Перетворення Лоренца дають нам змогу обчислювати зміну координат події під час переходу від однієї системи відліку до іншої. Поставмо тепер питання про те, як під час зміни системи відліку змінюватиметься швидкість одного й того самого тіла?
У класичній механіці, як відомо, швидкість тіла просто додається до швидкості системи відліку. Зараз ми переконаємося, що в теорії відносності швидкість перетворюється за складнішим законом.
Ми знову обмежимося розглядом одновимірного випадку. Нехай дві системи відліку S і S′ «спостерігають» за рухом деякого тіла, яке переміщується рівномірно й прямолінійно паралельно осям x і x′ обох систем відліку. Нехай швидкість тіла, виміряна системою відліку S, є u; швидкість того самого тіла, виміряну системою S′, позначимо через u′ . Літерою v позначатимемо, як і раніше, швидкість системи S′ відносно S.
Припустімо, що з нашим тілом відбуваються дві події, координати яких у системі S є x1,t1, і x2, t2. Координати тих самих подій у системі S′ нехай будуть x′1, t′1; x′2, t′2. Але швидкість тіла є відношенням пройденого тілом шляху до відповідного проміжку часу; тому, щоб знайти швидкість тіла в тій і в іншій системах відліку, потрібно різницю просторових координат обох подій поділити на різницю часових координат
У класичній механіці, як відомо, швидкість тіла просто додається до швидкості системи відліку. Зараз ми переконаємося, що в теорії відносності швидкість перетворюється за складнішим законом.
Ми знову обмежимося розглядом одновимірного випадку. Нехай дві системи відліку S і S′ «спостерігають» за рухом деякого тіла, яке переміщується рівномірно й прямолінійно паралельно осям x і x′ обох систем відліку. Нехай швидкість тіла, виміряна системою відліку S, є u; швидкість того самого тіла, виміряну системою S′, позначимо через u′ . Літерою v позначатимемо, як і раніше, швидкість системи S′ відносно S.
Припустімо, що з нашим тілом відбуваються дві події, координати яких у системі S є x1,t1, і x2, t2. Координати тих самих подій у системі S′ нехай будуть x′1, t′1; x′2, t′2. Але швидкість тіла є відношенням пройденого тілом шляху до відповідного проміжку часу; тому, щоб знайти швидкість тіла в тій і в іншій системах відліку, потрібно різницю просторових координат обох подій поділити на різницю часових координат
Зображення
яку можна, як завжди, отримати з релятивістської, якщо швидкість світла вважати нескінченною. Ту саму формулу можна записати у вигляді
Зображення
Для невеликих, «звичайних» швидкостей обидві формули— релятивістська й класична — дають практично однакові результати, у чому читач за бажання легко зможе переконатися. Але за швидкостей, близьких до швидкості світла, різниця стає досить відчутною. Так, якщо v=150 000 км/с, u′=200 000 км/с, то замість класичного результату u = 350 000 км/с релятивістська формула дає u = 262 500 км/с. Згідно зі змістом формули додавання швидкостей, цей результат означає таке.
Нехай система відліку S′ рухається відносно системи відліку S зі швидкістю v = 150 000 км/с. Нехай у тому самому напрямку рухається тіло, причому вимірювання його швидкості системою відліку S′ дає результат u =200 000 км/с. Якщо тепер виміряти швидкість того самого тіла за допомогою системи відліку S то вийде u=262 500 км/с.
Слід підкреслити, що отримана нами формула призначена саме для перерахунку величини швидкості одного й того самого тіла від однієї системи відліку до іншої, а зовсім не для обчислення «швидкості зближення» чи «віддалення» двох тіл. Якщо ми з однієї й тієї самої системи відліку спостерігаємо два тіла, що рухаються назустріч одне одному, причому швидкість одного тіла дорівнює 150 000 км/с, а другого — 200 000 км/с, то відстань між цими тілами щосекунди зменшуватиметься на 350 000 км. Теорія відносності не скасовує законів арифметики.
Читач уже зрозумів, звичайно, що, застосовуючи цю формулу до швидкостей, які не перевищують швидкості світла, ми знову отримаємо швидкість, що не перевищує c. Не становить жодної складності довести це твердження цілком строго. Справді, легко перевірити.
Для невеликих, «звичайних» швидкостей обидві формули— релятивістська й класична — дають практично однакові результати, у чому читач за бажання легко зможе переконатися. Але за швидкостей, близьких до швидкості світла, різниця стає досить відчутною. Так, якщо v=150 000 км/с, u′=200 000 км/с, то замість класичного результату u = 350 000 км/с релятивістська формула дає u = 262 500 км/с. Згідно зі змістом формули додавання швидкостей, цей результат означає таке.
Нехай система відліку S′ рухається відносно системи відліку S зі швидкістю v = 150 000 км/с. Нехай у тому самому напрямку рухається тіло, причому вимірювання його швидкості системою відліку S′ дає результат u′ =200 000 км/с. Якщо тепер виміряти швидкість того самого тіла за допомогою системи відліку S то вийде u=262 500 км/с.
Слід підкреслити, що отримана нами формула призначена саме для перерахунку величини швидкості одного й того самого тіла від однієї системи відліку до іншої, а зовсім не для обчислення «швидкості зближення» чи «віддалення» двох тіл. Якщо ми з однієї й тієї самої системи відліку спостерігаємо два тіла, що рухаються назустріч одне одному, причому швидкість одного тіла дорівнює 150 000 км/с, а другого — 200 000 км/с, то відстань між цими тілами щосекунди зменшуватиметься на 350 000 км. Теорія відносності не скасовує законів арифметики.
Читач уже зрозумів, звичайно, що, застосовуючи цю формулу до швидкостей, які не перевищують швидкості світла, ми знову отримаємо швидкість, що не перевищує c. Не становить жодної складності довести це твердження цілком строго. Справді, легко перевірити, що має місце рівність
Нехай система відліку S′ рухається відносно системи відліку S зі швидкістю v = 150 000 км/с. Нехай у тому самому напрямку рухається тіло, причому вимірювання його швидкості системою відліку S′ дає результат u =200 000 км/с. Якщо тепер виміряти швидкість того самого тіла за допомогою системи відліку S то вийде u=262 500 км/с.
Слід підкреслити, що отримана нами формула призначена саме для перерахунку величини швидкості одного й того самого тіла від однієї системи відліку до іншої, а зовсім не для обчислення «швидкості зближення» чи «віддалення» двох тіл. Якщо ми з однієї й тієї самої системи відліку спостерігаємо два тіла, що рухаються назустріч одне одному, причому швидкість одного тіла дорівнює 150 000 км/с, а другого — 200 000 км/с, то відстань між цими тілами щосекунди зменшуватиметься на 350 000 км. Теорія відносності не скасовує законів арифметики.
Читач уже зрозумів, звичайно, що, застосовуючи цю формулу до швидкостей, які не перевищують швидкості світла, ми знову отримаємо швидкість, що не перевищує c. Не становить жодної складності довести це твердження цілком строго. Справді, легко перевірити.
Для невеликих, «звичайних» швидкостей обидві формули— релятивістська й класична — дають практично однакові результати, у чому читач за бажання легко зможе переконатися. Але за швидкостей, близьких до швидкості світла, різниця стає досить відчутною. Так, якщо v=150 000 км/с, u′=200 000 км/с, то замість класичного результату u = 350 000 км/с релятивістська формула дає u = 262 500 км/с. Згідно зі змістом формули додавання швидкостей, цей результат означає таке.
Нехай система відліку S′ рухається відносно системи відліку S зі швидкістю v = 150 000 км/с. Нехай у тому самому напрямку рухається тіло, причому вимірювання його швидкості системою відліку S′ дає результат u′ =200 000 км/с. Якщо тепер виміряти швидкість того самого тіла за допомогою системи відліку S то вийде u=262 500 км/с.
Слід підкреслити, що отримана нами формула призначена саме для перерахунку величини швидкості одного й того самого тіла від однієї системи відліку до іншої, а зовсім не для обчислення «швидкості зближення» чи «віддалення» двох тіл. Якщо ми з однієї й тієї самої системи відліку спостерігаємо два тіла, що рухаються назустріч одне одному, причому швидкість одного тіла дорівнює 150 000 км/с, а другого — 200 000 км/с, то відстань між цими тілами щосекунди зменшуватиметься на 350 000 км. Теорія відносності не скасовує законів арифметики.
Читач уже зрозумів, звичайно, що, застосовуючи цю формулу до швидкостей, які не перевищують швидкості світла, ми знову отримаємо швидкість, що не перевищує c. Не становить жодної складності довести це твердження цілком строго. Справді, легко перевірити, що має місце рівність
Зображення
Оскільки u′ ≤ c і v < c, то в правій частині рівності чисельник і знаменник, а з ними й увесь дріб, невід'ємні. Тому квадратна дужка менша від одиниці, а отже u ≤ c .
Якщо u′=c, то й u=c. Це не що інше, як закон сталості швидкості світла. Не слід, звичайно, розглядати цей висновок як «доведення» чи бодай «підтвердження» постулату сталості швидкості світла. Адже ми від самого початку виходили з цього постулату, і не дивно, що дійшли результату, який йому не суперечить; інакше цей постулат було б спростовано шляхом доведення від протилежного. Водночас ми бачимо, що закон додавання швидкостей еквівалентний постулату сталості швидкості світла: кожне з цих двох тверджень логічно випливає з іншого (та решти постулатів теорії відносності).
Виводячи закон додавання швидкостей, ми припускали, що швидкість тіла паралельна відносній швидкості систем відліку. Цього припущення можна було б не робити, але тоді наша формула стосувалася б лише тієї компоненти швидкості, яка напрямлена вздовж осі x, і формулу слід було б записати у вигляді
Якщо u′=c, то й u=c. Це не що інше, як закон сталості швидкості світла. Не слід, звичайно, розглядати цей висновок як «доведення» чи бодай «підтвердження» постулату сталості швидкості світла. Адже ми від самого початку виходили з цього постулату, і не дивно, що дійшли результату, який йому не суперечить; інакше цей постулат було б спростовано шляхом доведення від протилежного. Водночас ми бачимо, що закон додавання швидкостей еквівалентний постулату сталості швидкості світла: кожне з цих двох тверджень логічно випливає з іншого (та решти постулатів теорії відносності).
Виводячи закон додавання швидкостей, ми припускали, що швидкість тіла паралельна відносній швидкості систем відліку. Цього припущення можна було б не робити, але тоді наша формула стосувалася б лише тієї компоненти швидкості, яка напрямлена вздовж осі x, і формулу слід було б записати у вигляді
Зображення
За допомогою цих формул ми розберемо явище аберації (див. § 3). Обмежимося лише найпростішим випадком. Нехай деяке світило в системі відліку S нерухоме, нехай, далі, система відліку S′ рухається відносно системи S зі швидкістю v і нехай спостерігач, який рухається разом із S′, приймає промені світла від світила саме в той момент, коли воно перебуває в нього точно над головою (рис. 21). Складові швидкості цього променя в системі S будуть
ux = 0, uy = 0, ux = -c.
ux = 0, uy = 0, ux = -c.
Зображення
Для системи відліку S′ наші формули дають
u′x = -v, u′y = 0,
u′z = -c√(1 - v2/c2)
Ми отримаємо тангенс кута нахилу променя до осі z′, якщо поділимо u′x на u′z:
tg α = u′x / u′z = (v/c) / √(1 - v2/c2)
Якщо швидкість v не дуже велика, то можна застосувати відому нам наближену формулу, за допомогою якої отримуємо
tg α = v/c + 1/2*v2/c2.
Перший доданок є добре відомим класичним результатом; другий доданок — релятивістська поправка.
Орбітальна швидкість Землі дорівнює приблизно 30 км/с, тож (v/c) = 10-4. Для малих кутів тангенс дорівнює самому кутові, виміряному в радіанах; оскільки радіан містить круглим рахунком 200 000 кутових секунд, то для кута аберації отримуємо:
α = 20°
Релятивістська поправка в 20 000 000 разів менша й лежить далеко за межами точності астрономічних вимірювань. Унаслідок аберації зорі щороку описують на небі еліпси з великою піввіссю 20".
Коли ми дивимося на тіло, що рухається, ми бачимо його не там, де воно перебуває в цей момент, а там, де воно було трохи раніше, бо світлу потрібен деякий час, щоб дійти від тіла до наших очей. Це явище з погляду теорії відносності еквівалентне аберації й зводиться до неї під час переходу до тієї системи відліку, в якій розглядуване тіло нерухоме. На підставі цього простого міркування ми можемо отримати формулу аберації цілком елементарним шляхом, не вдаючись до релятивістського закону додавання швидкостей.
Нехай наше світило рухається паралельно земній поверхні справа наліво (рис. 22). Коли воно прибуває в точку A, спостерігач, який перебуває точно під ним у точці С, бачить його ще в точці B. Якщо швидкість світила дорівнює v, а проміжок часу, протягом якого воно проходить відрізок AB, дорівнює Δt, то
AB = Δt,
BC=cΔt,
sin α = AB/BC = v/c.
Але тоді, згідно з формулою тригонометрії,
u′x = -v, u′y = 0,
u′z = -c√(1 - v2/c2)
Ми отримаємо тангенс кута нахилу променя до осі z′, якщо поділимо u′x на u′z:
tg α = u′x / u′z = (v/c) / √(1 - v2/c2)
Якщо швидкість v не дуже велика, то можна застосувати відому нам наближену формулу, за допомогою якої отримуємо
tg α = v/c + 1/2*v2/c2.
Перший доданок є добре відомим класичним результатом; другий доданок — релятивістська поправка.
Орбітальна швидкість Землі дорівнює приблизно 30 км/с, тож (v/c) = 10-4. Для малих кутів тангенс дорівнює самому кутові, виміряному в радіанах; оскільки радіан містить круглим рахунком 200 000 кутових секунд, то для кута аберації отримуємо:
α = 20°
Релятивістська поправка в 20 000 000 разів менша й лежить далеко за межами точності астрономічних вимірювань. Унаслідок аберації зорі щороку описують на небі еліпси з великою піввіссю 20".
Коли ми дивимося на тіло, що рухається, ми бачимо його не там, де воно перебуває в цей момент, а там, де воно було трохи раніше, бо світлу потрібен деякий час, щоб дійти від тіла до наших очей. Це явище з погляду теорії відносності еквівалентне аберації й зводиться до неї під час переходу до тієї системи відліку, в якій розглядуване тіло нерухоме. На підставі цього простого міркування ми можемо отримати формулу аберації цілком елементарним шляхом, не вдаючись до релятивістського закону додавання швидкостей.
Нехай наше світило рухається паралельно земній поверхні справа наліво (рис. 22). Коли воно прибуває в точку A, спостерігач, який перебуває точно під ним у точці С, бачить його ще в точці B. Якщо швидкість світила дорівнює v, а проміжок часу, протягом якого воно проходить відрізок AB, дорівнює Δt, тоAB = Δt,
BC=cΔt,
sin α = AB/BC = v/c.
Але тоді, згідно з формулою тригонометрії,
Зображення
що й треба було довести. Зауважимо, що в класичній кінематиці ці дві точки зору не еквівалентні.
Цікаве також таке питання. Як відомо, у класичній кінематиці швидкості додаються за правилом паралелограма. Ми замінили цей закон іншим, складнішим. Чи означає це, що в теорії відносності швидкість уже не є вектором?
По-перше, та обставина, що u ≠ u′+v (жирними літерами ми позначаємо вектори), сама по собі ще не дає підстав заперечувати векторну природу швидкості. З двох даних векторів третій вектор можна отримати не лише шляхом їх додавання, а, наприклад, шляхом векторного множення, і взагалі безліччю способів. Нізвідки не випливає, що під час зміни системи відліку вектори u′ і v зобов'язані саме додаватися. І справді, існує формула, що виражає u через u′ і v за допомогою операцій векторного числення:
Цікаве також таке питання. Як відомо, у класичній кінематиці швидкості додаються за правилом паралелограма. Ми замінили цей закон іншим, складнішим. Чи означає це, що в теорії відносності швидкість уже не є вектором?
По-перше, та обставина, що u ≠ u′+v (жирними літерами ми позначаємо вектори), сама по собі ще не дає підстав заперечувати векторну природу швидкості. З двох даних векторів третій вектор можна отримати не лише шляхом їх додавання, а, наприклад, шляхом векторного множення, і взагалі безліччю способів. Нізвідки не випливає, що під час зміни системи відліку вектори u′ і v зобов'язані саме додаватися. І справді, існує формула, що виражає u через u′ і v за допомогою операцій векторного числення:
Зображення
У зв'язку з цим слід визнати, що назва «закон додавання швидкостей» не зовсім вдала; правильніше говорити, як це й роблять деякі автори, не про додавання, а про перетворення швидкості під час зміни системи відліку.
По-друге, і в теорії відносності можна вказати випадки, коли швидкості додаються, як і раніше, векторно. Нехай, наприклад, тіло рухалося протягом деякого проміжку часу Δt зі швидкістю u1, а потім — такий самий проміжок часу зі швидкістю u2. Цей складний рух можна замінити рухом зі сталою швидкістю u = u1+ u2. Тут швидкості u1 і u2 додаються, як вектори, за правилом паралелограма; теорія відносності не вносить тут жодних змін.
Слід узагалі зауважити, що більшість «парадоксів» теорії відносності так чи інакше пов'язана зі зміною системи відліку. Якщо розглядати явища в одній і тій самій системі відліку, то зміни, які вносить теорія відносності в їхні закономірності, аж ніяк не такі кардинальні, як часто думають.
Зазначимо ще, що природним узагальненням звичайних тривимірних векторів у теорії відносності є вектори чотиривимірні; під час зміни системи відліку вони перетворюються за формулами Лоренца. Крім трьох просторових компонент, вони мають компоненту часову. Зокрема, можна розглядати чотиривимірний вектор швидкості. Просторова «частина» цього вектора, однак, не збігається зі звичайною тривимірною швидкістю, і взагалі чотиривимірна швидкість за своїми властивостями помітно відрізняється від тривимірної. Зокрема, сума двох чотиривимірних швидкостей уже не буде, взагалі кажучи, швидкістю.
По-друге, і в теорії відносності можна вказати випадки, коли швидкості додаються, як і раніше, векторно. Нехай, наприклад, тіло рухалося протягом деякого проміжку часу Δt зі швидкістю u1, а потім — такий самий проміжок часу зі швидкістю u2. Цей складний рух можна замінити рухом зі сталою швидкістю u = u1+ u2. Тут швидкості u1 і u2 додаються, як вектори, за правилом паралелограма; теорія відносності не вносить тут жодних змін.
Слід узагалі зауважити, що більшість «парадоксів» теорії відносності так чи інакше пов'язана зі зміною системи відліку. Якщо розглядати явища в одній і тій самій системі відліку, то зміни, які вносить теорія відносності в їхні закономірності, аж ніяк не такі кардинальні, як часто думають.
Зазначимо ще, що природним узагальненням звичайних тривимірних векторів у теорії відносності є вектори чотиривимірні; під час зміни системи відліку вони перетворюються за формулами Лоренца. Крім трьох просторових компонент, вони мають компоненту часову. Зокрема, можна розглядати чотиривимірний вектор швидкості. Просторова «частина» цього вектора, однак, не збігається зі звичайною тривимірною швидкістю, і взагалі чотиривимірна швидкість за своїми властивостями помітно відрізняється від тривимірної. Зокрема, сума двох чотиривимірних швидкостей уже не буде, взагалі кажучи, швидкістю.