Досі ми розв'язували лише окремі найпростіші задачі теорії відносності. Тепер ми ознайомимося з формулами значно загальнішого характеру, які дадуть змогу отримати ціле коло важливих і цікавих наслідків. Але спочатку нам потрібно уточнити деякі поняття.
Ми весь час говорили про двох спостерігачів, один з яких нерухомий, а другий їде в потязі. Спостерігаючи ті самі події, вони доходять різних висновків. Поняття «спостерігача», як уже зазначалося, попри певну наочність, вносить в усі висновки теорії певний відтінок суб'єктивності, створює іноді враження, що ці висновки залежать від того, що «видається» якомусь спостерігачеві. Насправді теорія відносності взагалі не має справи ні з якими «спостерігачами». Замість них є поняття системи відліку.
Під системою відліку розуміють будь-який прилад або комплекс приладів і пристроїв, що працюють спільно і здатні фіксувати місце й час кожної події. При цьому цілком байдуже, чи керує цими приладами людина, чи вони працюють автоматично.
Півстоліття тому, за часів створення теорії відносності, класичною моделлю системи відліку був набір твердих стрижнів для вимірювання відстаней і годинник для відліку часу. Тепер, коли техніка зробила крок уперед, ми можемо застосувати й інші, сучасніші моделі. Так, дуже зручна й наочна модель системи відліку у вигляді радіолокаційної станції. Треба думати, що з принципами радіолокації читач знайомий, хоча б у найзагальніших рисах. Для встановлення місцезнаходження того чи іншого об'єкта (наприклад, літака) зі станції посилається радіоімпульс, який, відбившись від цього об'єкта, повертається назад. Телевізійна техніка дає змогу з достатньою точністю виміряти проміжок часу між відправленням сигналу та його поверненням. А що швидкість сигналу відома — вона дорівнює швидкості світла,— то звідси безпосередньо отримується й відстань до досліджуваного об'єкта. Знаючи ж відстань до моменту події та напрямок на неї, ми тим самим визначимо її точні координати. Час фіксації об'єкта також легко обчислюється, бо швидкість сигналу в обидва боки однакова. Слід визнати, що така система відліку з багатьох поглядів зручніша за старі громіздкі системи з твердих стрижнів, і ми радили б читачеві призвичаїтися до неї. До того ж саме поняття абсолютно твердого тіла в теорії відносності, як уже зазначалося, не цілком коректне.
Але справа, звісно, не в конкретній «конструкції» системи відліку. У своїх дослідженнях фізики користуються найрізноманітнішими приладами для вимірювання довжин і проміжків часу, добираючи їх з міркувань точності, зручності та простоти. Якими б приладами не реєструвати події, в межах визначеного для кожного приладу ступеня точності кожен із них дасть одні й ті самі показання. Тому ми не уточнюватимемо питання про конкретизацію системи відліку, якщо цього не вимагатиме прагнення до особливої наочності.
Дуже суттєвим є припущення про можливість приписати всій системі відліку загалом певну швидкість відносно будь-якого тіла чи іншої системи відліку.
Тепер замість виразів «швидкість тіла з погляду даного спостерігача» чи «час події для даного спостерігача» ми говоритимемо: «швидкість тіла в даній системі відліку» і «час події в даній системі відліку». Різні системи відліку можуть давати при цьому різні результати; одним з основних завдань теорії відносності є встановлення зв'язку між ними. Іншим важливим завданням є вивчення тих властивостей явищ, які не залежать від вибору тієї чи іншої системи відліку.
Навколишній простір має три виміри. Це означає, що для вказання місця будь-якої події необхідно задати три числа. Ці три числа пов'язані з деякою системою координат, яка вводиться в простір за допомогою тієї самої системи відліку. Для теоретичних досліджень часто залучають прямокутні декартові координати, які з багатьох поглядів простіші й зручніші за інші координатні системи. Але цілком можливі й інші координатні системи,— наприклад, астрономи для вказання точного місця світила вказують його пряме піднесення, схилення і відстань від Землі.
Але для повного вказання події трьох координат недостатньо, необхідно ще задати момент часу, в який відбувається подія. Таким чином, подія визначається чотирма числами. У цьому розумінні можна сказати, що простір подій має чотири виміри. Тут немає, звісно, жодної містики — просторових координат, як і раніше, залишається три; четверта координата — часова — якісно відрізняється від просторових. Об'єднання чотирьох координат події в єдиний комплекс пояснюється аж ніяк не прагненням стерти будь-яку різницю між простором і часом. У просторі можна, наприклад, рухатися взад і вперед, але жодна теорія відносності не дає змоги збудувати «машину часу», на якій можна було б вирушити в кам'яний вік.
Іноді можна почути запитання: а чому, власне, чотиривимірний світ становить привілей теорії відносності? Адже той факт, що для вказання події потрібно не три, а чотири числа, не є якимось великим відкриттям. По суті, чотири координати були потрібні для цього з давніх-давен. Чому ж Ньютон міг обходитися тривимірним світом, а Ейнштейну знадобився світ чотиривимірний? На це запитання ми відповімо трохи пізніше.
Нашим завданням є тепер встановлення зв'язку між координатами однієї й тієї самої події у двох різних системах відліку. Нехай маємо дві системи відліку S і S`, що задовольняють такі умови:
1. В обох системах просторові координати є прямокутними декартовими координатами. Ми позначатимемо їх відповідно через x, y, z і x`, у`, z`
Ми весь час говорили про двох спостерігачів, один з яких нерухомий, а другий їде в потязі. Спостерігаючи ті самі події, вони доходять різних висновків. Поняття «спостерігача», як уже зазначалося, попри певну наочність, вносить в усі висновки теорії певний відтінок суб'єктивності, створює іноді враження, що ці висновки залежать від того, що «видається» якомусь спостерігачеві. Насправді теорія відносності взагалі не має справи ні з якими «спостерігачами». Замість них є поняття системи відліку.
Під системою відліку розуміють будь-який прилад або комплекс приладів і пристроїв, що працюють спільно і здатні фіксувати місце й час кожної події. При цьому цілком байдуже, чи керує цими приладами людина, чи вони працюють автоматично.
Півстоліття тому, за часів створення теорії відносності, класичною моделлю системи відліку був набір твердих стрижнів для вимірювання відстаней і годинник для відліку часу. Тепер, коли техніка зробила крок уперед, ми можемо застосувати й інші, сучасніші моделі. Так, дуже зручна й наочна модель системи відліку у вигляді радіолокаційної станції. Треба думати, що з принципами радіолокації читач знайомий, хоча б у найзагальніших рисах. Для встановлення місцезнаходження того чи іншого об'єкта (наприклад, літака) зі станції посилається радіоімпульс, який, відбившись від цього об'єкта, повертається назад. Телевізійна техніка дає змогу з достатньою точністю виміряти проміжок часу між відправленням сигналу та його поверненням. А що швидкість сигналу відома — вона дорівнює швидкості світла,— то звідси безпосередньо отримується й відстань до досліджуваного об'єкта. Знаючи ж відстань до моменту події та напрямок на неї, ми тим самим визначимо її точні координати. Час фіксації об'єкта також легко обчислюється, бо швидкість сигналу в обидва боки однакова. Слід визнати, що така система відліку з багатьох поглядів зручніша за старі громіздкі системи з твердих стрижнів, і ми радили б читачеві призвичаїтися до неї. До того ж саме поняття абсолютно твердого тіла в теорії відносності, як уже зазначалося, не цілком коректне.
Але справа, звісно, не в конкретній «конструкції» системи відліку. У своїх дослідженнях фізики користуються найрізноманітнішими приладами для вимірювання довжин і проміжків часу, добираючи їх з міркувань точності, зручності та простоти. Якими б приладами не реєструвати події, в межах визначеного для кожного приладу ступеня точності кожен із них дасть одні й ті самі показання. Тому ми не уточнюватимемо питання про конкретизацію системи відліку, якщо цього не вимагатиме прагнення до особливої наочності.
Дуже суттєвим є припущення про можливість приписати всій системі відліку загалом певну швидкість відносно будь-якого тіла чи іншої системи відліку.
Тепер замість виразів «швидкість тіла з погляду даного спостерігача» чи «час події для даного спостерігача» ми говоритимемо: «швидкість тіла в даній системі відліку» і «час події в даній системі відліку». Різні системи відліку можуть давати при цьому різні результати; одним з основних завдань теорії відносності є встановлення зв'язку між ними. Іншим важливим завданням є вивчення тих властивостей явищ, які не залежать від вибору тієї чи іншої системи відліку.
Навколишній простір має три виміри. Це означає, що для вказання місця будь-якої події необхідно задати три числа. Ці три числа пов'язані з деякою системою координат, яка вводиться в простір за допомогою тієї самої системи відліку. Для теоретичних досліджень часто залучають прямокутні декартові координати, які з багатьох поглядів простіші й зручніші за інші координатні системи. Але цілком можливі й інші координатні системи,— наприклад, астрономи для вказання точного місця світила вказують його пряме піднесення, схилення і відстань від Землі.
Але для повного вказання події трьох координат недостатньо, необхідно ще задати момент часу, в який відбувається подія. Таким чином, подія визначається чотирма числами. У цьому розумінні можна сказати, що простір подій має чотири виміри. Тут немає, звісно, жодної містики — просторових координат, як і раніше, залишається три; четверта координата — часова — якісно відрізняється від просторових. Об'єднання чотирьох координат події в єдиний комплекс пояснюється аж ніяк не прагненням стерти будь-яку різницю між простором і часом. У просторі можна, наприклад, рухатися взад і вперед, але жодна теорія відносності не дає змоги збудувати «машину часу», на якій можна було б вирушити в кам'яний вік.
Іноді можна почути запитання: а чому, власне, чотиривимірний світ становить привілей теорії відносності? Адже той факт, що для вказання події потрібно не три, а чотири числа, не є якимось великим відкриттям. По суті, чотири координати були потрібні для цього з давніх-давен. Чому ж Ньютон міг обходитися тривимірним світом, а Ейнштейну знадобився світ чотиривимірний? На це запитання ми відповімо трохи пізніше.
Нашим завданням є тепер встановлення зв'язку між координатами однієї й тієї самої події у двох різних системах відліку. Нехай маємо дві системи відліку S і S`, що задовольняють такі умови:
1. В обох системах просторові координати є прямокутними декартовими координатами. Ми позначатимемо їх відповідно через x, y, z і x`, у`, z`
Зображення
2. Система відліку S` рухається відносно системи відліку S прямолінійно й рівномірно зі швидкістю v. Очевидно, що система S рухається відносно системи S` зі швидкістю —v.
3. Координатні осі x та x` напрямлені за рухом і ковзають одна по одній; осі y, z та у`, z` відповідно паралельні (рис. 11).
4. У момент часу t=t` =0 початки координат в обох системах відліку збігаються, тобто подія, усі чотири координати якої дорівнюють нулю в одній системі, має в іншій системі також нульові координати.
Виявляється, що за цих умов координати однієї й тієї самої події в обох системах пов'язані такими формулами:
3. Координатні осі x та x` напрямлені за рухом і ковзають одна по одній; осі y, z та у`, z` відповідно паралельні (рис. 11).
4. У момент часу t=t` =0 початки координат в обох системах відліку збігаються, тобто подія, усі чотири координати якої дорівнюють нулю в одній системі, має в іншій системі також нульові координати.
Виявляється, що за цих умов координати однієї й тієї самої події в обох системах пов'язані такими формулами:
Зображення
Ці формули дають змогу розрахувати координати x`, у`, z`, t` деякої події в системі S`, якщо відомі її координати x, y, z, t у системі S. Зворотний перехід від системи S` до системи S дається формулами
Зображення
Ці формули мають назву формул перетворень Лоренца, оскільки їх уперше отримав Лоренц; ці формули й виражають той особливий принцип відносності, якому задовольняють рівняння Максвелла. Теорія відносності залишила їх без змін, надавши їм нового змісту.
Розглядаючи ці формули, ми насамперед помічаємо, що координати y, z не перетворюються; це відповідає відсутності поперечного лоренцового скорочення. Далі, формули перетворень в один і в другий бік цілком симетричні, лише швидкість v замінена на —v. Це, звісно, відповідає факту рівноправності всіх систем відліку. Але найголовніше: перетворюється не лише просторова координата х, а й час t. Це означає, як ми вже знаємо, відносність не лише просторових координат, а й часу. Можна помітити, що формули для перетворення часу дуже схожі на формули для перетворення просторової координати x; цю схожість можна ще більше посилити, якщо замість величини t ввести величину ct. Формули тоді стануть цілком симетричними. Формально, таким чином, час нічим не відрізняється від просторових координат.
Цікаво порівняти перетворення Лоренца з «класичними» нерелятивістськими формулами перетворення від однієї системи відліку до іншої. По-перше, в ньютонівській механіці час не перетворюється, так що t=t`. Далі, якщо координати деякої події в системі S` є x`, t` (двох інших просторових координат ми можемо не розглядати— вони, як і раніше, не змінюються), то, оскільки система S` за проміжок часу vt` зсунеться відносно системи S на відстань vt` отримаємо x=x`+vt`. Таким чином, формули
x=x`+vt`,
t = t`
і обернені до них
x` = x - vt,
t` = t
відіграють у класичній механіці ту саму роль, яку в релятивістській механіці відіграють перетворення Лоренца. «Класичні» формули дістали назву формул перетворень Галілея. Нескладно помітити, що коли швидкість v відносного руху систем відліку мала порівняно зі швидкістю світла, перетворення Лоренца дають практично той самий результат, що й перетворення Галілея. Так, звісно, і має бути, і саме в цьому розумінні теорія відносності жодною мірою не скасовує класичної механіки. Перетворення Галілея можна формально дістати з перетворень Лоренца, якщо вважати величину c нескінченно великою. Нагадаємо, що c — не лише швидкість світла, а й максимальна швидкість поширення взаємодії («сигналів»). Це означає, що в класичній фізиці в принципі допустимі будь-які, навіть нескінченні швидкості поширення взаємодій. Про це ми вже говорили докладно, коли обговорювали питання, пов'язані з «далекодією» та «близькодією».
Те, що під час переходу від однієї системи відліку до іншої час перетворюється так само, як і просторові координати, змушує розглядати всі чотири координати події як єдине ціле. Теорія відносності встановлює, таким чином, тісний зв'язок між простором і часом, зв'язок, якого в класичній фізиці не існувало. Цей зв'язок проходить червоною ниткою крізь усю теорію відносності і тягне за собою об'єднання в єдиний комплекс інших понять, що раніше здавалися цілком незалежними, наприклад енергії та кількості руху. У цьому полягає одна з найчудовіших особливостей теорії відносності.
Слід зауважити, що так само чітко проводиться крізь усю теорію ідея про відмінність простору від часу. Ні перетвореннями Лоренца, ні будь-якими іншими перетвореннями, допустимими в теорії відносності, не можна перетворити простір на час чи навпаки. Якісна різниця між цими поняттями ніколи не стирається.
Тепер ми можемо відповісти на запитання, чому «чотиривимірний світ» увійшов у фізику разом з теорією відносності. У класичній фізиці час ніколи не змінювався, він був один і той самий у всіх системах відліку. Тому об'єднання в єдиний комплекс усіх чотирьох координат події було б просто механічною операцією, нікому, по суті, не потрібною, бо одна з координат — часова — ніколи не змінювалася. Чотиривимірний простір—час розпадався б усе одно на свої складові частини — тривимірний простір і одновимірний час.
Інша річ — механіка релятивістська. Тут час при переході від однієї системи відліку до іншої перетворюється разом з просторовими координатами, у цьому розумінні нічим серед них не вирізняючись. «Чотиривимірний світ» тепер уже не розпадається. Тому тепер штучним було б, навпаки, відокремлення часової координати від просторових. Усі чотири координати події мають розглядатися разом як єдине ціле.
Зауважимо ще, що в перших працях Ейнштейна «чотиривимірного світу» ще не було. Його було введено через три роки німецьким математиком Мінковським, і відтоді він став невід'ємною частиною теорії відносності. Тому «чотиривимірний світ» часто називають простором Мінковського.
Ми не наводитимемо тут виведення формул перетворень Лоренца, хоч для цього вже й маємо всі необхідні засоби. Обмежимося лише перевіркою того, що з формул перетворень Лоренца безпосередньо випливають усі раніше отримані результати. Для спрощення викладок ми не розглядатимемо просторові координати y і z. Це цілком законно, оскільки у всіх розглянутих нами раніше «уявних експериментах» події розігрувалися лише вздовж деякої прямої залізничної колії. Для задання місця такої події цілком досить одного числа, наприклад відстані від якої-небудь станції. Можна сказати, що простір у нас був, по суті, одновимірним, а «світ», тобто простір — час, — двовимірним.
Слід підкреслити, що у формули перетворень Лоренца входять не довжини відрізків і не проміжки часу, а координати окремих подій. Тому під час перекладу якогось явища з «мови» однієї системи відліку на «мову» іншої необхідно спочатку картину цього явища викласти «мовою» подій. Наприклад, щоб визначити довжину якогось тіла, потрібно розглянути дві події, що відбуваються на його кінцях і відбуваються одночасно (в даній системі відліку). Тоді різниця просторових координат цих подій і дасть шукану довжину.
Перейдімо до розгляду вже відомих нам релятивістських ефектів.
1. Формула лоренцового скорочення. Нехай маємо твердий стрижень, що перебуває в спокої в системі S`. Позначимо просторові координати його кінців у цій системі через х`1 і x`2. Його довжина (в
системі S`) дорівнює, очевидно, х`2 - x`1. Щоб виміряти його довжину в системі S, потрібно розглянути дві події, що відбуваються одночасно на його кінцях. Нехай їхні координати є x`1,t та x`2, t2; за умовою t1=t2. Тоді з формули, що виражає x через x та t, отримуємо
Розглядаючи ці формули, ми насамперед помічаємо, що координати y, z не перетворюються; це відповідає відсутності поперечного лоренцового скорочення. Далі, формули перетворень в один і в другий бік цілком симетричні, лише швидкість v замінена на —v. Це, звісно, відповідає факту рівноправності всіх систем відліку. Але найголовніше: перетворюється не лише просторова координата х, а й час t. Це означає, як ми вже знаємо, відносність не лише просторових координат, а й часу. Можна помітити, що формули для перетворення часу дуже схожі на формули для перетворення просторової координати x; цю схожість можна ще більше посилити, якщо замість величини t ввести величину ct. Формули тоді стануть цілком симетричними. Формально, таким чином, час нічим не відрізняється від просторових координат.
Цікаво порівняти перетворення Лоренца з «класичними» нерелятивістськими формулами перетворення від однієї системи відліку до іншої. По-перше, в ньютонівській механіці час не перетворюється, так що t=t`. Далі, якщо координати деякої події в системі S` є x`, t` (двох інших просторових координат ми можемо не розглядати— вони, як і раніше, не змінюються), то, оскільки система S` за проміжок часу vt` зсунеться відносно системи S на відстань vt` отримаємо x=x`+vt`. Таким чином, формули
x=x`+vt`,
t = t`
і обернені до них
x` = x - vt,
t` = t
відіграють у класичній механіці ту саму роль, яку в релятивістській механіці відіграють перетворення Лоренца. «Класичні» формули дістали назву формул перетворень Галілея. Нескладно помітити, що коли швидкість v відносного руху систем відліку мала порівняно зі швидкістю світла, перетворення Лоренца дають практично той самий результат, що й перетворення Галілея. Так, звісно, і має бути, і саме в цьому розумінні теорія відносності жодною мірою не скасовує класичної механіки. Перетворення Галілея можна формально дістати з перетворень Лоренца, якщо вважати величину c нескінченно великою. Нагадаємо, що c — не лише швидкість світла, а й максимальна швидкість поширення взаємодії («сигналів»). Це означає, що в класичній фізиці в принципі допустимі будь-які, навіть нескінченні швидкості поширення взаємодій. Про це ми вже говорили докладно, коли обговорювали питання, пов'язані з «далекодією» та «близькодією».
Те, що під час переходу від однієї системи відліку до іншої час перетворюється так само, як і просторові координати, змушує розглядати всі чотири координати події як єдине ціле. Теорія відносності встановлює, таким чином, тісний зв'язок між простором і часом, зв'язок, якого в класичній фізиці не існувало. Цей зв'язок проходить червоною ниткою крізь усю теорію відносності і тягне за собою об'єднання в єдиний комплекс інших понять, що раніше здавалися цілком незалежними, наприклад енергії та кількості руху. У цьому полягає одна з найчудовіших особливостей теорії відносності.
Слід зауважити, що так само чітко проводиться крізь усю теорію ідея про відмінність простору від часу. Ні перетвореннями Лоренца, ні будь-якими іншими перетвореннями, допустимими в теорії відносності, не можна перетворити простір на час чи навпаки. Якісна різниця між цими поняттями ніколи не стирається.
Тепер ми можемо відповісти на запитання, чому «чотиривимірний світ» увійшов у фізику разом з теорією відносності. У класичній фізиці час ніколи не змінювався, він був один і той самий у всіх системах відліку. Тому об'єднання в єдиний комплекс усіх чотирьох координат події було б просто механічною операцією, нікому, по суті, не потрібною, бо одна з координат — часова — ніколи не змінювалася. Чотиривимірний простір—час розпадався б усе одно на свої складові частини — тривимірний простір і одновимірний час.
Інша річ — механіка релятивістська. Тут час при переході від однієї системи відліку до іншої перетворюється разом з просторовими координатами, у цьому розумінні нічим серед них не вирізняючись. «Чотиривимірний світ» тепер уже не розпадається. Тому тепер штучним було б, навпаки, відокремлення часової координати від просторових. Усі чотири координати події мають розглядатися разом як єдине ціле.
Зауважимо ще, що в перших працях Ейнштейна «чотиривимірного світу» ще не було. Його було введено через три роки німецьким математиком Мінковським, і відтоді він став невід'ємною частиною теорії відносності. Тому «чотиривимірний світ» часто називають простором Мінковського.
Ми не наводитимемо тут виведення формул перетворень Лоренца, хоч для цього вже й маємо всі необхідні засоби. Обмежимося лише перевіркою того, що з формул перетворень Лоренца безпосередньо випливають усі раніше отримані результати. Для спрощення викладок ми не розглядатимемо просторові координати y і z. Це цілком законно, оскільки у всіх розглянутих нами раніше «уявних експериментах» події розігрувалися лише вздовж деякої прямої залізничної колії. Для задання місця такої події цілком досить одного числа, наприклад відстані від якої-небудь станції. Можна сказати, що простір у нас був, по суті, одновимірним, а «світ», тобто простір — час, — двовимірним.
Слід підкреслити, що у формули перетворень Лоренца входять не довжини відрізків і не проміжки часу, а координати окремих подій. Тому під час перекладу якогось явища з «мови» однієї системи відліку на «мову» іншої необхідно спочатку картину цього явища викласти «мовою» подій. Наприклад, щоб визначити довжину якогось тіла, потрібно розглянути дві події, що відбуваються на його кінцях і відбуваються одночасно (в даній системі відліку). Тоді різниця просторових координат цих подій і дасть шукану довжину.
Перейдімо до розгляду вже відомих нам релятивістських ефектів.
1. Формула лоренцового скорочення. Нехай маємо твердий стрижень, що перебуває в спокої в системі S`. Позначимо просторові координати його кінців у цій системі через х`1 і x`2. Його довжина (в
системі S`) дорівнює, очевидно, х`2 - x`1. Щоб виміряти його довжину в системі S, потрібно розглянути дві події, що відбуваються одночасно на його кінцях. Нехай їхні координати є x`1,t та x`2, t2; за умовою t1=t2. Тоді з формули, що виражає x через x та t, отримуємо
Зображення
Це і є формула лоренцового скорочення.
2. Відносність одночасності. Нехай у системі відліку S` («потязі») відбуваються дві одночасні події з координатами x`1,t` та x`2,t`. Обчислимо різницю їхніх часових координат у системі S («з погляду нерухомого спостерігача»). З формули, що виражає t через t` та x`, легко отримуємо
2. Відносність одночасності. Нехай у системі відліку S` («потязі») відбуваються дві одночасні події з координатами x`1,t` та x`2,t`. Обчислимо різницю їхніх часових координат у системі S («з погляду нерухомого спостерігача»). З формули, що виражає t через t` та x`, легко отримуємо
Зображення
Ця формула відрізняється від тієї, яку ми отримали в § 5, оскільки там фігурувала довжина a потяга в системі відліку S («для земного спостерігача»), тоді як тепер у формулу входить різниця координат x`2 та x`1, що дорівнює довжині потяга в системі S`. Щоб дістати повний збіг формул, досить скористатися формулою лоренцового скорочення
Зображення
Після підстановки переконуємося, що ми прийшли до старого результату. Зауважимо, що замість a було б неправильно писати x2 — x1, оскільки розглядувані події в системі S неодночасні, а тому x2 — х1 ≠ а.
3. Сповільнення часу. Нехай у системі відліку S` («потязі») відбуваються дві події в одній
і тій самій точці, так що їхні координати є x`, t`1, і x`,t`2. Проміжок часу між цими подіями в системі S` є, очевидно, t`2 — t`1. Обчислимо той самий проміжок у системі відліку S («для нерухомого спостерігача»). З тієї самої формули, що й раніше, отримуємо
3. Сповільнення часу. Нехай у системі відліку S` («потязі») відбуваються дві події в одній
і тій самій точці, так що їхні координати є x`, t`1, і x`,t`2. Проміжок часу між цими подіями в системі S` є, очевидно, t`2 — t`1. Обчислимо той самий проміжок у системі відліку S («для нерухомого спостерігача»). З тієї самої формули, що й раніше, отримуємо
Зображення
Читач без труднощів переконається, що й це — наш старий результат.
Отже, з формул перетворень Лоренца випливають усі розглянуті нами «ефекти». Надалі ми дістанемо з них ще ціле коло наслідків. Перетворення Лоренца посідають у теорії відносності дуже важливе місце, становлячи одну з її математичних основ. Між іншим, аналіз цих формул приводить до доведення несуперечливості теорії відносності, так що всі спроби отримати з її постулатів два наслідки, які суперечать один одному, заздалегідь приречені на невдачу.
На закінчення зауважимо, що формули перетворень Лоренца втрачають сенс, якщо v=c, оскільки тоді в їхніх знаменниках з'являються нулі, а ділення на нуль, як відомо, неможливе. Це означає, що жодні дві системи відліку не можуть мати відносної швидкості, що дорівнює швидкості світла. Звідси випливає, що й жодне матеріальне тіло не може досягти швидкості світла, оскільки до будь-якого тіла можна «прив'язати» систему відліку. Цей самий результат випливає й з інших формул, наприклад з формули лоренцового скорочення: тіло, що рухається зі швидкістю світла, мало б поздовжні розміри, рівні нулю, що явно безглуздо. Неможливість руху зі швидкістю світла надалі ще неодноразово підтвердиться.
Отже, з формул перетворень Лоренца випливають усі розглянуті нами «ефекти». Надалі ми дістанемо з них ще ціле коло наслідків. Перетворення Лоренца посідають у теорії відносності дуже важливе місце, становлячи одну з її математичних основ. Між іншим, аналіз цих формул приводить до доведення несуперечливості теорії відносності, так що всі спроби отримати з її постулатів два наслідки, які суперечать один одному, заздалегідь приречені на невдачу.
На закінчення зауважимо, що формули перетворень Лоренца втрачають сенс, якщо v=c, оскільки тоді в їхніх знаменниках з'являються нулі, а ділення на нуль, як відомо, неможливе. Це означає, що жодні дві системи відліку не можуть мати відносної швидкості, що дорівнює швидкості світла. Звідси випливає, що й жодне матеріальне тіло не може досягти швидкості світла, оскільки до будь-якого тіла можна «прив'язати» систему відліку. Цей самий результат випливає й з інших формул, наприклад з формули лоренцового скорочення: тіло, що рухається зі швидкістю світла, мало б поздовжні розміри, рівні нулю, що явно безглуздо. Неможливість руху зі швидкістю світла надалі ще неодноразово підтвердиться.