Встановленням нового принципу відносності було пройдено лише півшляху до створення спеціальної теорії відносності. Якщо на цьому зупинитися, то всі непорозуміння, як і раніше, залишаться, вони лише змінять свою форму. Результат досліду Майкельсона — Морлі тепер формально зрозумілий: він узгоджується з новим принципом відносності, але по суті все-таки веде до суперечностей.
Дослід Майкельсона — Морлі показує, що положення «швидкість світла в порожнечі незалежно від напрямку дорівнює с» має місце в усіх інерціальних системах. Що ж ми маємо насправді? Класичний закон додавання швидкостей (1), наведений на сторінці 56, говорить: якщо швидкість світла в одній інерціальній системі дорівнює с, то в інерціальній системі, що рухається відносно першої зі швидкістю v, його швидкість буде c + v. Тут наявна очевидна суперечність зі спеціальним принципом відносності, що випливає з досліду Майкельсона — Морлі, який стверджує, що в усіх інерціальних системах швидкість світла має дорівнювати с. Новий принцип відносності суперечить старому законові додавання швидкостей. Один із них має виявитися неправильним.
Вище ми бачили, що справедливість класичного закону додавання швидкостей можна перевірити дослідним шляхом лише для невеликих швидкостей. У тому ж, що цей закон придатний і для випадку, коли один доданок дуже великий, ніхто не може переконати фізиків. Якщо виникла нездоланна суперечність, то винуватцем її може виявитися й старий закон додавання швидкостей, який, мабуть, непридатний для додавання великих швидкостей. Ейнштейн замінив класичний закон додавання швидкостей (1) новим, релятивістським законом додавання швидкостей: додаючи швидкості u і v, отримаємо швидкість w, яка виражається формулою
w = (u +v)/(1+uv/c2) (2)
Проаналізуймо цю формулу на конкретних прикладах.
Нехай назустріч одне одному летять два реактивні літаки, кожен зі швидкістю (відносно Землі) 3 км/с (тобто u = 3 км/с і v = 3 км/с). Яка швидкість одного літака відносно другого? Класична формула (1) дає тут просту відповідь: швидкість одного літака відносно другого w = 6 км/с. Якщо обчислювати значення w за формулою (2), то отримаємо w — 5,9999999994 км/с, що украй мало відрізняється від попереднього результату. Наявні в нашому розпорядженні вимірювальні прилади не дозволяють відрізнити швидкість 6 км/с від швидкості 5,9999999994 км/с. Це означає, що під час додавання двох швидкостей, по 3 км/с кожна, обидві формули дають практично однакові результати.
Не можна забувати, що 3 км/с порівняно з масштабами звичайного життя — дуже велика величина. У повсякденному житті ми зазвичай зустрічаємося з набагато меншими швидкостями. Тому розбіжність між результатами формул (1) і (2) за менших швидкостей буде ще меншою. Оскільки обчислення за релятивістською формулою складніше, ніж за класичною, а результати з великою точністю збігаються, то в повсякденному житті доцільніше використовувати класичний закон додавання швидкостей. У принципі ж релятивістська формула (2) дає ближчі до істини результати, ніж стара формула (1).
Подивімося тепер, що говорить нова формула про додавання великих швидкостей.
Нехай у космічному просторі розминулися дві частинки, швидкості яких відносно Сонця — 300 км/с. Прихильник класичної механіки скаже, що швидкість однієї частинки відносно другої буде 600 км/с. Прибічник теорії відносності не погодиться з цим. Скориставшись формулою (2), він знайде швидкість, що дорівнює 599,9994 км/с. Як бачимо, навіть за таких великих швидкостей, як 300 км/с, релятивістська формула не дає істотно відмінного порівняно з класичною формулою результату. За набагато більших швидкостей різниця стає вже помітною. Додаючи дві швидкості по 100000 км/с за релятивістською формулою, отримаємо 180 000 км/с. Це вже істотно відрізняється від результату класичної формули, яка дає 200000 км/с. Чим більші швидкості ми додаватимемо, тим більшою стає ця різниця. Під час додавання швидкостей 200 000 і 200 000 км/с отримуємо 277 000 км/с, а не 400 000, як дає класична формула; додаючи ж дві швидкості по 299 000 км/с кожна, отримуємо лише 299 788 (а не 598000) км/с.
Особливо цікавий результат отримуємо, користуючись релятивістським законом додавання швидкостей у тому випадку, коли одним із доданків є швидкість світла c. Замінімо у формулі (2) u = с. Просте перетворення показує, що w — с. Отже, якщо одним доданком буде швидкість світла, то в результаті додавання знову отримаємо швидкість світла. Якщо швидкість світла в одній інерціальній системі с, то в іншій системі, що рухається відносно першої зі швидкістю v, його швидкість також буде с, а не c + v, як стверджує класична формула.
Релятивістську формулу додавання швидкостей так і виведено, щоб закон: «швидкість світла в порожнечі дорівнює с» був придатний в усіх інерціальних системах. Водночас під час додавання малих швидкостей вона з великою точністю дає той самий результат, що й класичний закон додавання швидкостей. Формула (2) узгоджується як з нашим повсякденним досвідом, так і з вимірюваннями, зробленими під час визначення швидкості світла. Класична ж формула, навпаки, неточна й лише наближено відповідає дійсності. Під час додавання невеликих швидкостей вона придатна; у цьому випадку похибка зазвичай не перевищує точності вимірювань. Під час додавання ж великих швидкостей вона дає цілком неправильні результати.
Питання про додавання швидкостей зовсім не таке просте, як ми вважали раніше. На перший погляд здається незрозумілим, як швидкості можуть додаватися відповідно до релятивістського закону. Таким самим природним, як «двічі по два — чотири», здається й вимога, щоб усі швидкості, малі вони чи великі, додавалися за формулою (1). Таке переконання вкорінилося в людей тому, що ми живемо у світі дуже малих швидкостей. Якби ми звикли до швидкостей приблизно 200000 км/с, то невдовзі переконалися б, що швидкості в природі додаються саме так, як приписує релятивістський закон додавання швидкостей. Ми звикли б до цього закону, і невдовзі він став би здаватися нам таким самим природним і «очевидно правильним», яким тепер здається класичний закон додавання швидкостей.
Маючи на увазі, що в природі швидкості додаються згідно з релятивістською формулою (2), легко пояснити всі результати дослідів, описаних у попередньому розділі.
Швидкість компонента подвійної зорі відносно Землі, додаючись до швидкості випроміненого ним світла, не змінює останньої. Швидкість світла буде c як відносно компонента зорі (джерела світла), так і відносно спостерігача на Землі. Тому ніяких позірних нерегулярностей у русі подвійних зір і не повинно бути. Так само пояснюється й результат досліду Майкельсона — Морлі. Як би ми не вимірювали швидкість світла, все одно результатом буде c (звісно, у разі поширення світла в порожнечі), бо жодна швидкість, додаючись до швидкості світла, не змінює останньої. Прості математичні розрахунки показують, що результат досліду Фізо також узгоджується з релятивістським законом додавання швидкостей.
Якщо швидкість світла у воді дорівнює c/n, а швидкість води відносно земної поверхні дорівнює v, то швидкість світла відносно земної поверхні за формулою (2) дорівнюватиме
Дослід Майкельсона — Морлі показує, що положення «швидкість світла в порожнечі незалежно від напрямку дорівнює с» має місце в усіх інерціальних системах. Що ж ми маємо насправді? Класичний закон додавання швидкостей (1), наведений на сторінці 56, говорить: якщо швидкість світла в одній інерціальній системі дорівнює с, то в інерціальній системі, що рухається відносно першої зі швидкістю v, його швидкість буде c + v. Тут наявна очевидна суперечність зі спеціальним принципом відносності, що випливає з досліду Майкельсона — Морлі, який стверджує, що в усіх інерціальних системах швидкість світла має дорівнювати с. Новий принцип відносності суперечить старому законові додавання швидкостей. Один із них має виявитися неправильним.
Вище ми бачили, що справедливість класичного закону додавання швидкостей можна перевірити дослідним шляхом лише для невеликих швидкостей. У тому ж, що цей закон придатний і для випадку, коли один доданок дуже великий, ніхто не може переконати фізиків. Якщо виникла нездоланна суперечність, то винуватцем її може виявитися й старий закон додавання швидкостей, який, мабуть, непридатний для додавання великих швидкостей. Ейнштейн замінив класичний закон додавання швидкостей (1) новим, релятивістським законом додавання швидкостей: додаючи швидкості u і v, отримаємо швидкість w, яка виражається формулою
w = (u +v)/(1+uv/c2) (2)
Проаналізуймо цю формулу на конкретних прикладах.
Нехай назустріч одне одному летять два реактивні літаки, кожен зі швидкістю (відносно Землі) 3 км/с (тобто u = 3 км/с і v = 3 км/с). Яка швидкість одного літака відносно другого? Класична формула (1) дає тут просту відповідь: швидкість одного літака відносно другого w = 6 км/с. Якщо обчислювати значення w за формулою (2), то отримаємо w — 5,9999999994 км/с, що украй мало відрізняється від попереднього результату. Наявні в нашому розпорядженні вимірювальні прилади не дозволяють відрізнити швидкість 6 км/с від швидкості 5,9999999994 км/с. Це означає, що під час додавання двох швидкостей, по 3 км/с кожна, обидві формули дають практично однакові результати.
Не можна забувати, що 3 км/с порівняно з масштабами звичайного життя — дуже велика величина. У повсякденному житті ми зазвичай зустрічаємося з набагато меншими швидкостями. Тому розбіжність між результатами формул (1) і (2) за менших швидкостей буде ще меншою. Оскільки обчислення за релятивістською формулою складніше, ніж за класичною, а результати з великою точністю збігаються, то в повсякденному житті доцільніше використовувати класичний закон додавання швидкостей. У принципі ж релятивістська формула (2) дає ближчі до істини результати, ніж стара формула (1).
Подивімося тепер, що говорить нова формула про додавання великих швидкостей.
Нехай у космічному просторі розминулися дві частинки, швидкості яких відносно Сонця — 300 км/с. Прихильник класичної механіки скаже, що швидкість однієї частинки відносно другої буде 600 км/с. Прибічник теорії відносності не погодиться з цим. Скориставшись формулою (2), він знайде швидкість, що дорівнює 599,9994 км/с. Як бачимо, навіть за таких великих швидкостей, як 300 км/с, релятивістська формула не дає істотно відмінного порівняно з класичною формулою результату. За набагато більших швидкостей різниця стає вже помітною. Додаючи дві швидкості по 100000 км/с за релятивістською формулою, отримаємо 180 000 км/с. Це вже істотно відрізняється від результату класичної формули, яка дає 200000 км/с. Чим більші швидкості ми додаватимемо, тим більшою стає ця різниця. Під час додавання швидкостей 200 000 і 200 000 км/с отримуємо 277 000 км/с, а не 400 000, як дає класична формула; додаючи ж дві швидкості по 299 000 км/с кожна, отримуємо лише 299 788 (а не 598000) км/с.
Особливо цікавий результат отримуємо, користуючись релятивістським законом додавання швидкостей у тому випадку, коли одним із доданків є швидкість світла c. Замінімо у формулі (2) u = с. Просте перетворення показує, що w — с. Отже, якщо одним доданком буде швидкість світла, то в результаті додавання знову отримаємо швидкість світла. Якщо швидкість світла в одній інерціальній системі с, то в іншій системі, що рухається відносно першої зі швидкістю v, його швидкість також буде с, а не c + v, як стверджує класична формула.
Релятивістську формулу додавання швидкостей так і виведено, щоб закон: «швидкість світла в порожнечі дорівнює с» був придатний в усіх інерціальних системах. Водночас під час додавання малих швидкостей вона з великою точністю дає той самий результат, що й класичний закон додавання швидкостей. Формула (2) узгоджується як з нашим повсякденним досвідом, так і з вимірюваннями, зробленими під час визначення швидкості світла. Класична ж формула, навпаки, неточна й лише наближено відповідає дійсності. Під час додавання невеликих швидкостей вона придатна; у цьому випадку похибка зазвичай не перевищує точності вимірювань. Під час додавання ж великих швидкостей вона дає цілком неправильні результати.
Питання про додавання швидкостей зовсім не таке просте, як ми вважали раніше. На перший погляд здається незрозумілим, як швидкості можуть додаватися відповідно до релятивістського закону. Таким самим природним, як «двічі по два — чотири», здається й вимога, щоб усі швидкості, малі вони чи великі, додавалися за формулою (1). Таке переконання вкорінилося в людей тому, що ми живемо у світі дуже малих швидкостей. Якби ми звикли до швидкостей приблизно 200000 км/с, то невдовзі переконалися б, що швидкості в природі додаються саме так, як приписує релятивістський закон додавання швидкостей. Ми звикли б до цього закону, і невдовзі він став би здаватися нам таким самим природним і «очевидно правильним», яким тепер здається класичний закон додавання швидкостей.
Маючи на увазі, що в природі швидкості додаються згідно з релятивістською формулою (2), легко пояснити всі результати дослідів, описаних у попередньому розділі.
Швидкість компонента подвійної зорі відносно Землі, додаючись до швидкості випроміненого ним світла, не змінює останньої. Швидкість світла буде c як відносно компонента зорі (джерела світла), так і відносно спостерігача на Землі. Тому ніяких позірних нерегулярностей у русі подвійних зір і не повинно бути. Так само пояснюється й результат досліду Майкельсона — Морлі. Як би ми не вимірювали швидкість світла, все одно результатом буде c (звісно, у разі поширення світла в порожнечі), бо жодна швидкість, додаючись до швидкості світла, не змінює останньої. Прості математичні розрахунки показують, що результат досліду Фізо також узгоджується з релятивістським законом додавання швидкостей.
Якщо швидкість світла у воді дорівнює c/n, а швидкість води відносно земної поверхні дорівнює v, то швидкість світла відносно земної поверхні за формулою (2) дорівнюватиме
Зображення
Швидкість течії води v дуже мала порівняно зі швидкістю світла с, тому й величина v/c дуже мала, а її квадрат (тобто v2/c2) ще менший. Фізо у своєму досліді не міг урахувати такого незначного впливу, який чинить член, що містить множник v2/c2. Точність приладів для цього була недостатньою. Тому й ми у своїх розрахунках членами, що містять v2/c2, знехтуємо. Знехтувавши в знаменнику попередньої формули другим доданком, розкривши дужки й відкинувши члени, що містять v2/c2, отримаємо
w = c/n + v (1 — 1/n2).
Таку саму формулу отримав і Фізо з результатів свого досліду. Це показує, що результат досліду Фізо можна повністю пояснити за допомогою релятивістського закону додавання швидкостей.
Результат досліду Фізо свого часу вважали незаперечним підтвердженням існування світового ефіру. Після появи теорії відносності виявилося, що дослід Фізо підтверджує й її. Але теорія відносності категорично заперечувала ефір разом з абсолютною системою відліку. Склалося цікаве становище: один і той самий дослід нібито підтверджував два цілком протилежні погляди. Спираючись лише на дослід Фізо, неможливо вирішити, який із них правильний.
З цього приводу М. Лауе писав у своїй книзі «Історія фізики» таке: «Історія досліду Фізо є повчальним прикладом того, яку велику роль у поясненні кожного досліду відіграють елементи теорії; їх навіть не можна відокремити від нього. І якщо потім теорії змінюються, то дослід перетворюється з разючого доведення для однієї теорії на такий самий сильний аргумент для протилежної теорії».
w = c/n + v (1 — 1/n2).
Таку саму формулу отримав і Фізо з результатів свого досліду. Це показує, що результат досліду Фізо можна повністю пояснити за допомогою релятивістського закону додавання швидкостей.
Результат досліду Фізо свого часу вважали незаперечним підтвердженням існування світового ефіру. Після появи теорії відносності виявилося, що дослід Фізо підтверджує й її. Але теорія відносності категорично заперечувала ефір разом з абсолютною системою відліку. Склалося цікаве становище: один і той самий дослід нібито підтверджував два цілком протилежні погляди. Спираючись лише на дослід Фізо, неможливо вирішити, який із них правильний.
З цього приводу М. Лауе писав у своїй книзі «Історія фізики» таке: «Історія досліду Фізо є повчальним прикладом того, яку велику роль у поясненні кожного досліду відіграють елементи теорії; їх навіть не можна відокремити від нього. І якщо потім теорії змінюються, то дослід перетворюється з разючого доведення для однієї теорії на такий самий сильний аргумент для протилежної теорії».