Повернімося знову до нашого об'єкта дослідження— потяга, що рухається. Спробуймо цього разу виміряти його довжину «на ходу». Для цього заздалегідь установимо в першому й останньому вагонах автоматичні прилади, які у певний момент залишили б на землі якісь мітки. Прилади відрегулюємо так, щоб вони спрацьовували одночасно з погляду спостерігача, що сидить у потязі.
Нехай потяг рухається з якоюсь певною швидкістю. Коли він проходить повз нас, спостерігач, що сидить у ньому, натискає кнопку, спрацьовують прилади, і на землі з'являються дві мітки. Питається, як за ними встановити довжину потяга?
Для спостерігача, що їде в потязі, прилади спрацювали одночасно; тому відстань між мітками точно дорівнює довжині потяга. Нерухомий же спостерігач міркує інакше. Для нього спочатку спрацював задній прилад, а потім — передній (див. початок § 5). За цей час потяг устиг трохи просунутися. Тому відстань між мітками має бути більшою за довжину потяга.
Що ж звідси випливає? Два відрізки, рівні для одного спостерігача, вже не рівні для іншого. Річ тут, очевидно, у тому, що ці відрізки рухаються один відносно одного. Ми кажемо, що вони рівні, якщо їхні кінці в якийсь момент збігаються. Але оскільки одночасність — поняття відносне, то й факт збігу кінців відносний.
Але звідси випливає також, що й довжина відрізка — величина відносна, адже в протилежному разі рівність або нерівність двох відрізків не залежала б від спостерігача. Отже, якщо два спостерігачі, що рухаються один відносно одного, вимірюють один і той самий відрізок, вони матимуть, взагалі кажучи, різні результати. З іншого боку, якщо якесь тіло змінює свою швидкість, то для нерухомого спостерігача змінюватиметься й його довжина.
Перш ніж продовжувати обговорення цього питання, обчислімо зміну довжини відрізка, що рухається, скориставшись для цього тим самим потягом (рис. 9). Нехай для нерухомого спостерігача відстань між мітками, залишеними потягом, дорівнює a, а довжина потяга дорівнює b. Прилади, що залишають мітки, спрацьовують неодночасно; на підставі результатів попереднього параграфа ми можемо стверджувати, що різниця в часі становить
Нехай потяг рухається з якоюсь певною швидкістю. Коли він проходить повз нас, спостерігач, що сидить у ньому, натискає кнопку, спрацьовують прилади, і на землі з'являються дві мітки. Питається, як за ними встановити довжину потяга?
Для спостерігача, що їде в потязі, прилади спрацювали одночасно; тому відстань між мітками точно дорівнює довжині потяга. Нерухомий же спостерігач міркує інакше. Для нього спочатку спрацював задній прилад, а потім — передній (див. початок § 5). За цей час потяг устиг трохи просунутися. Тому відстань між мітками має бути більшою за довжину потяга.
Що ж звідси випливає? Два відрізки, рівні для одного спостерігача, вже не рівні для іншого. Річ тут, очевидно, у тому, що ці відрізки рухаються один відносно одного. Ми кажемо, що вони рівні, якщо їхні кінці в якийсь момент збігаються. Але оскільки одночасність — поняття відносне, то й факт збігу кінців відносний.
Але звідси випливає також, що й довжина відрізка — величина відносна, адже в протилежному разі рівність або нерівність двох відрізків не залежала б від спостерігача. Отже, якщо два спостерігачі, що рухаються один відносно одного, вимірюють один і той самий відрізок, вони матимуть, взагалі кажучи, різні результати. З іншого боку, якщо якесь тіло змінює свою швидкість, то для нерухомого спостерігача змінюватиметься й його довжина.
Перш ніж продовжувати обговорення цього питання, обчислімо зміну довжини відрізка, що рухається, скориставшись для цього тим самим потягом (рис. 9). Нехай для нерухомого спостерігача відстань між мітками, залишеними потягом, дорівнює a, а довжина потяга дорівнює b. Прилади, що залишають мітки, спрацьовують неодночасно; на підставі результатів попереднього параграфа ми можемо стверджувати, що різниця в часі становить
Зображення
За цей час потяг устигне просунутися на відстань v (t2—t1). Щоб отримати його довжину, потрібно цю
Зображення
величину відняти від відстані між мітками. Ми приходимо, таким чином, до рівняння
А тепер розгляньмо справу з погляду спостерігача, що сидить у потязі. Для нього і потяг, і відстань між мітками мають інші довжини. Позначимо тому тепер довжину потяга через b`, а відстань між мітками через а`. Оскільки з погляду спостерігача, що рухається, ці довжини збігаються, то а`= b`.
При переході від спостерігача, що рухається, до нерухомого потяг змінює свою довжину — раніше вона дорівнювала b`, а тепер дорівнює b; припустімо, що вона змінилася при цьому в k разів, так що b—kb`. Аналогічно йде справа з довжиною нерухомого відрізка — відстані між мітками — при зворотному переході від нерухомого спостерігача до рухомого. Оскільки, згідно з принципом відносності, обидва спостерігачі рівноправні, довжина цього відрізка має змінитися також у k разів, тобто має бути а` = ka.
З зазначеної вище рівності а` =b` випливає
А тепер розгляньмо справу з погляду спостерігача, що сидить у потязі. Для нього і потяг, і відстань між мітками мають інші довжини. Позначимо тому тепер довжину потяга через b`, а відстань між мітками через а`. Оскільки з погляду спостерігача, що рухається, ці довжини збігаються, то а`= b`.
При переході від спостерігача, що рухається, до нерухомого потяг змінює свою довжину — раніше вона дорівнювала b`, а тепер дорівнює b; припустімо, що вона змінилася при цьому в k разів, так що b—kb`. Аналогічно йде справа з довжиною нерухомого відрізка — відстані між мітками — при зворотному переході від нерухомого спостерігача до рухомого. Оскільки, згідно з принципом відносності, обидва спостерігачі рівноправні, довжина цього відрізка має змінитися також у k разів, тобто має бути а` = ka.
З зазначеної вище рівності а` =b` випливає
Зображення
Зображення
Обидві ці рівності означають, що відрізок, який рухається, «здається» коротшим за нерухомий. Цей релятивістський ефект дістав назву лоренцового скорочення.
Ми взяли слово «здається» в лапки тому, що мова в нас іде, звісно, не про те, що здається тому чи іншому конкретному спостерігачеві, а про те, що відбувається насправді, незалежно від будь-якого спостерігача. У всіх обговорюваних нами уявних експериментах завжди можна замінити «спостерігачів» відповідними приладами. Теорія відносності — суто фізична теорія, і вона не може займатися питаннями особливостей сприйняття явищ різними живими «спостерігачами»; надалі ми взагалі замінимо «спостерігачів» точнішим фізичним поняттям. Проте задля більшої наочності ми й надалі вдаватимемося до «спостерігачів», сподіваючись щойно зробленим застереженням уникнути докорів у суб'єктивізмі й ідеалізмі.
Історія походження назви лоренцове скорочення заслуговує на увагу. Ми вже мали нагоду зазначити, що для пояснення результату досліду Майкельсона Лоренцем було висловлено гіпотезу про скорочення розмірів усіх тіл під час їхнього руху крізь ефір; запропонована ним формула для цього скорочення формально збігається з виведеною щойно нами. Проте зміст цих двох формул зовсім різний.
У Лоренца ефект скорочення був ефектом динамічним у тому розумінні, що він пояснювався взаємодією «елементарних» частинок, з яких побудовані всі тіла, з ефіром. Лоренц у своїй електронній теорії дійшов висновку, що електрон, який рухається, зазнаючи дії з боку ефіру, мусить «сплющуватися» в напрямку руху, набуваючи замість кулястої якоїсь лінзоподібної форми. Такому «сплющуванню», за Лоренцом, мають зазнавати взагалі всі тіла. Таким чином, скорочення тіл під час їхнього руху відносно ефіру могло б, у принципі, зафіксувати й спостерігач, що рухається разом із цим тілом. Біда в тому, що такого самого скорочення зазнають також і всі еталони довжини, тож насправді це скорочення таким чином виявити неможливо. Далі, нерухоме тіло має одну й ту саму довжину як для нерухомого, так і для рухомого спостерігача; у цьому розумінні ніякої відносності довжини немає. Величина v, що входить до формули лоренцового скорочення, означає швидкість тіла відносно ефіру, а не його швидкість відносно спостерігача.
В Ейнштейна зміст тієї самої формули зовсім інший. Ніякого ефіру не існує, тому й говорити про швидкість відносно ефіру безглуздо. Тіла, що рухаються, скорочують свої розміри не внаслідок якихось змін, що відбуваються з ними самими, а просто тому, що вони рухаються відносно вимірювального приладу. Цей ефект — не динамічний, а суто геометричний або, точніше, кінематичний. Він стоїть в одному ряду з такими звичними явищами, як зменшення кутової величини предмета при його віддаленні чи «косий дощ».
Головною заслугою Ейнштейна було те, що він відмовився від усіляких спроб динамічного пояснення лоренцового скорочення, добачивши в цьому явищі не результат взаємодії тіл з ефіром, а прояв властивостей простору й часу. Будь-яке матеріальне тіло має певні просторові властивості, які ми позначаємо словами: довжина, ширина, об'єм і т. д. Проте до фізичних рівнянь і формул входять не самі довжини й об'єми, а лише числа, що їх вимірюють. Ці числа відображають, звісно, відповідні властивості досліджуваного тіла. Але ніоткуди не випливає, що, наприклад, число, яке вимірює довжину предмета, відображає лише ту його властивість, яку ми позначаємо словом «довжина», і відображає її повністю, адекватно.
Раніше вважали, що, прикладаючи до вимірюваного предмета еталон довжини, ми отримуємо число, яке повністю характеризує лише його довжину. Тепер ми бачимо, що це число певною мірою відображає також і стан руху предмета відносно еталона.
Можна спробувати позбутися такого «довіска», умовившись раз і назавжди вимірювати довжину предмета лише еталонами, нерухомими відносно нього. Часто (наприклад, під час вимірювання небесних чи мікроскопічних тіл) виконати таку вимогу практично неможливо. Теорія відносності вказує нам шлях до подолання цих труднощів: потрібно одночасно з довжиною тіла виміряти його швидкість і поділити довжину на √(1 - v2/c2). Отриману величину можна назвати власною довжиною предмета; вона, очевидно, не залежить від швидкості тіла чи «спостерігача», тобто є величиною абсолютною.
Це нагадує астрономічні визначення розмірів небесних тіл. Щоб знайти, наприклад, діаметр планети, астрономи вимірюють її кутовий («видимий») діаметр і одночасно відстань до неї. Перемноживши ці числа, дістанемо «істинний» діаметр. Отримане число буде абсолютним у тому розумінні, що воно не залежить від відстані до планети: повторивши ці вимірювання й обчислення в інший момент, коли відстань до планети буде іншою, ми отримаємо колишній результат.
Зрозуміло, що коли говорити про індивідуальну характеристику просторових властивостей небесного тіла, то його «істинний» діаметр є для цієї мети більш придатною величиною, ніж «видимий», який характеризує, крім просторових властивостей тіла, також і його відношення до іншого тіла — Землі. Так само й у теорії відносності власна довжина є індивідуальною характеристикою тіла. Відносна ж «звичайна» довжина характеризує також відношення даного тіла до іншого (наприклад, до вимірювального приладу).
Таким чином, у теорії відносності єдине «класичне» поняття довжини тіла ніби роздвоюється на відносну довжину й абсолютну власну довжину. Таке роздвоєння понять, як ми побачимо, характерне для всієї теорії. Слід при цьому мати на увазі, що відносні поняття відіграють аж ніяк не меншу роль, ніж абсолютні; саме відносні величини входять до найважливіших рівнянь теорії відносності, і коли говорять, наприклад, про довжину, то мають на увазі саме відносну довжину.
Повертаючись до явища лоренцового скорочення, підкреслімо ще раз, що воно, як і всі релятивістські ефекти, має взаємний характер через відносність понять рухомий і нерухомий. Нехай, наприклад, наш потяг у нерухомому стані має довжину рівно 1 км. Коли він почне рухатися, нерухомий спостерігач виявить, що його довжина зменшилась, так що будуть моменти, коли потяг цілком вміщується між двома кілометровими стовпами. А для спостерігача в потязі, навпаки, скоротяться самі проміжки між стовпами, так що будуть моменти, коли два кілометрові стовпи вміщуватимуться між головою й хвостом потяга.
Хоч який парадоксальний цей факт, з нього так само неможливо виснувати суперечність, як і з факту відносності одночасності. І річ саме в цій відносності. Справді, що означає, що потяг цілком вміщується між кілометровими стовпами? Це означає, що там перебувають голова й хвіст потяга одночасно з погляду нерухомого спостерігача. А для спостерігача, що рухається, ці події вже не одночасні; для нього одночасні інші дві події — коли два кілометрові стовпи вміщуються між головою й хвостом потяга.
Ми взяли слово «здається» в лапки тому, що мова в нас іде, звісно, не про те, що здається тому чи іншому конкретному спостерігачеві, а про те, що відбувається насправді, незалежно від будь-якого спостерігача. У всіх обговорюваних нами уявних експериментах завжди можна замінити «спостерігачів» відповідними приладами. Теорія відносності — суто фізична теорія, і вона не може займатися питаннями особливостей сприйняття явищ різними живими «спостерігачами»; надалі ми взагалі замінимо «спостерігачів» точнішим фізичним поняттям. Проте задля більшої наочності ми й надалі вдаватимемося до «спостерігачів», сподіваючись щойно зробленим застереженням уникнути докорів у суб'єктивізмі й ідеалізмі.
Історія походження назви лоренцове скорочення заслуговує на увагу. Ми вже мали нагоду зазначити, що для пояснення результату досліду Майкельсона Лоренцем було висловлено гіпотезу про скорочення розмірів усіх тіл під час їхнього руху крізь ефір; запропонована ним формула для цього скорочення формально збігається з виведеною щойно нами. Проте зміст цих двох формул зовсім різний.
У Лоренца ефект скорочення був ефектом динамічним у тому розумінні, що він пояснювався взаємодією «елементарних» частинок, з яких побудовані всі тіла, з ефіром. Лоренц у своїй електронній теорії дійшов висновку, що електрон, який рухається, зазнаючи дії з боку ефіру, мусить «сплющуватися» в напрямку руху, набуваючи замість кулястої якоїсь лінзоподібної форми. Такому «сплющуванню», за Лоренцом, мають зазнавати взагалі всі тіла. Таким чином, скорочення тіл під час їхнього руху відносно ефіру могло б, у принципі, зафіксувати й спостерігач, що рухається разом із цим тілом. Біда в тому, що такого самого скорочення зазнають також і всі еталони довжини, тож насправді це скорочення таким чином виявити неможливо. Далі, нерухоме тіло має одну й ту саму довжину як для нерухомого, так і для рухомого спостерігача; у цьому розумінні ніякої відносності довжини немає. Величина v, що входить до формули лоренцового скорочення, означає швидкість тіла відносно ефіру, а не його швидкість відносно спостерігача.
В Ейнштейна зміст тієї самої формули зовсім інший. Ніякого ефіру не існує, тому й говорити про швидкість відносно ефіру безглуздо. Тіла, що рухаються, скорочують свої розміри не внаслідок якихось змін, що відбуваються з ними самими, а просто тому, що вони рухаються відносно вимірювального приладу. Цей ефект — не динамічний, а суто геометричний або, точніше, кінематичний. Він стоїть в одному ряду з такими звичними явищами, як зменшення кутової величини предмета при його віддаленні чи «косий дощ».
Головною заслугою Ейнштейна було те, що він відмовився від усіляких спроб динамічного пояснення лоренцового скорочення, добачивши в цьому явищі не результат взаємодії тіл з ефіром, а прояв властивостей простору й часу. Будь-яке матеріальне тіло має певні просторові властивості, які ми позначаємо словами: довжина, ширина, об'єм і т. д. Проте до фізичних рівнянь і формул входять не самі довжини й об'єми, а лише числа, що їх вимірюють. Ці числа відображають, звісно, відповідні властивості досліджуваного тіла. Але ніоткуди не випливає, що, наприклад, число, яке вимірює довжину предмета, відображає лише ту його властивість, яку ми позначаємо словом «довжина», і відображає її повністю, адекватно.
Раніше вважали, що, прикладаючи до вимірюваного предмета еталон довжини, ми отримуємо число, яке повністю характеризує лише його довжину. Тепер ми бачимо, що це число певною мірою відображає також і стан руху предмета відносно еталона.
Можна спробувати позбутися такого «довіска», умовившись раз і назавжди вимірювати довжину предмета лише еталонами, нерухомими відносно нього. Часто (наприклад, під час вимірювання небесних чи мікроскопічних тіл) виконати таку вимогу практично неможливо. Теорія відносності вказує нам шлях до подолання цих труднощів: потрібно одночасно з довжиною тіла виміряти його швидкість і поділити довжину на √(1 - v2/c2). Отриману величину можна назвати власною довжиною предмета; вона, очевидно, не залежить від швидкості тіла чи «спостерігача», тобто є величиною абсолютною.
Це нагадує астрономічні визначення розмірів небесних тіл. Щоб знайти, наприклад, діаметр планети, астрономи вимірюють її кутовий («видимий») діаметр і одночасно відстань до неї. Перемноживши ці числа, дістанемо «істинний» діаметр. Отримане число буде абсолютним у тому розумінні, що воно не залежить від відстані до планети: повторивши ці вимірювання й обчислення в інший момент, коли відстань до планети буде іншою, ми отримаємо колишній результат.
Зрозуміло, що коли говорити про індивідуальну характеристику просторових властивостей небесного тіла, то його «істинний» діаметр є для цієї мети більш придатною величиною, ніж «видимий», який характеризує, крім просторових властивостей тіла, також і його відношення до іншого тіла — Землі. Так само й у теорії відносності власна довжина є індивідуальною характеристикою тіла. Відносна ж «звичайна» довжина характеризує також відношення даного тіла до іншого (наприклад, до вимірювального приладу).
Таким чином, у теорії відносності єдине «класичне» поняття довжини тіла ніби роздвоюється на відносну довжину й абсолютну власну довжину. Таке роздвоєння понять, як ми побачимо, характерне для всієї теорії. Слід при цьому мати на увазі, що відносні поняття відіграють аж ніяк не меншу роль, ніж абсолютні; саме відносні величини входять до найважливіших рівнянь теорії відносності, і коли говорять, наприклад, про довжину, то мають на увазі саме відносну довжину.
Повертаючись до явища лоренцового скорочення, підкреслімо ще раз, що воно, як і всі релятивістські ефекти, має взаємний характер через відносність понять рухомий і нерухомий. Нехай, наприклад, наш потяг у нерухомому стані має довжину рівно 1 км. Коли він почне рухатися, нерухомий спостерігач виявить, що його довжина зменшилась, так що будуть моменти, коли потяг цілком вміщується між двома кілометровими стовпами. А для спостерігача в потязі, навпаки, скоротяться самі проміжки між стовпами, так що будуть моменти, коли два кілометрові стовпи вміщуватимуться між головою й хвостом потяга.
Хоч який парадоксальний цей факт, з нього так само неможливо виснувати суперечність, як і з факту відносності одночасності. І річ саме в цій відносності. Справді, що означає, що потяг цілком вміщується між кілометровими стовпами? Це означає, що там перебувають голова й хвіст потяга одночасно з погляду нерухомого спостерігача. А для спостерігача, що рухається, ці події вже не одночасні; для нього одночасні інші дві події — коли два кілометрові стовпи вміщуються між головою й хвостом потяга.
Зображення
Ми досі говорили про «поздовжнє» лоренцове скорочення, тобто про зміну довжини тіла в напрямку його руху. Можна показати, що поперечні розміри тіла при цьому не змінюються. Таким чином, якщо ми закріпимо нерухомо лівий малюнок (рис. 10), а потім, рухаючись повз нього з достатньо великою швидкістю, зробимо з нього миттєвий знімок, то матимемо дещо схоже на те, що зображено на рис. 10 праворуч.
Для читачів, знайомих із фотографією, вкажемо на деяку аналогію, що існує між лоренцовим скороченням і відомим ефектом спотворення знімків предметів, які швидко рухаються. Якщо для зйомки застосовується камера, обладнана шторно-щілинним затвором, то зображення об'єкта буде стиснуте або розтягнуте залежно від напрямку руху шторки затвора. Це спотворення спричинене тим, що зображення утворюється променями, які потрапляють на плівку в різні моменти часу.
Якщо тепер для такої самої зйомки застосувати камеру з центральним затвором, то за умови достатньої величини швидкості об'єкта зображення буде спотворене через лоренцове скорочення. Хоча тепер промені, що створюють зображення, проходять через об'єктив одночасно, але відбиті від об'єкта вони з погляду самого об'єкта неодночасно. Тому причини спотворень в обох випадках певною мірою аналогічні.
Можна зауважити, що така ситуація здійснюється під час аерофотозйомки, тож, обробляючи отримані знімки, слід ураховувати релятивістські спотворення. Але, звісно, про це можна говорити лише жартома, бо ці спотворення лежать далеко за межами точності сучасної вимірювальної техніки. Щоб переконатися в цьому, обчислімо лоренцове скорочення розглянутої в попередньому параграфі ракети завдовжки 300 м, що рухається зі швидкістю 10 000 км/год. Для цього у формулу
a` = a√(1 - v2/c2)
слід підставити а=300 м, c=300 000 км/с, v = 10 000 км/год. Для полегшення подібних обчислень дуже корисна наближена формула:
(1 + a)m = 1 + ma,
яка тим точніша, чим менше а. Число m може бути будь-яким — цілим або дробовим, додатним або від'ємним. Зокрема, надаючи йому конкретних числових значень, ми дістанемо низку зручних наближених формул, наприклад:
Для читачів, знайомих із фотографією, вкажемо на деяку аналогію, що існує між лоренцовим скороченням і відомим ефектом спотворення знімків предметів, які швидко рухаються. Якщо для зйомки застосовується камера, обладнана шторно-щілинним затвором, то зображення об'єкта буде стиснуте або розтягнуте залежно від напрямку руху шторки затвора. Це спотворення спричинене тим, що зображення утворюється променями, які потрапляють на плівку в різні моменти часу.
Якщо тепер для такої самої зйомки застосувати камеру з центральним затвором, то за умови достатньої величини швидкості об'єкта зображення буде спотворене через лоренцове скорочення. Хоча тепер промені, що створюють зображення, проходять через об'єктив одночасно, але відбиті від об'єкта вони з погляду самого об'єкта неодночасно. Тому причини спотворень в обох випадках певною мірою аналогічні.
Можна зауважити, що така ситуація здійснюється під час аерофотозйомки, тож, обробляючи отримані знімки, слід ураховувати релятивістські спотворення. Але, звісно, про це можна говорити лише жартома, бо ці спотворення лежать далеко за межами точності сучасної вимірювальної техніки. Щоб переконатися в цьому, обчислімо лоренцове скорочення розглянутої в попередньому параграфі ракети завдовжки 300 м, що рухається зі швидкістю 10 000 км/год. Для цього у формулу
a` = a√(1 - v2/c2)
слід підставити а=300 м, c=300 000 км/с, v = 10 000 км/год. Для полегшення подібних обчислень дуже корисна наближена формула:
(1 + a)m = 1 + ma,
яка тим точніша, чим менше а. Число m може бути будь-яким — цілим або дробовим, додатним або від'ємним. Зокрема, надаючи йому конкретних числових значень, ми дістанемо низку зручних наближених формул, наприклад:
Зображення
Похибка цієї формули становить приблизно m(m—1)/2 * α2 , що в більшості випадків для нас буде цілком достатньо. Звісно, якщо α не мале, формула може дати грубо спотворений результат, у чому читач легко переконається, поклавши, наприклад, α=1. У нашому випадку наближена формула дає
Зображення
Величину v2/c2 ми вже обчислювали; вона дорівнює 0,840 * 10-10, тож наближену формулу ми можемо застосувати з повним правом. Тепер читач легко підрахує, що величина а` відрізняється від а на 1,26*10-8м = 12,6 мілімікрона. Найменша зміна температури дасть набагато більший ефект; тому ясно, що виявити й виміряти лоренцове скорочення за таких умов — завдання безнадійне.
Проте читач не повинен робити висновок, що взагалі всі релятивістські ефекти мають такий невловимий характер. Дуже скоро ми ознайомимося з такими висновками теорії відносності, які можуть бути перевірені з великим ступенем точності, а також із такими, що буквально «впадають в око».
Проте читач не повинен робити висновок, що взагалі всі релятивістські ефекти мають такий невловимий характер. Дуже скоро ми ознайомимося з такими висновками теорії відносності, які можуть бути перевірені з великим ступенем точності, а також із такими, що буквально «впадають в око».