Досі поняття часу розглядалося нами виключно з «координатного» погляду. Поряд із трьома просторовими часова координата править за засіб фіксації подій; подібно до просторових координат, час нерозривно пов'язаний з певною системою відліку й під час зміни останньої зазнає перетворень Лоренца.
Але у фізичних явищах час відіграє не лише координатну роль; цим боком загальне поняття часу ще не вичерпується.
Нехай дано деяке тіло досить малих розмірів; ми розглядатимемо його не як якусь аморфну масу, а як складну систему, в якій відбуваються різні фізичні процеси. Процеси ці можуть проходити не інакше, як у часі. Отже, для нашого тіла існує деякий відповідний йому час.
Якщо тіло рухається рівномірно й прямолінійно, ми можемо «прив'язати» до нього систему відліку; час цієї системи й буде тоді, очевидно, тим часом, який «діє» всередині нашого тіла. Однак і за довільного руху тіла, незалежно від можливості пов'язати з ним систему відліку, відповідний йому час, звичайно, існує. Процеси, що відбуваються всередині тіла, можна спостерігати й описувати за допомогою різних систем відліку; в різних системах темп цих процесів буде різним, бо вони «підпорядковуються» часові не тієї чи іншої зовнішньої системи відліку, а своєму власному часові розглядуваного тіла.
Вимірювати власний час можна, звичайно, за допомогою тих самих приладів, якими взагалі вимірюється час. Зрозуміло, правильність і точність роботи цих приладів залежить від фізичних умов, що існують усередині тіла. Якщо, наприклад, тіло зазнає прискорень, то це якнайсильніше позначиться на ході маятникового годинника. Годинники інших конструкцій можуть бути менш чутливі до прискорень, але роботу їх можуть порушувати, наприклад, електромагнітні поля. Але це питання стосується вже галузі методики й техніки фізичних вимірювань і для нас зараз не є принциповим. Показання стрілки того чи іншого годинника ще не є час, а лише число, що з тим чи іншим ступенем точності відображає час. Ми ж говоримо про сам час, який визначається всією сукупністю фізичних процесів. Тому, говорячи про показання годинника, ми маємо на увазі не якийсь конкретний годинниковий механізм, а «ідеальний» годинник, що є, по суті, абстрактним поняттям, єдина властивість якого — абсолютно точне відображення часу.
Отже, з кожним матеріальним тілом пов'язаний його власний час. Власний час не має стосунку до систем відліку, за допомогою яких описується рух тіла; зокрема, під час зміни системи відліку власний час не повинен змінюватися. Справді, якщо з нашим тілом сталися дві події, між якими стрілки встановленого на ньому годинника (ідеального!) зробили десять обертів, то цей факт не залежить від того, з якої системи відліку ми за ним спостерігали. Власний час є величина абсолютна.
Час, пов'язаний з тією чи іншою системою відліку, тобто той самий час, про який ми говорили в попередніх параграфах, називається координатним часом. Він є, як ми вже добре знаємо, величиною відносною.
Як обчислювати власний час? Для цього потрібно знати закон руху тіла в деякій (довільно взятій) системі відліку. Розглянемо спочатку випадок, коли тіло рухається рівномірно й прямолінійно. Тоді ми можемо, крім «основної» системи відліку S, з якої ми весь час спостерігаємо за тілом, ввести нову систему S*, в якій наше тіло перебуває в спокої. Координатний час системи S* збігатиметься з власним часом нашого тіла. Якщо з тілом сталися дві події, координати яких (у системі відліку S) є x1, t1 і x2, t2, то, позначаючи через τ1 і τ2 відповідні моменти власного часу, маємо, очевидно
Але у фізичних явищах час відіграє не лише координатну роль; цим боком загальне поняття часу ще не вичерпується.
Нехай дано деяке тіло досить малих розмірів; ми розглядатимемо його не як якусь аморфну масу, а як складну систему, в якій відбуваються різні фізичні процеси. Процеси ці можуть проходити не інакше, як у часі. Отже, для нашого тіла існує деякий відповідний йому час.
Якщо тіло рухається рівномірно й прямолінійно, ми можемо «прив'язати» до нього систему відліку; час цієї системи й буде тоді, очевидно, тим часом, який «діє» всередині нашого тіла. Однак і за довільного руху тіла, незалежно від можливості пов'язати з ним систему відліку, відповідний йому час, звичайно, існує. Процеси, що відбуваються всередині тіла, можна спостерігати й описувати за допомогою різних систем відліку; в різних системах темп цих процесів буде різним, бо вони «підпорядковуються» часові не тієї чи іншої зовнішньої системи відліку, а своєму власному часові розглядуваного тіла.
Вимірювати власний час можна, звичайно, за допомогою тих самих приладів, якими взагалі вимірюється час. Зрозуміло, правильність і точність роботи цих приладів залежить від фізичних умов, що існують усередині тіла. Якщо, наприклад, тіло зазнає прискорень, то це якнайсильніше позначиться на ході маятникового годинника. Годинники інших конструкцій можуть бути менш чутливі до прискорень, але роботу їх можуть порушувати, наприклад, електромагнітні поля. Але це питання стосується вже галузі методики й техніки фізичних вимірювань і для нас зараз не є принциповим. Показання стрілки того чи іншого годинника ще не є час, а лише число, що з тим чи іншим ступенем точності відображає час. Ми ж говоримо про сам час, який визначається всією сукупністю фізичних процесів. Тому, говорячи про показання годинника, ми маємо на увазі не якийсь конкретний годинниковий механізм, а «ідеальний» годинник, що є, по суті, абстрактним поняттям, єдина властивість якого — абсолютно точне відображення часу.
Отже, з кожним матеріальним тілом пов'язаний його власний час. Власний час не має стосунку до систем відліку, за допомогою яких описується рух тіла; зокрема, під час зміни системи відліку власний час не повинен змінюватися. Справді, якщо з нашим тілом сталися дві події, між якими стрілки встановленого на ньому годинника (ідеального!) зробили десять обертів, то цей факт не залежить від того, з якої системи відліку ми за ним спостерігали. Власний час є величина абсолютна.
Час, пов'язаний з тією чи іншою системою відліку, тобто той самий час, про який ми говорили в попередніх параграфах, називається координатним часом. Він є, як ми вже добре знаємо, величиною відносною.
Як обчислювати власний час? Для цього потрібно знати закон руху тіла в деякій (довільно взятій) системі відліку. Розглянемо спочатку випадок, коли тіло рухається рівномірно й прямолінійно. Тоді ми можемо, крім «основної» системи відліку S, з якої ми весь час спостерігаємо за тілом, ввести нову систему S*, в якій наше тіло перебуває в спокої. Координатний час системи S* збігатиметься з власним часом нашого тіла. Якщо з тілом сталися дві події, координати яких (у системі відліку S) є x1, t1 і x2, t2, то, позначаючи через τ1 і τ2 відповідні моменти власного часу, маємо, очевидно
Зображення
Змінімо тепер «основну» систему відліку. Тоді з формул перетворень Лоренца випливає
Зображення
Отже, інтервал власного часу виражається цілком однаково як через старі, так і через нові координати. Це й означає, що він не залежить від системи відліку.
У математиці величини, що не змінюються під час зміни системи координат, називаються інваріантами. Отже, власний час, на відміну від координатного, є інваріант. Інваріантом є також згадувана в § 6 власна довжина. Якщо s — довжина стрижня, що рухається вздовж осі x зі швидкістю u, то величина
У математиці величини, що не змінюються під час зміни системи координат, називаються інваріантами. Отже, власний час, на відміну від координатного, є інваріант. Інваріантом є також згадувана в § 6 власна довжина. Якщо s — довжина стрижня, що рухається вздовж осі x зі швидкістю u, то величина
Зображення
є інваріант, тобто не залежить від вибору системи відліку, тоді як «звичайна» довжина s зазнає лоренцового скорочення. Надалі ми ознайомимося ще з деякими інваріантами.
У тому випадку, коли тіло рухається нерівномірно, власний час можна обчислювати таким самим способом, але отриману нами формулу треба застосовувати до пар близьких подій. Увесь шлях руху тіла слід розбити на досить малі ділянки, на кожній з яких з достатньою точністю рух тіла можна вважати рівномірним. Обчисливши на кожній із цих ділянок власний час за знайомою нам формулою, ми шляхом підсумовування отриманих елементарних інтервалів можемо отримати загальний інтервал. Цей розрахунок буде тим точніший, чим менші взяті ділянки. Точний результат ми отримаємо, якщо знайдемо границю, до якої прямує обчислюваний інтервал при дедалі дрібнішому подрібненні. Знаходження таких границь становить основну задачу інтегрального числення.
Для обчислення інтервалу власного часу тіла між моментами t1 і t2 координатного часу потрібно, отже, обчислити інтеграл
У тому випадку, коли тіло рухається нерівномірно, власний час можна обчислювати таким самим способом, але отриману нами формулу треба застосовувати до пар близьких подій. Увесь шлях руху тіла слід розбити на досить малі ділянки, на кожній з яких з достатньою точністю рух тіла можна вважати рівномірним. Обчисливши на кожній із цих ділянок власний час за знайомою нам формулою, ми шляхом підсумовування отриманих елементарних інтервалів можемо отримати загальний інтервал. Цей розрахунок буде тим точніший, чим менші взяті ділянки. Точний результат ми отримаємо, якщо знайдемо границю, до якої прямує обчислюваний інтервал при дедалі дрібнішому подрібненні. Знаходження таких границь становить основну задачу інтегрального числення.
Для обчислення інтервалу власного часу тіла між моментами t1 і t2 координатного часу потрібно, отже, обчислити інтеграл
Зображення
Одержаний вище вираз для інтервалу власного часу стосується, власне, лише нескінченно близьких подій; тому замість різниць координат туди потрібно підставити диференціали. Отже, у чотиривимірному просторі — часі квадрат інтервалу власного часу має вигляд
dτ2=dt2 — 1/c2(dx2+dy2+dz2).
Поняття власного часу багато в чому аналогічне поняттю довжини дуги кривої. Звернімося до такого прикладу. Кожна точка земної поверхні визначається двома координатами — широтою й довготою. Вибір градусної сітки пов'язаний насамперед з обертанням Землі — на полюсах сходяться всі меридіани, а від екватора, розташованого посередині, відлічуються широти. Початок відліку довгот обрано більш-менш довільно. Ніхто не заважає обрати й іншу координатну сітку. Уявімо собі на хвилину, що здійснилася мрія героїв роману Жюля Верна «Догори дриґом» і що вісь обертання Землі змінилася. Тоді доведеться, мабуть, змінювати й градусну сітку відповідно до нових положень полюсів. Усі пункти земної поверхні отримають нові координати.
Але ж географічні координати мають суто допоміжне значення. Коли мореплавець за допомогою секстанта й хронометра визначає широту й довготу свого судна, ті цифри, якими вони виражаються, самі по собі його не цікавлять. Вони потрібні йому лише для того, щоб нанести положення судна на карту й визначити тим самим навколишню обстановку, відстань до потрібного пункту тощо. Усе це з однаковим успіхом можна проробити в будь-якій системі координат. Різниця широт Ленінграда й Москви становить приблизно 4°, за іншої координатної сітки вона буде іншою, але той факт, що від Москви до Ленінграда 660 кілометрів, не має жодного стосунку ні до широти, ні до довготи. Правда, знаючи точні географічні координати Москви й Ленінграда, ми завжди можемо, користуючись відповідними формулами, цю відстань обчислити. Результат, звичайно, не залежатиме від того, якою градусною сіткою ми при цьому користуватимемося. Так само можна обчислювати й складніші величини: довжини річок, залізничних колій, площі озер і морів тощо.
Наші системи відліку становлять не що інше, як інструмент для визначення координат подій. Вони слугують для «накладання» координатної сітки на весь наш чотиривимірний світ. У кожної системи відліку така сітка своя, і координати подій у різних системах відліку різні. Але власний час визначається світовою лінією даного тіла й не залежить від вибору сітки. У певному сенсі можна розглядати власний час як щось на зразок довжини відрізка світової лінії. Застережемося одразу, що ця «довжина» має багато не зовсім звичайних властивостей. Водночас аналогія між довжиною й власним часом не така вже поверхова; згідно із сучасними геометричними уявленнями, між цими двома поняттями немає принципової різниці.
Уявімо собі два тіла, які починають рухатися з тієї самої точки простору й через деякий час знову зустрічаються в іншій точці. Світові лінії цих тіл перетинатимуться у двох точках. Відрізки їх між точками перетину не зобов'язані мати однакові «довжини». Отже, інтервали власного часу, відлічені за годинником кожного з двох тіл, будуть, взагалі кажучи, різні.
З геометрії відомо, що з-поміж усіх ліній, які з'єднують дві дані точки, пряма має найменшу довжину. Виявляється, і власний час має аналогічну властивість. Виберемо дві світові точки й з'єднуватимемо їх різними часоподібними світовими лініями. Можна цілком строго довести, що власний час, відлічений уздовж прямої світової лінії, буде найбільшим. Якщо ми знову повернемося до наших двох тіл, які зустрічаються двічі, і припустимо, що одне з них між зустрічами рухається рівномірно й прямолінійно, то виявиться, що встановлений на ньому годинник покаже між зустрічами більший власний час, ніж годинник будь-якого іншого тіла.
Отже, аналогія між власним часом і довжиною дещо своєрідна — виходить, що пряма лінія має ніби найбільшу довжину. Ця обставина, проте, не знижує цінності цієї аналогії. Річ просто в тім, що геометрія простору — часу не є евклідовою, хоча геометрія одного «чистого» простору евклідова.
Мало того. Розглянемо світову лінію світлового сигналу. Для будь-яких її двох точок має місце співвідношення x2—x1 = c (t2—t1). Після підстановки у вираз інтервалу власного часу ми легко переконаємося, що цей інтервал завжди дорівнює нулю. Існують, отже, світові лінії, що мають нульову довжину. Якщо дозволити собі висловлюватися дещо образно й не зовсім строго, то можна сказати, що світло під час свого руху не витрачає зовсім свого часу. Від далеких зір і галактик до нас, земних спостерігачів, світло йде десятки, сотні й тисячі років.
Але це лише з нашого погляду. Якби якийсь спритний «спостерігач» зумів осідлати світловий промінь, то ці неймовірні відстані він подолав би миттєво. Ця перспектива вельми приваблива, особливо для письменників-фантастів. На жаль, їх доведеться розчарувати — разом із таким результатом теорія відносності робить до нього примітку про те, що жодне матеріальне тіло не може досягти швидкості світла. Не слід цим надто засмучуватися — теорія відносності не забороняє наближатися до швидкості світла як завгодно близько, а можливість помандрувати у просторі по досить кривій світовій лінії років десять і повернутися на Землю, яка до того часу встигне постаріти років на сто, теж досить спокуслива.
Тепер згадаймо перший закон Ньютона — закон інерції. Він стверджує, що кожне тіло прагне рухатися рівномірно й прямолінійно. Але вздовж прямої світової лінії інтервал власного часу набуває максимального значення. Отже, ми можемо дати закону інерції й інше формулювання. Можна сказати, що кожне тіло прагне рухатися так, щоб його власний час плинув якнайшвидше. Образно кажучи, кожне тіло прагне як можна швидше постаріти.
Імовірно, не всім читачам сподобається такий фізичний закон. Чим же можна їх утішити? Можна порадити: не рухайтеся за інерцією, намагайтеся рухатися прискорено! Дотримуючись цього мудрого правила, ви напевно за своє життя заощадите кілька мікросекунд...
Із першого погляду нове формулювання закону інерції здається просто смішним і курйозним. Свого часу ми, однак, переконаємося, що це не так. Головна його цінність полягає в тому, що воно не потребує жодної системи відліку. Крім того, воно має найбезпосередніший стосунок до одного вельми важливого й загального закону фізики — так званого закону найменшої дії.
У § 7, обговорюючи питання про релятивістське сповільнення часу, ми торкнулися так званого «парадоксу годинників». Тепер це питання постає перед нами в новому світлі. Ми порівнювали показання двох годинників, один з яких був нерухомий, а інший, вирушаючи з тієї самої точки, після деякої подорожі повертався назад. Тепер ясно, що більший час покаже нерухомий годинник, тобто годинник, який рухається, відстане. Цей факт зовсім не залежить від вибору системи відліку — важливо лише, що перший годинник рухається за інерцією.
Отже, в теорії відносності існують два часи: відносний координатний час і абсолютний власний час. Фізичний зміст і роль цих двох понять цілком різні. Зв'язок між ними встановлюється тим, що власний час тіла, яке перебуває в спокої в деякій системі відліку, збігається з координатним часом цієї системи відліку. Зазначимо насамкінець, що відношення одночасності належить виключно координатному часові, оскільки воно стосується обов'язково двох різних тіл. Тому одночасність двох подій залежить від системи відліку.
dτ2=dt2 — 1/c2(dx2+dy2+dz2).
Поняття власного часу багато в чому аналогічне поняттю довжини дуги кривої. Звернімося до такого прикладу. Кожна точка земної поверхні визначається двома координатами — широтою й довготою. Вибір градусної сітки пов'язаний насамперед з обертанням Землі — на полюсах сходяться всі меридіани, а від екватора, розташованого посередині, відлічуються широти. Початок відліку довгот обрано більш-менш довільно. Ніхто не заважає обрати й іншу координатну сітку. Уявімо собі на хвилину, що здійснилася мрія героїв роману Жюля Верна «Догори дриґом» і що вісь обертання Землі змінилася. Тоді доведеться, мабуть, змінювати й градусну сітку відповідно до нових положень полюсів. Усі пункти земної поверхні отримають нові координати.
Але ж географічні координати мають суто допоміжне значення. Коли мореплавець за допомогою секстанта й хронометра визначає широту й довготу свого судна, ті цифри, якими вони виражаються, самі по собі його не цікавлять. Вони потрібні йому лише для того, щоб нанести положення судна на карту й визначити тим самим навколишню обстановку, відстань до потрібного пункту тощо. Усе це з однаковим успіхом можна проробити в будь-якій системі координат. Різниця широт Ленінграда й Москви становить приблизно 4°, за іншої координатної сітки вона буде іншою, але той факт, що від Москви до Ленінграда 660 кілометрів, не має жодного стосунку ні до широти, ні до довготи. Правда, знаючи точні географічні координати Москви й Ленінграда, ми завжди можемо, користуючись відповідними формулами, цю відстань обчислити. Результат, звичайно, не залежатиме від того, якою градусною сіткою ми при цьому користуватимемося. Так само можна обчислювати й складніші величини: довжини річок, залізничних колій, площі озер і морів тощо.
Наші системи відліку становлять не що інше, як інструмент для визначення координат подій. Вони слугують для «накладання» координатної сітки на весь наш чотиривимірний світ. У кожної системи відліку така сітка своя, і координати подій у різних системах відліку різні. Але власний час визначається світовою лінією даного тіла й не залежить від вибору сітки. У певному сенсі можна розглядати власний час як щось на зразок довжини відрізка світової лінії. Застережемося одразу, що ця «довжина» має багато не зовсім звичайних властивостей. Водночас аналогія між довжиною й власним часом не така вже поверхова; згідно із сучасними геометричними уявленнями, між цими двома поняттями немає принципової різниці.
Уявімо собі два тіла, які починають рухатися з тієї самої точки простору й через деякий час знову зустрічаються в іншій точці. Світові лінії цих тіл перетинатимуться у двох точках. Відрізки їх між точками перетину не зобов'язані мати однакові «довжини». Отже, інтервали власного часу, відлічені за годинником кожного з двох тіл, будуть, взагалі кажучи, різні.
З геометрії відомо, що з-поміж усіх ліній, які з'єднують дві дані точки, пряма має найменшу довжину. Виявляється, і власний час має аналогічну властивість. Виберемо дві світові точки й з'єднуватимемо їх різними часоподібними світовими лініями. Можна цілком строго довести, що власний час, відлічений уздовж прямої світової лінії, буде найбільшим. Якщо ми знову повернемося до наших двох тіл, які зустрічаються двічі, і припустимо, що одне з них між зустрічами рухається рівномірно й прямолінійно, то виявиться, що встановлений на ньому годинник покаже між зустрічами більший власний час, ніж годинник будь-якого іншого тіла.
Отже, аналогія між власним часом і довжиною дещо своєрідна — виходить, що пряма лінія має ніби найбільшу довжину. Ця обставина, проте, не знижує цінності цієї аналогії. Річ просто в тім, що геометрія простору — часу не є евклідовою, хоча геометрія одного «чистого» простору евклідова.
Мало того. Розглянемо світову лінію світлового сигналу. Для будь-яких її двох точок має місце співвідношення x2—x1 = c (t2—t1). Після підстановки у вираз інтервалу власного часу ми легко переконаємося, що цей інтервал завжди дорівнює нулю. Існують, отже, світові лінії, що мають нульову довжину. Якщо дозволити собі висловлюватися дещо образно й не зовсім строго, то можна сказати, що світло під час свого руху не витрачає зовсім свого часу. Від далеких зір і галактик до нас, земних спостерігачів, світло йде десятки, сотні й тисячі років.
Але це лише з нашого погляду. Якби якийсь спритний «спостерігач» зумів осідлати світловий промінь, то ці неймовірні відстані він подолав би миттєво. Ця перспектива вельми приваблива, особливо для письменників-фантастів. На жаль, їх доведеться розчарувати — разом із таким результатом теорія відносності робить до нього примітку про те, що жодне матеріальне тіло не може досягти швидкості світла. Не слід цим надто засмучуватися — теорія відносності не забороняє наближатися до швидкості світла як завгодно близько, а можливість помандрувати у просторі по досить кривій світовій лінії років десять і повернутися на Землю, яка до того часу встигне постаріти років на сто, теж досить спокуслива.
Тепер згадаймо перший закон Ньютона — закон інерції. Він стверджує, що кожне тіло прагне рухатися рівномірно й прямолінійно. Але вздовж прямої світової лінії інтервал власного часу набуває максимального значення. Отже, ми можемо дати закону інерції й інше формулювання. Можна сказати, що кожне тіло прагне рухатися так, щоб його власний час плинув якнайшвидше. Образно кажучи, кожне тіло прагне як можна швидше постаріти.
Імовірно, не всім читачам сподобається такий фізичний закон. Чим же можна їх утішити? Можна порадити: не рухайтеся за інерцією, намагайтеся рухатися прискорено! Дотримуючись цього мудрого правила, ви напевно за своє життя заощадите кілька мікросекунд...
Із першого погляду нове формулювання закону інерції здається просто смішним і курйозним. Свого часу ми, однак, переконаємося, що це не так. Головна його цінність полягає в тому, що воно не потребує жодної системи відліку. Крім того, воно має найбезпосередніший стосунок до одного вельми важливого й загального закону фізики — так званого закону найменшої дії.
У § 7, обговорюючи питання про релятивістське сповільнення часу, ми торкнулися так званого «парадоксу годинників». Тепер це питання постає перед нами в новому світлі. Ми порівнювали показання двох годинників, один з яких був нерухомий, а інший, вирушаючи з тієї самої точки, після деякої подорожі повертався назад. Тепер ясно, що більший час покаже нерухомий годинник, тобто годинник, який рухається, відстане. Цей факт зовсім не залежить від вибору системи відліку — важливо лише, що перший годинник рухається за інерцією.
Отже, в теорії відносності існують два часи: відносний координатний час і абсолютний власний час. Фізичний зміст і роль цих двох понять цілком різні. Зв'язок між ними встановлюється тим, що власний час тіла, яке перебуває в спокої в деякій системі відліку, збігається з координатним часом цієї системи відліку. Зазначимо насамкінець, що відношення одночасності належить виключно координатному часові, оскільки воно стосується обов'язково двох різних тіл. Тому одночасність двох подій залежить від системи відліку.