дістали, що при зміні системи відліку імпульс і маса перетворюються так само, як і координати подій, за формулами Лоренца. Це означає, що між масою та імпульсом існує такий самий зв'язок, як і між простором і часом: як та, так і інша пара величин об'єднуються в деяку складну величину. Тим самим і закони збереження маси та імпульсу поєднуються в єдиний закон збереження нової складної величини — маси — імпульсу.
Встановлений нами закон перетворення маси та імпульсу мовою математики означає, що маса й імпульс разом складають єдиний чотиривимірний вектор. Те, що ми мали справу лише з двома вимірами, спричинене, звісно, тим, що ми розглядали тільки одновимірні задачі. Загалом же імпульс є, як відомо, величиною векторною, тобто має три компоненти. Теорія відносності додає ще одну — релятивістську масу.
Об'єднання раніше різнорідних і навіть незалежних понять у єдине ціле є взагалі характерною особливістю теорії відносності. Особливо важливим її успіхом у цьому напрямі є теорія електромагнітного поля. Класична теорія, створена працями Максвелла та Лоренца, страждала багатьма характерними вадами. Відомо, наприклад, що при вдвиганні магніту всередину дротяної котушки в ній виникає електричний струм. Це явище пояснюється законом індукції Фарадея. Навпаки, якщо котушку насувати на нерухомий магніт, то струм, що з'являється в ній, відноситься на рахунок дії так званих сил Лоренца. Хоча з погляду принципу відносності перед нами цілком одне й те саме явище, пояснення його в обох випадках цілком різне! Те, що як в одному, так і в другому випадку сила струму виходить однаковою, виглядає чистісінькою випадковістю.
Це означає, що теорія Максвелла — Лоренца не зовсім задовольняє принцип відносності; як ми знаємо, це й стало основною спонукальною причиною до створення теорії відносності. У своїй першій праці Ейнштейн займається передусім приведенням законів електродинаміки у відповідність із принципом відносності. Досягається це насамперед об'єднанням електричного та магнітного поля в єдине нове поняття — електромагнітне поле. Якщо раніше в теорії фігурувало два вектори, напруженості електричного й магнітного поля, то тепер у ній з'явилося одне складне математичне поняття, так званий тензор електромагнітного поля. При зміні системи відліку компоненти цього тензора перетворюються за формулами перетворення Лоренца. Формули перетворень показують, зокрема, що коли в деякій системі відліку поле є суто магнітним, то в іншій системі в нього з'являються й електричні складові. Таким чином, у випадку котушки та магніту в тій системі відліку, де котушка нерухома, в обох випадках існує електричне поле, яке й спричиняє струм. Так усувається згадана вище «неув'язка». Крім того, нова теорія дає змогу легко й просто розв'язувати багато задач, які раніше викликали серйозні труднощі. Наприклад, поле рухомого заряду визначається простою зміною системи відліку, оскільки поле нерухомого заряду добре відоме — воно дається законом Кулона.
Розгляньмо ще коротко питання про силу в релятивістській механіці. Ми вже згадували, що силою можна було б назвати добуток «власного» прискорення тіла на його масу спокою. Проте з ряду причин таке означення незручне. У теорії відносності силу означають як добуток власного прискорення на релятивістську масу. Тоді другий закон Ньютона записується в такому вигляді:
p2 - p1 = f(τ2 - τ1)
Таким чином, словесне його формулювання майже не змінюється: зміна імпульсу дорівнює добутку сили на відповідний проміжок власного часу даного тіла.
Оскільки релятивістська маса зростає разом зі швидкістю, то навіть у випадку рівноприскореного руху сила, що діє на тіло, збільшується; так стоїть справа і з ракетою, неодноразово розглянутою вище. Слід сказати, що в теорії відносності всі сили, як правило, залежать від швидкості тіла, на яке вони діють. Це має місце, зокрема, і при русі зарядженого тіла в сталому й однорідному електричному полі. До речі, в цьому випадку рух буде якраз рівноприскореним.
У зв'язку з означенням сили в читача може виникнути подив. Адже, здавалося б, сила є деяке об'єктивне відношення між тілами та полями, що існує цілком незалежно від будь-якої теорії. Як же в такому разі можна вибирати означення сили? Мало б існувати єдине-єдине означення — те, що відповідає дійсності, а не зручності.
Річ у тім, що, означаючи силу як добуток маси на прискорення, ми маємо на увазі не саму силу як об'єктивну взаємодію між реальними фізичними тілами, а лише число, за допомогою якого ми цю силу вимірюємо і яке підставлятиметься у відповідні рівняння. Способи ж вимірювання сили можуть бути різними. Якби ми забажали вимірювати силу, наприклад, добутком маси спокою на прискорення, то другий закон Ньютона набув би вигляду
p2 - p1 = f(t2 - t1)
Хоча обидві формулювання цього закону й різні за формою, вони виражають один і той самий фізичний зміст. Розв'язуючи одну й ту саму задачу за допомогою обох рівнянь, ми дістанемо одну й ту саму відповідь (звісно, замість f у кожному випадку підставлятимуться різні числа).
Визнати те чи інше означення правильним або неправильним, вдалим або невдалим можна лише в процесі розвитку всієї теорії, яка на кожному кроці безперервно порівнюється з дослідом. Формальних ознак для такого відбору не існує; з формальної точки зору всяке означення певною мірою довільне й виглядає як якась умовна домовленість. Дійсний зміст і значення кожного наукового поняття не можна оцінити, прочитавши лише перші сторінки відповідної монографії, де дається означення цього поняття; це можна зробити після засвоєння всієї теорії або хоча б достатньо значної її частини. У цій книжці ми, зрозуміло, позбавлені такої можливості»
Зазначимо насамкінець, що релятивістські формули імпульсу та маси були піддані дослідній перевірці ще до створення теорії відносності. На початку нинішнього століття фізиками було здійснено перші успішні спроби вимірювання заряду й маси елементарної частинки матерії — електрона. З цією метою потік вільних електронів пропускався через електромагнітне поле, яке, діючи на електрони, змушувало їх відхилятися від прямолінійного шляху. Знаючи величину цього відхилення, можна було обчислити швидкість електрона, а також відношення його електричного заряду, до маси. Досліди з дуже швидкими електронами показали, що відношення заряду до маси із зростанням швидкості зменшується. Оскільки на підставі вельми вагомих міркувань заряд електрона від його швидкості залежати не може, залишається припустити, що в міру зростання швидкості збільшується маса. Перші досліди давали невисоку точність і лише якісно підтвердили формулу для маси, дану Лоренцом (ця формула збігається з відомою нам релятивістською формулою).
Слід сказати, що в той час із формулою Лоренца конкурувала інша, виведена з інших міркувань Абрагамом. Незабаром з'явилася на світ теорія відносності, і питання про вибір тієї чи іншої формули набуло принципового значення. Послідувала ціла низка теоретичних та експериментальних праць; виникла полеміка. Проте перші переконливі експериментальні результати на користь формули Лоренца — Ейнштейна вдалося отримати лише в двадцятих роках.
Нині формула Абрагама має лише історичний інтерес.
Встановлений нами закон перетворення маси та імпульсу мовою математики означає, що маса й імпульс разом складають єдиний чотиривимірний вектор. Те, що ми мали справу лише з двома вимірами, спричинене, звісно, тим, що ми розглядали тільки одновимірні задачі. Загалом же імпульс є, як відомо, величиною векторною, тобто має три компоненти. Теорія відносності додає ще одну — релятивістську масу.
Об'єднання раніше різнорідних і навіть незалежних понять у єдине ціле є взагалі характерною особливістю теорії відносності. Особливо важливим її успіхом у цьому напрямі є теорія електромагнітного поля. Класична теорія, створена працями Максвелла та Лоренца, страждала багатьма характерними вадами. Відомо, наприклад, що при вдвиганні магніту всередину дротяної котушки в ній виникає електричний струм. Це явище пояснюється законом індукції Фарадея. Навпаки, якщо котушку насувати на нерухомий магніт, то струм, що з'являється в ній, відноситься на рахунок дії так званих сил Лоренца. Хоча з погляду принципу відносності перед нами цілком одне й те саме явище, пояснення його в обох випадках цілком різне! Те, що як в одному, так і в другому випадку сила струму виходить однаковою, виглядає чистісінькою випадковістю.
Це означає, що теорія Максвелла — Лоренца не зовсім задовольняє принцип відносності; як ми знаємо, це й стало основною спонукальною причиною до створення теорії відносності. У своїй першій праці Ейнштейн займається передусім приведенням законів електродинаміки у відповідність із принципом відносності. Досягається це насамперед об'єднанням електричного та магнітного поля в єдине нове поняття — електромагнітне поле. Якщо раніше в теорії фігурувало два вектори, напруженості електричного й магнітного поля, то тепер у ній з'явилося одне складне математичне поняття, так званий тензор електромагнітного поля. При зміні системи відліку компоненти цього тензора перетворюються за формулами перетворення Лоренца. Формули перетворень показують, зокрема, що коли в деякій системі відліку поле є суто магнітним, то в іншій системі в нього з'являються й електричні складові. Таким чином, у випадку котушки та магніту в тій системі відліку, де котушка нерухома, в обох випадках існує електричне поле, яке й спричиняє струм. Так усувається згадана вище «неув'язка». Крім того, нова теорія дає змогу легко й просто розв'язувати багато задач, які раніше викликали серйозні труднощі. Наприклад, поле рухомого заряду визначається простою зміною системи відліку, оскільки поле нерухомого заряду добре відоме — воно дається законом Кулона.
Розгляньмо ще коротко питання про силу в релятивістській механіці. Ми вже згадували, що силою можна було б назвати добуток «власного» прискорення тіла на його масу спокою. Проте з ряду причин таке означення незручне. У теорії відносності силу означають як добуток власного прискорення на релятивістську масу. Тоді другий закон Ньютона записується в такому вигляді:
p2 - p1 = f(τ2 - τ1)
Таким чином, словесне його формулювання майже не змінюється: зміна імпульсу дорівнює добутку сили на відповідний проміжок власного часу даного тіла.
Оскільки релятивістська маса зростає разом зі швидкістю, то навіть у випадку рівноприскореного руху сила, що діє на тіло, збільшується; так стоїть справа і з ракетою, неодноразово розглянутою вище. Слід сказати, що в теорії відносності всі сили, як правило, залежать від швидкості тіла, на яке вони діють. Це має місце, зокрема, і при русі зарядженого тіла в сталому й однорідному електричному полі. До речі, в цьому випадку рух буде якраз рівноприскореним.
У зв'язку з означенням сили в читача може виникнути подив. Адже, здавалося б, сила є деяке об'єктивне відношення між тілами та полями, що існує цілком незалежно від будь-якої теорії. Як же в такому разі можна вибирати означення сили? Мало б існувати єдине-єдине означення — те, що відповідає дійсності, а не зручності.
Річ у тім, що, означаючи силу як добуток маси на прискорення, ми маємо на увазі не саму силу як об'єктивну взаємодію між реальними фізичними тілами, а лише число, за допомогою якого ми цю силу вимірюємо і яке підставлятиметься у відповідні рівняння. Способи ж вимірювання сили можуть бути різними. Якби ми забажали вимірювати силу, наприклад, добутком маси спокою на прискорення, то другий закон Ньютона набув би вигляду
p2 - p1 = f(t2 - t1)
Хоча обидві формулювання цього закону й різні за формою, вони виражають один і той самий фізичний зміст. Розв'язуючи одну й ту саму задачу за допомогою обох рівнянь, ми дістанемо одну й ту саму відповідь (звісно, замість f у кожному випадку підставлятимуться різні числа).
Визнати те чи інше означення правильним або неправильним, вдалим або невдалим можна лише в процесі розвитку всієї теорії, яка на кожному кроці безперервно порівнюється з дослідом. Формальних ознак для такого відбору не існує; з формальної точки зору всяке означення певною мірою довільне й виглядає як якась умовна домовленість. Дійсний зміст і значення кожного наукового поняття не можна оцінити, прочитавши лише перші сторінки відповідної монографії, де дається означення цього поняття; це можна зробити після засвоєння всієї теорії або хоча б достатньо значної її частини. У цій книжці ми, зрозуміло, позбавлені такої можливості»
Зазначимо насамкінець, що релятивістські формули імпульсу та маси були піддані дослідній перевірці ще до створення теорії відносності. На початку нинішнього століття фізиками було здійснено перші успішні спроби вимірювання заряду й маси елементарної частинки матерії — електрона. З цією метою потік вільних електронів пропускався через електромагнітне поле, яке, діючи на електрони, змушувало їх відхилятися від прямолінійного шляху. Знаючи величину цього відхилення, можна було обчислити швидкість електрона, а також відношення його електричного заряду, до маси. Досліди з дуже швидкими електронами показали, що відношення заряду до маси із зростанням швидкості зменшується. Оскільки на підставі вельми вагомих міркувань заряд електрона від його швидкості залежати не може, залишається припустити, що в міру зростання швидкості збільшується маса. Перші досліди давали невисоку точність і лише якісно підтвердили формулу для маси, дану Лоренцом (ця формула збігається з відомою нам релятивістською формулою).
Слід сказати, що в той час із формулою Лоренца конкурувала інша, виведена з інших міркувань Абрагамом. Незабаром з'явилася на світ теорія відносності, і питання про вибір тієї чи іншої формули набуло принципового значення. Послідувала ціла низка теоретичних та експериментальних праць; виникла полеміка. Проте перші переконливі експериментальні результати на користь формули Лоренца — Ейнштейна вдалося отримати лише в двадцятих роках.
Нині формула Абрагама має лише історичний інтерес.