Візьмімося тепер до проблеми вимірювання довжини. Тут нам теж доведеться зустрітися з деякими несподіванками.
Уявімо, що нам потрібно порівняти довжину двох стрижнів. Якщо стрижні не рухаються один відносно одного, то зробити це нескладно. Досить лише прикласти їх один до одного й пересвідчитися, чи збігаються їхні кінці. Порівняти рухомі відрізки складніше.
Нехай стрижні а і б паралельні, а стрижень б рухається зі швидкістю v перпендикулярно до самого себе (рис. 31). Щоб порівняти довжину стрижнів, пошлімо від кінців стрижня а промені світла в напрямку, перпендикулярному до стрижня. Якщо ці промені потрапляють точно на кінці стрижня б, то обидва стрижні, отже, мають однакову довжину. Результат вимірювання не залежить від того, рухається стрижень б чи ні і з якою швидкістю він рухається.
Рис. 31. Порівняння довжин рухомих стрижнів у випадку, коли стрижні перпендикулярні до напрямку їхнього відносного руху. Пупктирні лінії зображують світловий промінь, спрямований від кінця одного стрижня до кінця другого
У системі відліку, пов'язаній зі стрижнем а, стрижні а і б однакові за довжиною. Точно до такого самого висновку дійде спостерігач, який перебуває в спокої відносно стрижня б. Послані з кінців стрижня б перпендикулярно до нього світлові промені влучать точно в кінці стрижня а. І в системі стрижня б стрижні а і б матимуть однакову довжину. Думки спостерігачів у різних інерціальних системах щодо довжини стрижнів повністю збігаються. Це показує, що розміри тіла, перпендикулярні до напрямку руху, не залежать від інерціальної системи, в якій ми вимірюємо тіло (іншими словами, не залежать від швидкості тіла). Цей факт ми вже використовували раніше, коли на рис. 26 і 27 припускали, що відстань від годинника B до дзеркала не залежить від системи відліку. А як порівняти стрижні, якщо вони паралельні й один з них рухається відносно другого кінцем уперед (рис. 32), тобто стрижні весь час паралельні до напрямку їхнього відносного руху. Тепер порівняти стрижні можна лише в певний момент часу, не раніше й не пізніше.
Рис. 32. Порівняння довжин рухомих стрижнів, коли стрижні паралельні до напрямку відносного руху. Такі стрижні можна порівнювати в той момент, коли кінці A і A′ збігаються
Якщо відповідні кінці стрижнів а і б збігаються в один і той самий момент часу, то стрижні мають однакову довжину. Якщо спочатку збіжаться кінці A і A′ і лише потім кінці B і B′ то стрижень б, безперечно, довший за стрижень а.
Порівнюючи стрижні, ми вжили поняття одночасності подій. Одночасність же залежить від системи відліку. Події, одночасні в одній інерціальній системі, не будуть такими в іншій. Отже, якщо обидва кінці стрижнів у певній інерціальній системі збігаються в один і той самий момент часу, то в інших інерціальних системах це відбувається в різні моменти часу.
Підкреслімо ще раз, що залежність довжини від інерціальної системи має місце лише для розмірів у напрямку руху. Довжини, виміряні в напрямку, перпендикулярному до руху, від інерціальної системи не залежать.
Розгляньмо приклад із потягом, про який ішлося вище. Там спостерігач, що стояв біля насипу, бачив, що блискавки біля паровоза й біля останнього вагона потяга спалахнули одночасно (сліди блискавок при цьому залишилися й на залізничній колії), отже, довжина потяга для спостерігача біля насипу дорівнювала відстані між слідами блискавок. А що сказав би про це пасажир, який перебуває в середньому вагоні потяга? На його думку, блискавка біля паровоза спалахнула раніше, ніж біля останнього вагона. Це означає, що передній кінець потяга збігся зі слідом блискавки раніше, ніж задній. Отже, для пасажира, який їде в середньому вагоні состава, потяг буде довшим, ніж відстань між позначками блискавок па залізничній колії. Спостерігач, що стоїть біля залізничного насипу, виміряв довжину рухомого потяга, отримає меншу величину, ніж спостерігач у потязі, який вважає потяг нерухомим. Розміри рухомого тіла менші, ніж нерухомого. Нескладно знайти формулу, яка показує залежність розмірів тіла (в напрямку руху) від швидкості.
Припустімо, що в описаному в § 6 досліді з годинниками й сигналами світла спостерігач у системі годинника A вимірює відстань між годинниками A і A′. Нехай вона дорівнює l0. Саме настільки годинник B змістився, поки сигнал світла був у дорозі, тобто годинник B змістився на l0 м за час t0 с. Швидкість годинника B відносно годинника A дорівнюватиме
v = l0/t0 (a)
Припустімо, що одночасно зі спостерігачем біля годинника A спостерігач біля годинника B також вимірює відстань між годинниками A і A′ і нехай у результаті вимірювання він отримає 1м, тобто довжину, на яку годинник A змістився за час t. Швидкість годинника A відносно годинника B тоді дорівнюватиме
v=l/t (б)
Швидкість годинника B відносно годинника A дорівнює швидкості годинника A відносно годинника B (те, що швидкості напрямлені протилежно одна одній, нас у цьому разі не цікавить), тому ми й позначали їх однією і тією самою літерою v. З рівностей (а) і (б) випливає:
l0/t0 = l/t
Помноживши обидві частини отриманого співвідношення на t і підставивши потім вираз г із формули (3), отримаємо
l = l0 √ (1 - v2/c2). (4)
Таким чином, ми отримали формулу, яка показує залежність розмірів тіла від швидкості в напрямку руху. Якщо довжина нерухомого тіла дорівнює l0, то довжина тіла, що рухається зі швидкістю v , визначається формулою (4)
Чим більша швидкість тіла, тим коротше воно порівняно з іншим точно таким самим, але нерухомим тілом. Чи не веде такий наслідок теорії відносності до суперечностей?
Щоб відповісти на це запитання, розгляньмо такий приклад.
Нехай на аеродромі стоять два однакові літаки. Припустімо далі, що один з них здіймається в повітря, робить коло над містом і з величезною швидкістю проноситься над літаком, що залишився на аеродромі. Спостерігач, що залишився на Землі, порівнявши розміри літака, який летить, з розмірами літака на аеродромі, виявить, що літак, який пролетів над аеродромом, виявляється коротшим. Нехай у цей самий час розміри літаків порівнює також льотчик у повітрі. З його погляду його літак перебуває в спокої, а аеродром із літаком, що залишився на ньому, мчить йому назустріч. Згідно зі спостереженнями льотчика, літак на землі виявляється коротшим за літак у повітрі. Висновки спостерігача на землі й льотчика лише здаються суперечливими. У цій позірній суперечності відбито закон природи: довжина тіла — поняття відносне. Не можна говорити про довжину тіла, не вказавши, в якій системі відліку цю довжину виміряно. Чим швидше рухається тіло відносно інерціальної системи, тим коротше воно в цій системі. Тіло найдовше в тій системі відліку, де його швидкість дорівнює нулю (нагадаймо, що йдеться весь час про розміри тіла в напрямку руху.).
Як і всі явища, передбачені теорією відносності, скорочення тіл у напрямку руху непомітне за малих швидкостей. Для велосипедиста, який розвиває, наприклад, швидкість 18 км/год відносно шосе, всі земні предмети скорочуватимуться в напрямку його руху лише на 0,000 000 000 000 01 %. Якщо дивитися з літака, що летить зі швидкістю 500 км/год, предмети на поверхні землі виявляться укороченими на 0,000 000 000 01%. Це означає, що, наприклад, відстань між Таллінном і Тарту пасажирові цього літака здаватиметься лише на 1,5 стотисячних міліметра коротшою, ніж показують наземні вимірювання. Навіть швидкості небесних тіл надто малі для того, щоб можна було виявити скорочення, спричинені цими рухами. Сонце, наприклад, рухається відносно Землі зі швидкістю 30 км/с. Зумовлене цим рухом відсоткове скорочення діаметра Сонця в напрямку руху становитиме 0,000 000 5%, тобто всього-на-всього 7 м. Під час вимірювання відстані в 150 млн км, що відділяє нас від Сонця, така мала величина взагалі несуттєва.
Для швидкостей, порівнянних зі швидкістю світла, скорочення тіл у напрямку руху має бути помітним. У табл. 4 подано залежність довжини від швидкості для випадку, коли довжина нерухомого тіла дорівнює одному метру.
Уявімо, що нам потрібно порівняти довжину двох стрижнів. Якщо стрижні не рухаються один відносно одного, то зробити це нескладно. Досить лише прикласти їх один до одного й пересвідчитися, чи збігаються їхні кінці. Порівняти рухомі відрізки складніше.
Нехай стрижні а і б паралельні, а стрижень б рухається зі швидкістю v перпендикулярно до самого себе (рис. 31). Щоб порівняти довжину стрижнів, пошлімо від кінців стрижня а промені світла в напрямку, перпендикулярному до стрижня. Якщо ці промені потрапляють точно на кінці стрижня б, то обидва стрижні, отже, мають однакову довжину. Результат вимірювання не залежить від того, рухається стрижень б чи ні і з якою швидкістю він рухається.
Рис. 31. Порівняння довжин рухомих стрижнів у випадку, коли стрижні перпендикулярні до напрямку їхнього відносного руху. Пупктирні лінії зображують світловий промінь, спрямований від кінця одного стрижня до кінця другого
У системі відліку, пов'язаній зі стрижнем а, стрижні а і б однакові за довжиною. Точно до такого самого висновку дійде спостерігач, який перебуває в спокої відносно стрижня б. Послані з кінців стрижня б перпендикулярно до нього світлові промені влучать точно в кінці стрижня а. І в системі стрижня б стрижні а і б матимуть однакову довжину. Думки спостерігачів у різних інерціальних системах щодо довжини стрижнів повністю збігаються. Це показує, що розміри тіла, перпендикулярні до напрямку руху, не залежать від інерціальної системи, в якій ми вимірюємо тіло (іншими словами, не залежать від швидкості тіла). Цей факт ми вже використовували раніше, коли на рис. 26 і 27 припускали, що відстань від годинника B до дзеркала не залежить від системи відліку. А як порівняти стрижні, якщо вони паралельні й один з них рухається відносно другого кінцем уперед (рис. 32), тобто стрижні весь час паралельні до напрямку їхнього відносного руху. Тепер порівняти стрижні можна лише в певний момент часу, не раніше й не пізніше.Рис. 32. Порівняння довжин рухомих стрижнів, коли стрижні паралельні до напрямку відносного руху. Такі стрижні можна порівнювати в той момент, коли кінці A і A′ збігаються
Якщо відповідні кінці стрижнів а і б збігаються в один і той самий момент часу, то стрижні мають однакову довжину. Якщо спочатку збіжаться кінці A і A′ і лише потім кінці B і B′ то стрижень б, безперечно, довший за стрижень а.Порівнюючи стрижні, ми вжили поняття одночасності подій. Одночасність же залежить від системи відліку. Події, одночасні в одній інерціальній системі, не будуть такими в іншій. Отже, якщо обидва кінці стрижнів у певній інерціальній системі збігаються в один і той самий момент часу, то в інших інерціальних системах це відбувається в різні моменти часу.
Підкреслімо ще раз, що залежність довжини від інерціальної системи має місце лише для розмірів у напрямку руху. Довжини, виміряні в напрямку, перпендикулярному до руху, від інерціальної системи не залежать.
Розгляньмо приклад із потягом, про який ішлося вище. Там спостерігач, що стояв біля насипу, бачив, що блискавки біля паровоза й біля останнього вагона потяга спалахнули одночасно (сліди блискавок при цьому залишилися й на залізничній колії), отже, довжина потяга для спостерігача біля насипу дорівнювала відстані між слідами блискавок. А що сказав би про це пасажир, який перебуває в середньому вагоні потяга? На його думку, блискавка біля паровоза спалахнула раніше, ніж біля останнього вагона. Це означає, що передній кінець потяга збігся зі слідом блискавки раніше, ніж задній. Отже, для пасажира, який їде в середньому вагоні состава, потяг буде довшим, ніж відстань між позначками блискавок па залізничній колії. Спостерігач, що стоїть біля залізничного насипу, виміряв довжину рухомого потяга, отримає меншу величину, ніж спостерігач у потязі, який вважає потяг нерухомим. Розміри рухомого тіла менші, ніж нерухомого. Нескладно знайти формулу, яка показує залежність розмірів тіла (в напрямку руху) від швидкості.
Припустімо, що в описаному в § 6 досліді з годинниками й сигналами світла спостерігач у системі годинника A вимірює відстань між годинниками A і A′. Нехай вона дорівнює l0. Саме настільки годинник B змістився, поки сигнал світла був у дорозі, тобто годинник B змістився на l0 м за час t0 с. Швидкість годинника B відносно годинника A дорівнюватиме
v = l0/t0 (a)
Припустімо, що одночасно зі спостерігачем біля годинника A спостерігач біля годинника B також вимірює відстань між годинниками A і A′ і нехай у результаті вимірювання він отримає 1м, тобто довжину, на яку годинник A змістився за час t. Швидкість годинника A відносно годинника B тоді дорівнюватиме
v=l/t (б)
Швидкість годинника B відносно годинника A дорівнює швидкості годинника A відносно годинника B (те, що швидкості напрямлені протилежно одна одній, нас у цьому разі не цікавить), тому ми й позначали їх однією і тією самою літерою v. З рівностей (а) і (б) випливає:
l0/t0 = l/t
Помноживши обидві частини отриманого співвідношення на t і підставивши потім вираз г із формули (3), отримаємо
l = l0 √ (1 - v2/c2). (4)
Таким чином, ми отримали формулу, яка показує залежність розмірів тіла від швидкості в напрямку руху. Якщо довжина нерухомого тіла дорівнює l0, то довжина тіла, що рухається зі швидкістю v , визначається формулою (4)
Чим більша швидкість тіла, тим коротше воно порівняно з іншим точно таким самим, але нерухомим тілом. Чи не веде такий наслідок теорії відносності до суперечностей?
Щоб відповісти на це запитання, розгляньмо такий приклад.
Нехай на аеродромі стоять два однакові літаки. Припустімо далі, що один з них здіймається в повітря, робить коло над містом і з величезною швидкістю проноситься над літаком, що залишився на аеродромі. Спостерігач, що залишився на Землі, порівнявши розміри літака, який летить, з розмірами літака на аеродромі, виявить, що літак, який пролетів над аеродромом, виявляється коротшим. Нехай у цей самий час розміри літаків порівнює також льотчик у повітрі. З його погляду його літак перебуває в спокої, а аеродром із літаком, що залишився на ньому, мчить йому назустріч. Згідно зі спостереженнями льотчика, літак на землі виявляється коротшим за літак у повітрі. Висновки спостерігача на землі й льотчика лише здаються суперечливими. У цій позірній суперечності відбито закон природи: довжина тіла — поняття відносне. Не можна говорити про довжину тіла, не вказавши, в якій системі відліку цю довжину виміряно. Чим швидше рухається тіло відносно інерціальної системи, тим коротше воно в цій системі. Тіло найдовше в тій системі відліку, де його швидкість дорівнює нулю (нагадаймо, що йдеться весь час про розміри тіла в напрямку руху.).
Як і всі явища, передбачені теорією відносності, скорочення тіл у напрямку руху непомітне за малих швидкостей. Для велосипедиста, який розвиває, наприклад, швидкість 18 км/год відносно шосе, всі земні предмети скорочуватимуться в напрямку його руху лише на 0,000 000 000 000 01 %. Якщо дивитися з літака, що летить зі швидкістю 500 км/год, предмети на поверхні землі виявляться укороченими на 0,000 000 000 01%. Це означає, що, наприклад, відстань між Таллінном і Тарту пасажирові цього літака здаватиметься лише на 1,5 стотисячних міліметра коротшою, ніж показують наземні вимірювання. Навіть швидкості небесних тіл надто малі для того, щоб можна було виявити скорочення, спричинені цими рухами. Сонце, наприклад, рухається відносно Землі зі швидкістю 30 км/с. Зумовлене цим рухом відсоткове скорочення діаметра Сонця в напрямку руху становитиме 0,000 000 5%, тобто всього-на-всього 7 м. Під час вимірювання відстані в 150 млн км, що відділяє нас від Сонця, така мала величина взагалі несуттєва.
Для швидкостей, порівнянних зі швидкістю світла, скорочення тіл у напрямку руху має бути помітним. У табл. 4 подано залежність довжини від швидкості для випадку, коли довжина нерухомого тіла дорівнює одному метру.
Зображення
Наочно залежність скорочення тіла в напрямку руху зображено на рис. 33. На лівому краю рисунка зображено стрижень такої довжини, яку він має, перебуваючи нерухомим. Якщо ми хочемо визначити довжину цього стрижня, коли він рухається (кінцем уперед) зі швидкістю, скажімо, 100 000 км/с, то досить виміряти відстань від кривої до точки на горизонтальній осі, де вказано число 100 000. Це й відповідатиме довжині стрижня, що рухається зі швидкістю 100 000 км/с.
На рисунку видно, що, коли швидкість тіла наближається до швидкості світла, довжина стрижня прямує до нуля. Якби стрижень рухався точно зі швидкістю світла, то його довжина дорівнювала б нулю, тобто стрижень перестав би існувати. Звідси видно, що швидкість будь-якого тіла завжди має бути меншою від швидкості світла. Зі швидкістю світла можуть рухатися лише такі об'єкти, які не мають геометричної форми.
Такими є, наприклад, «частинки» світла — фотони, про які йтиметься далі.
Рис. 33. Залежність довжини тіла від швидкості
На рисунку видно, що, коли швидкість тіла наближається до швидкості світла, довжина стрижня прямує до нуля. Якби стрижень рухався точно зі швидкістю світла, то його довжина дорівнювала б нулю, тобто стрижень перестав би існувати. Звідси видно, що швидкість будь-якого тіла завжди має бути меншою від швидкості світла. Зі швидкістю світла можуть рухатися лише такі об'єкти, які не мають геометричної форми.
Такими є, наприклад, «частинки» світла — фотони, про які йтиметься далі.
Рис. 33. Залежність довжини тіла від швидкості