Просторово-часові співвідношення теорії відносності допускають наочне геометричне тлумачення, про яке ми й розповімо в цьому параграфі. При цьому ми обмежимося одновимірним випадком, коли всі події, що розглядаються, розташовані вздовж однієї й тієї самої прямої. Як ми вже знаємо, у цьому випадку для визначення положення події в просторі досить однієї координати, яку ми позначатимемо через x. Другою координатою буде, як завжди, час t.
Насамперед виберемо (поки що) одну певну систему відліку, до якої й відноситимемо координати всіх подій. Потім візьмемо аркуш паперу й проведемо на ньому дві прямі, що перетинаються (необов'язково під прямим кутом; рис. 12), одну з яких назвемо просторовою віссю, а другу часовою. На кожній з осей у певному масштабі відкладатимемо відповідні координати подій. Найзручніше одиниці масштабу на обох осях вибрати однаковими, але вздовж часової осі відкладати не час t, а величину ct. Тоді всі особливості релятивістської кінематики постануть особливо виразно.
Нехай задано деяку подію A, координати якої є x і t. Відклавши вздовж обох осей відповідні величини, проведемо з одержаних точок прямі, паралельні координатним осям. Точку перетину цих прямих позначимо тією самою літерою A і назвемо світовою точкою події A. Очевидно, кожній події відповідає одна певна світова точка, до того ж різним подіям відповідають різні світові точки.
Якщо дві події відбуваються в одній і тій самій точці простору, то їхні просторові координати збігаються. Тому їхні світові точки на нашій «площині подій» лежатимуть на прямій, паралельній часовій осі (точки A і B на рис. 12). Якщо ж дві події відбуваються в один і той самий момент часу, то їхні світові точки (A і C на тому самому рисунку) розташовані на прямій, паралельній просторовій осі. З двох подій пізніше відбувається та, чия світова точка більше віддалена від просторової осі.
Розглянемо тепер деяке тіло T, розміри якого достатньо малі, тобто так звану матеріальну точку. Перебування цього тіла в даній точці простору в даний момент часу можна розглядати як деяку подію; їй відповідає деяка світова точка. У наступний момент те саме тіло перебуватиме, взагалі кажучи, в іншій точці. Якщо ми нанесемо на площину подій усі відповідні світові точки, то дістанемо лінію — світову лінію тіла Г. Така лінія дає, очевидно, повне уявлення про всю історію руху нашого тіла. Так, розглядаючи зображену на рис. 13 світову лінію, ми доходимо висновку, що матеріальна точка рухалася спочатку праворуч, причому з порівняно невеликою швидкістю (ділянка АВ), оскільки її світова лінія в міру зростання t іде праворуч, причому майже паралельно часовій осі. Потім нахил її до цієї осі збільшується (ділянка ВС), отже, наша точка рухається швидше, за той самий проміжок часу вона зсувається на більшу відстань. Далі швидкість знову зменшується, і точка на мить зупиняється (точка D) — це той момент, коли дотична до світової лінії напрямлена паралельно часовій осі. Після цього точка рухається вже у зворотний бік.
Нескладно також оцінити й величину швидкості точки в будь-який момент часу. Для цього потрібно, як показано на рис. 13 пунктиром, у даній точці світової лінії провести до неї дотичну й побудувати трикутник, однією стороною якого є відрізок цієї дотичної, а дві інші сторони паралельні координатним осям. Відношення довжин цих останніх сторін і дасть швидкість точки. Слід лише врахувати, що швидкість вийде в особливих, світлових одиницях, тобто в таких одиницях, у яких швидкість світла дорівнює одиниці.
Рівномірному й прямолінійному руху відповідає пряма світова лінія. Рух світлового сигналу зображується прямою, паралельною тій чи іншій бісектрисі координатних кутів, залежно від того, в який бік — праворуч чи ліворуч — рухається сигнал. Світові лінії світлових сигналів ми називатимемо світловими лініями. З кожної світової точки виходять дві світлові лінії; при цьому вони, як легко бачити, взаємно перпендикулярні.
Розглянемо деяку подію A. Проведемо зі світової точки цієї події обидві світлові лінії (лінії аа і bb на рис. 14). Вони поділять площину подій на чотири частини, позначені на рисунку цифрами 1, 2, 3, 4. Нехай інша подія B така, що її світова точка розташована в частині 1 площини. Відрізок прямої, що сполучає точки A і B, нахилений до часової осі під кутом, меншим за кут нахилу світлової лінії; тому будь-яке тіло чи «сигнал», світова лінія якого збігається з відрізком АВ, рухатиметься з «дозволеною» швидкістю, меншою за швидкість світла. Напрям такої лінії називається часоподібним. Очевидно, що світова лінія будь-якого матеріального тіла в будь-якій точці повинна мати часоподібний напрям. Звідси випливає також, що подія A може бути причиною події B. Так само будь-яка подія D, розташована в частині 3 площини, може бути (але, звісно, не обов'язково буде насправді) причиною події A, Взагалі, якщо дві світові точки можна сполучити відрізком часоподібної лінії, то відповідні події можуть перебувати в причинному зв'язку.
Насамперед виберемо (поки що) одну певну систему відліку, до якої й відноситимемо координати всіх подій. Потім візьмемо аркуш паперу й проведемо на ньому дві прямі, що перетинаються (необов'язково під прямим кутом; рис. 12), одну з яких назвемо просторовою віссю, а другу часовою. На кожній з осей у певному масштабі відкладатимемо відповідні координати подій. Найзручніше одиниці масштабу на обох осях вибрати однаковими, але вздовж часової осі відкладати не час t, а величину ct. Тоді всі особливості релятивістської кінематики постануть особливо виразно.Нехай задано деяку подію A, координати якої є x і t. Відклавши вздовж обох осей відповідні величини, проведемо з одержаних точок прямі, паралельні координатним осям. Точку перетину цих прямих позначимо тією самою літерою A і назвемо світовою точкою події A. Очевидно, кожній події відповідає одна певна світова точка, до того ж різним подіям відповідають різні світові точки.
Якщо дві події відбуваються в одній і тій самій точці простору, то їхні просторові координати збігаються. Тому їхні світові точки на нашій «площині подій» лежатимуть на прямій, паралельній часовій осі (точки A і B на рис. 12). Якщо ж дві події відбуваються в один і той самий момент часу, то їхні світові точки (A і C на тому самому рисунку) розташовані на прямій, паралельній просторовій осі. З двох подій пізніше відбувається та, чия світова точка більше віддалена від просторової осі.
Розглянемо тепер деяке тіло T, розміри якого достатньо малі, тобто так звану матеріальну точку. Перебування цього тіла в даній точці простору в даний момент часу можна розглядати як деяку подію; їй відповідає деяка світова точка. У наступний момент те саме тіло перебуватиме, взагалі кажучи, в іншій точці. Якщо ми нанесемо на площину подій усі відповідні світові точки, то дістанемо лінію — світову лінію тіла Г. Така лінія дає, очевидно, повне уявлення про всю історію руху нашого тіла. Так, розглядаючи зображену на рис. 13 світову лінію, ми доходимо висновку, що матеріальна точка рухалася спочатку праворуч, причому з порівняно невеликою швидкістю (ділянка АВ), оскільки її світова лінія в міру зростання t іде праворуч, причому майже паралельно часовій осі. Потім нахил її до цієї осі збільшується (ділянка ВС), отже, наша точка рухається швидше, за той самий проміжок часу вона зсувається на більшу відстань. Далі швидкість знову зменшується, і точка на мить зупиняється (точка D) — це той момент, коли дотична до світової лінії напрямлена паралельно часовій осі. Після цього точка рухається вже у зворотний бік.Нескладно також оцінити й величину швидкості точки в будь-який момент часу. Для цього потрібно, як показано на рис. 13 пунктиром, у даній точці світової лінії провести до неї дотичну й побудувати трикутник, однією стороною якого є відрізок цієї дотичної, а дві інші сторони паралельні координатним осям. Відношення довжин цих останніх сторін і дасть швидкість точки. Слід лише врахувати, що швидкість вийде в особливих, світлових одиницях, тобто в таких одиницях, у яких швидкість світла дорівнює одиниці.
Рівномірному й прямолінійному руху відповідає пряма світова лінія. Рух світлового сигналу зображується прямою, паралельною тій чи іншій бісектрисі координатних кутів, залежно від того, в який бік — праворуч чи ліворуч — рухається сигнал. Світові лінії світлових сигналів ми називатимемо світловими лініями. З кожної світової точки виходять дві світлові лінії; при цьому вони, як легко бачити, взаємно перпендикулярні.
Розглянемо деяку подію A. Проведемо зі світової точки цієї події обидві світлові лінії (лінії аа і bb на рис. 14). Вони поділять площину подій на чотири частини, позначені на рисунку цифрами 1, 2, 3, 4. Нехай інша подія B така, що її світова точка розташована в частині 1 площини. Відрізок прямої, що сполучає точки A і B, нахилений до часової осі під кутом, меншим за кут нахилу світлової лінії; тому будь-яке тіло чи «сигнал», світова лінія якого збігається з відрізком АВ, рухатиметься з «дозволеною» швидкістю, меншою за швидкість світла. Напрям такої лінії називається часоподібним. Очевидно, що світова лінія будь-якого матеріального тіла в будь-якій точці повинна мати часоподібний напрям. Звідси випливає також, що подія A може бути причиною події B. Так само будь-яка подія D, розташована в частині 3 площини, може бути (але, звісно, не обов'язково буде насправді) причиною події A, Взагалі, якщо дві світові точки можна сполучити відрізком часоподібної лінії, то відповідні події можуть перебувати в причинному зв'язку.
Зображення
Інакше стоїть справа з подіями, розташованими в частинах 2 і 4 площини. Жоден сигнал, що рухається не швидше за світло, не може пройти, наприклад, з A в C. Кажуть, що відрізок АС має просторовоподібний напрям. У цьому випадку жодна з подій Л, С не може бути причиною іншої.
Ми бачимо, таким чином, що прості геометричні співвідношення між світовими точками й лініями на площині подій дають нам досить повне уявлення про характер руху тіл, причинний зв'язок подій і т. д. Виявляється, що так само наочно можна зобразити й перехід від однієї системи відліку до іншої, тобто перетворення Лоренца.
Нехай дано дві системи відліку — систему S і систему S`, що рухається відносно системи S зі швидкістю v. Виберемо передусім осі координат і одиниці масштабу для системи S. Тепер нам потрібно на тій самій площині нанести координатні осі й визначити одиниці масштабу для системи S` так, щоб одна й та сама подія зображувалася в обох системах відліку однією й тією самою точкою A площини.
Для цього міркуємо так. Точка, що має в системі відліку S` просторову координату x`, яка дорівнює нулю, і перебуває в спокої в цій системі, у системі S рухається зі швидкістю v. Якщо ми нанесемо на нашу площину її світову лінію, то дістанемо деяку часоподібну пряму (рис. 15). Але в системі S` ця точка перебуває в спокої на початку координат, а тому її світова лінія в цій системі повинна просто збігатися з часовою віссю. Таким чином, часову вісь для системи S` ми знайшли.
Що ж до просторової осі, то вона складається з усіх тих світових точок, які відповідають подіям, що відбуваються в системі відліку S` у момент часу t`=0. З формул перетворень Лоренца випливає, що між координатами цих подій у системі S має виконуватися співвідношення ct - v/c*x = 0. Це — рівняння прямої. Нанісши її на площину, помічаємо, що, по-перше, вона має просторовоподібний напрям. Можна показати, що вона утворює з віссю x такий самий кут, який з віссю ct утворює щойно знайдена нами вісь ct`. Це й буде просторова вісь для системи S`. Легко бачити, що бісектриси координатних кутів для обох систем збігаються. Це означає, що світлові лінії в обох системах координат будуть одними й тими самими; таким є геометричний вираз сталості швидкості світла.
Вище ми переконалися, що відповідь на питання про те, чи можуть дві події бути причинно пов'язаними одна з одною, цілком залежить від розташування їхніх світових точок відносно світлових ліній. Оскільки при зміні системи відліку світлові лінії не змінюються, то, отже, і причинна зумовленість явищ не залежить від вибору системи відліку. Так, звісно, і має бути.
Вище ми бачили, що часова вісь системи £" має на кресленні часоподібний напрям, а просторова вісь — просторовоподібний (цим, між іншим, і пояснюються назви цих напрямів). Легко бачити, що справджується й обернене. Якщо нам задано будь-який часоподібний напрям, то, провівши через початок координат пряму, паралельну цьому напряму, ми можемо прийняти її за часову вісь нової системи координат. Просторову вісь проведемо під таким самим кутом до старої просторової осі. Так само, якщо задано будь-який просторовоподібний напрям, проведемо нову просторову вісь паралельно цьому напряму, виберемо відповідним чином нову часову вісь і дістанемо нову систему координат.
Якщо дано будь-які дві події, світові точки яких розташовані так, що відрізок, який їх сполучає, має часоподібний напрям (як точки A і B на рис. 14), то завжди можна вибрати нову систему відліку так, що ці дві події відбуватимуться в одній і тій самій точці простору. Для цього нову часову вісь потрібно напрямити паралельно відрізку АВ. Легко бачити також, що як би ми не проводили нову часову вісь, подія B відбуватиметься після події A. Отже, якщо подія A є причиною події B, то в будь-якій системі відліку подія A настає раніше, ніж B.
Розглянемо тепер на тому самому рис. 14 події A і С. Оскільки відрізок АС має просторовоподібний напрям, то можна вибрати нову систему координат так, що ці події відбуватимуться в один і той самий момент часу,— потрібно нову просторову вісь взяти паралельною відрізку АС.
Ми бачимо, таким чином, що прості геометричні співвідношення між світовими точками й лініями на площині подій дають нам досить повне уявлення про характер руху тіл, причинний зв'язок подій і т. д. Виявляється, що так само наочно можна зобразити й перехід від однієї системи відліку до іншої, тобто перетворення Лоренца.
Нехай дано дві системи відліку — систему S і систему S`, що рухається відносно системи S зі швидкістю v. Виберемо передусім осі координат і одиниці масштабу для системи S. Тепер нам потрібно на тій самій площині нанести координатні осі й визначити одиниці масштабу для системи S` так, щоб одна й та сама подія зображувалася в обох системах відліку однією й тією самою точкою A площини.
Для цього міркуємо так. Точка, що має в системі відліку S` просторову координату x`, яка дорівнює нулю, і перебуває в спокої в цій системі, у системі S рухається зі швидкістю v. Якщо ми нанесемо на нашу площину її світову лінію, то дістанемо деяку часоподібну пряму (рис. 15). Але в системі S` ця точка перебуває в спокої на початку координат, а тому її світова лінія в цій системі повинна просто збігатися з часовою віссю. Таким чином, часову вісь для системи S` ми знайшли.Що ж до просторової осі, то вона складається з усіх тих світових точок, які відповідають подіям, що відбуваються в системі відліку S` у момент часу t`=0. З формул перетворень Лоренца випливає, що між координатами цих подій у системі S має виконуватися співвідношення ct - v/c*x = 0. Це — рівняння прямої. Нанісши її на площину, помічаємо, що, по-перше, вона має просторовоподібний напрям. Можна показати, що вона утворює з віссю x такий самий кут, який з віссю ct утворює щойно знайдена нами вісь ct`. Це й буде просторова вісь для системи S`. Легко бачити, що бісектриси координатних кутів для обох систем збігаються. Це означає, що світлові лінії в обох системах координат будуть одними й тими самими; таким є геометричний вираз сталості швидкості світла.
Вище ми переконалися, що відповідь на питання про те, чи можуть дві події бути причинно пов'язаними одна з одною, цілком залежить від розташування їхніх світових точок відносно світлових ліній. Оскільки при зміні системи відліку світлові лінії не змінюються, то, отже, і причинна зумовленість явищ не залежить від вибору системи відліку. Так, звісно, і має бути.
Вище ми бачили, що часова вісь системи £" має на кресленні часоподібний напрям, а просторова вісь — просторовоподібний (цим, між іншим, і пояснюються назви цих напрямів). Легко бачити, що справджується й обернене. Якщо нам задано будь-який часоподібний напрям, то, провівши через початок координат пряму, паралельну цьому напряму, ми можемо прийняти її за часову вісь нової системи координат. Просторову вісь проведемо під таким самим кутом до старої просторової осі. Так само, якщо задано будь-який просторовоподібний напрям, проведемо нову просторову вісь паралельно цьому напряму, виберемо відповідним чином нову часову вісь і дістанемо нову систему координат.
Якщо дано будь-які дві події, світові точки яких розташовані так, що відрізок, який їх сполучає, має часоподібний напрям (як точки A і B на рис. 14), то завжди можна вибрати нову систему відліку так, що ці дві події відбуватимуться в одній і тій самій точці простору. Для цього нову часову вісь потрібно напрямити паралельно відрізку АВ. Легко бачити також, що як би ми не проводили нову часову вісь, подія B відбуватиметься після події A. Отже, якщо подія A є причиною події B, то в будь-якій системі відліку подія A настає раніше, ніж B.
Розглянемо тепер на тому самому рис. 14 події A і С. Оскільки відрізок АС має просторовоподібний напрям, то можна вибрати нову систему координат так, що ці події відбуватимуться в один і той самий момент часу,— потрібно нову просторову вісь взяти паралельною відрізку АС.
Зображення
Нахиляючи її в той чи інший бік, ми можемо на власний розсуд вибирати системи відліку так, щоб події A і C відбувалися в будь-якому порядку! Таким є геометричний вираз факту відносності одночасності.
Виберемо в системі відліку S деякий момент часу t1. Події, що відбуваються в цей момент, заповнять на нашій площині (рис. 16) пряму, паралельну просторовій осі. Це буде ніби «миттєвий знімок» усього простору, зроблений у момент t1. Узявши інший момент t2, дістанемо інший «знімок» і т. д. Система відліку ніби «розщеплює» єдиний простір— час на окремі «шари» — простору в дані моменти часу.
Інша система відліку S` виконує таке розщеплення дещо по-іншому (рис. 17). «Миттєві знімки» простору, зроблені в різних системах відліку, будуть відрізнятися. З цією обставиною тісно пов'язані багато «парадоксів» теорії відносності.
Але ми поки що нічого не говорили про вибір одиниць масштабу для різних систем відліку. Для однієї системи, наприклад для S, одиниці можуть бути вибрані довільно (але однаковими на обох осях). Тоді одиниці для будь-якої іншої системи S` вибираються наступним чином.
Ми бачили, що при переході до нової системи відліку світлові лінії залишаються незмінними. Виявляється,
Виберемо в системі відліку S деякий момент часу t1. Події, що відбуваються в цей момент, заповнять на нашій площині (рис. 16) пряму, паралельну просторовій осі. Це буде ніби «миттєвий знімок» усього простору, зроблений у момент t1. Узявши інший момент t2, дістанемо інший «знімок» і т. д. Система відліку ніби «розщеплює» єдиний простір— час на окремі «шари» — простору в дані моменти часу.
Інша система відліку S` виконує таке розщеплення дещо по-іншому (рис. 17). «Миттєві знімки» простору, зроблені в різних системах відліку, будуть відрізнятися. З цією обставиною тісно пов'язані багато «парадоксів» теорії відносності.
Але ми поки що нічого не говорили про вибір одиниць масштабу для різних систем відліку. Для однієї системи, наприклад для S, одиниці можуть бути вибрані довільно (але однаковими на обох осях). Тоді одиниці для будь-якої іншої системи S` вибираються наступним чином.
Ми бачили, що при переході до нової системи відліку світлові лінії залишаються незмінними. Виявляється,
Зображення
що аналогічною властивістю мають і деякі інші лінії. До них належать лінії, що задаються рівняннями x2—c2t2 = 1 і x2—c2 t2= —1. У геометрії ці лінії називаються гіперболами; кожна з них складається з двох «гілок», так що ми дістаємо на площині чотири «шматки» кривих, по одному в кожній частині, на які її ділять світлові лінії, що виходять з початку координат (пунктир на рис. 18). При віддаленні від початку координат ці криві необмежено наближаються до світлових ліній, ніколи, однак, їх не перетинаючи.
У будь-якій системі відліку S` ці гіперболи задаються тими самими рівняннями x`2—c2t`2 = 1і x`2—c2t`2 = — 1. Але з першого рівняння випливає, t` = 0 буде x`2 = 1, тобто x` = ±1. Це означає, що перша гіпербола відтинає на осі x` по обидва боки від початку координат відрізки довжиною 1 (у цій системі відліку). Так само друга гіпербола відтинає одиничні відрізки на часовій осі. Таким чином, провівши ці гіперболи, ми тим самим визначимо одиниці масштабу для будь-якої системи відліку.
Тепер розглянуті нами раніше релятивістські «ефекти» можна одержати суто геометрично. Питання про відносність одночасності ми вже розібрали. Розглянемо лоренцове скорочення. Нехай якийсь твердий стрижень перебуває в спокої в системі відліку S`. Це означає, що світові лінії його точок являють собою прямі, паралельні часовій осі системи S`. На рис. 19 проведено світові лінії кінців стрижня, причому для простоти його довжину прийнято рівною одиниці, а лівий кінець поміщено в нульову точку осі x` так що світова лінія цього кінця збігається з віссю ct`. Щоб виміряти довжину стрижня в системі S, потрібно, очевидно, виміряти відповідною одиницею (відрізок ОА) масштабу відрізок, який відтинається «світовою смугою» стрижня на осі x (або будь-якій прямій, їй паралельній). З креслення одразу видно, що ця довжина буде менша за одиницю.
Так само просто виходить сповільнення часу. Нехай, наприклад, події O і A відбуваються в одній і тій самій точці в системі S` (рис. 20). Знову ж таки задля простоти покладемо, що їхні світові точки лежать на осі ct`, а проміжок часу між ними дорівнює одиниці. Різницю часових координат цих подій у системі S ми дістанемо, якщо проведемо з точки A пряму, паралельну осі x, до перетину з віссю ct. З креслення ясно, що ця різниця буде більшою за одиницю.
Ми рекомендуємо читачеві за допомогою цих графіків детально розібрати всі наші «уявні експерименти», нанісши світові лінії кінців і середини потяга, шляхи світлових сигналів і т. д.
У будь-якій системі відліку S` ці гіперболи задаються тими самими рівняннями x`2—c2t`2 = 1і x`2—c2t`2 = — 1. Але з першого рівняння випливає, t` = 0 буде x`2 = 1, тобто x` = ±1. Це означає, що перша гіпербола відтинає на осі x` по обидва боки від початку координат відрізки довжиною 1 (у цій системі відліку). Так само друга гіпербола відтинає одиничні відрізки на часовій осі. Таким чином, провівши ці гіперболи, ми тим самим визначимо одиниці масштабу для будь-якої системи відліку.Тепер розглянуті нами раніше релятивістські «ефекти» можна одержати суто геометрично. Питання про відносність одночасності ми вже розібрали. Розглянемо лоренцове скорочення. Нехай якийсь твердий стрижень перебуває в спокої в системі відліку S`. Це означає, що світові лінії його точок являють собою прямі, паралельні часовій осі системи S`. На рис. 19 проведено світові лінії кінців стрижня, причому для простоти його довжину прийнято рівною одиниці, а лівий кінець поміщено в нульову точку осі x` так що світова лінія цього кінця збігається з віссю ct`. Щоб виміряти довжину стрижня в системі S, потрібно, очевидно, виміряти відповідною одиницею (відрізок ОА) масштабу відрізок, який відтинається «світовою смугою» стрижня на осі x (або будь-якій прямій, їй паралельній). З креслення одразу видно, що ця довжина буде менша за одиницю.
Так само просто виходить сповільнення часу. Нехай, наприклад, події O і A відбуваються в одній і тій самій точці в системі S` (рис. 20). Знову ж таки задля простоти покладемо, що їхні світові точки лежать на осі ct`, а проміжок часу між ними дорівнює одиниці. Різницю часових координат цих подій у системі S ми дістанемо, якщо проведемо з точки A пряму, паралельну осі x, до перетину з віссю ct. З креслення ясно, що ця різниця буде більшою за одиницю.Ми рекомендуємо читачеві за допомогою цих графіків детально розібрати всі наші «уявні експерименти», нанісши світові лінії кінців і середини потяга, шляхи світлових сигналів і т. д.