Отримані з рівнянь Максвелла електричне й магнітне поля самі по собі не становлять особливої цінності, якщо ми не знаємо, що ці поля можуть робити, на що вони здатні. Ви, ймовірно, пам'ятаєте, що поля потрібні для знаходження сил, які діють на заряди, і що саме ці сили визначають їхній рух. Так що зв'язок руху зарядів із силами, звичайно, теж є частиною електродинаміки.
На окремий заряд, що перебуває в полях Е і В, діє сила
На окремий заряд, що перебуває в полях Е і В, діє сила
Зображення
При невеликих швидкостях ця сила дорівнює добутку маси на прискорення, але істинний закон, справедливий за будь-яких швидкостей, стверджує: сила дорівнює dp/dt. Підставляючи p=m0v/√1–v2/с2, знаходимо релятивістське рівняння руху заряду:
Зображення
Тепер ми хочемо обговорити це рівняння з погляду теорії відносності. Оскільки рівняння Максвелла записані в нас у релятивістській формі, цікаво подивитись, як у релятивістській же формі виглядають рівняння руху. Подивимось, чи можна переписати рівняння руху в чотиривимірних позначеннях.
Ми знаємо, що імпульс є частиною чотиривимірного вектора рμ з енергією m0/√1–v2/с2 як часовою компонентою, так що ми сподіваємось замінити ліву частину рівняння (26.24) на dpμ/dt. Тепер нам треба знайти тільки четверту компоненту сили F. Ця компонента має дорівнювати швидкості зміни енергії, або швидкості виконання роботи, тобто F·v. Так що праву частину рівняння (26.24) бажано було б записати у вигляді чотиривектора типу (F·v, Fx, Fy, Fz). Однак ці величини не утворюють чотиривектора.
Похідна чотиривектора за часом не буде більше чотиривектором, оскільки d/dt потребує для вимірювання t деякої спеціальної системи відліку. З цією труднощею ми вже стикались раніше, коли намагались зробити чотиривектор зі швидкості v. Тоді ми спробували вважати, що роль часової компоненти швидкості відіграє cdt/dt=c. Але насправді величини
Ми знаємо, що імпульс є частиною чотиривимірного вектора рμ з енергією m0/√1–v2/с2 як часовою компонентою, так що ми сподіваємось замінити ліву частину рівняння (26.24) на dpμ/dt. Тепер нам треба знайти тільки четверту компоненту сили F. Ця компонента має дорівнювати швидкості зміни енергії, або швидкості виконання роботи, тобто F·v. Так що праву частину рівняння (26.24) бажано було б записати у вигляді чотиривектора типу (F·v, Fx, Fy, Fz). Однак ці величини не утворюють чотиривектора.
Похідна чотиривектора за часом не буде більше чотиривектором, оскільки d/dt потребує для вимірювання t деякої спеціальної системи відліку. З цією труднощею ми вже стикались раніше, коли намагались зробити чотиривектор зі швидкості v. Тоді ми спробували вважати, що роль часової компоненти швидкості відіграє cdt/dt=c. Але насправді величини
Зображення
не утворюють чотиривектора. Після цього ми виявили, що їх можна перетворити на компоненти чотиривектора, якщо помножити кожну на 1/√1 –v2/с2. «Чотиривимірною швидкістю» иμ виявився вектор
Зображення
Ось у чому фокус! Треба множити похідну d/dt на 1/√1–v2/c2, якщо ми хочемо перетворити її компоненту на чотиривектор.
Отже, друга гіпотеза: чотиривектором має бути величина
Отже, друга гіпотеза: чотиривектором має бути величина
Зображення
Але що таке v? Це вже швидкість частинки, а не швидкість системи координат! Таким чином, узагальненням сили на чотиривимірний простір буде величина fμ:
Зображення
Зображення
що являє собою чотиривимірний скалярний добуток, то в ній ми набуваємо справжнього скаляра і можемо користуватися ним для вимірювання чотиривимірного інтервалу. Виходячи з величини Δs або її границі ds, ми можемо визначити параметр s=∫ds. Гарним чотиривимірним оператором буде і похідна за s, тобто d/ds, оскільки вона інваріантна відносно перетворень Лоренца.
Для рухомої частинки ds легко пов'язується з dt. Для точкової частинки
Для рухомої частинки ds легко пов'язується з dt. Для точкової частинки
Зображення
Таким чином, оператор
Зображення
є інваріантний оператор. Якщо подіяти ним на будь-який чотиривектор, то ми отримаємо інший чотиривектор. Наприклад, якщо ми діємо ним на (ct, x, у, z), то отримуємо чотиривектор швидкості
яку ми назвемо «4-силою». Вона вже чотиривектор, і її просторовими компонентами будуть уже не F, а F/√1–v2/c2.
Чому ж fμ чотиривектор? Непогано було б зрозуміти, що це за таємничий множник 1/√1–v2/c2. Оскільки ми зустрічаємо його вже вдруге, то саме час подивитись, чому похідна d/dt завжди має входити з одним і тим самим множником. Відповідь полягає ось у чому. Коли ми беремо похідну за часом деякої функції x, то підраховуємо приріст Δx за малий інтервал Δt змінної t. Але в іншій системі відліку інтервал Δt може відповідати зміні як t′, так і x′, так що при зміні тільки t′ зміна x буде іншою. Для наших диференціювань слід було б знайти таку змінну, яка була б мірою «інтервалу» в просторі-часі і залишалася б тією самою в усіх системах відліку. Коли як цей інтервал ми приймаємо приріст Δх, то він буде тим самим у всіх системах відліку. Коли частинка «рухається» в чотиривимірному просторі, то виникають прирости як Δt, так і Δх, Δy, Δz. Чи можна з них зробити інтервал? Так, вони утворюють компоненти приросту чотиривектора xμ=(ct, x, у, z), так що, якщо визначити величину Δs через
яку ми назвемо «4-силою». Вона вже чотиривектор, і її просторовими компонентами будуть уже не F, а F/√1–v2/c2.
Чому ж fμ чотиривектор? Непогано було б зрозуміти, що це за таємничий множник 1/√1–v2/c2. Оскільки ми зустрічаємо його вже вдруге, то саме час подивитись, чому похідна d/dt завжди має входити з одним і тим самим множником. Відповідь полягає ось у чому. Коли ми беремо похідну за часом деякої функції x, то підраховуємо приріст Δx за малий інтервал Δt змінної t. Але в іншій системі відліку інтервал Δt може відповідати зміні як t′, так і x′, так що при зміні тільки t′ зміна x буде іншою. Для наших диференціювань слід було б знайти таку змінну, яка була б мірою «інтервалу» в просторі-часі і залишалася б тією самою в усіх системах відліку. Коли як цей інтервал ми приймаємо приріст Δх, то він буде тим самим у всіх системах відліку. Коли частинка «рухається» в чотиривимірному просторі, то виникають прирости як Δt, так і Δх, Δy, Δz. Чи можна з них зробити інтервал? Так, вони утворюють компоненти приросту чотиривектора xμ=(ct, x, у, z), так що, якщо визначити величину Δs через
Зображення
Тепер ми бачимо, чому √1–v2c2 виправляє справу.
Інваріантна змінна s — дуже корисна фізична величина. Її називають «власним часом» вздовж траєкторії частинки, бо в системі, яка в будь-який момент рухається разом з частинкою, ds просто дорівнює інтервалу часу. (У цій системі Δx=Δy=Δz=0, a Δs=Δt.) Якщо ви уявите собі годинник, швидкість ходу якого не залежить від прискорення, то, рухаючись разом з частинкою, такий годинник показуватиме час s.
Тепер можна повернутися назад і записати закон Ньютона (підправлений Ейнштейном) у вишуканій формі:
Інваріантна змінна s — дуже корисна фізична величина. Її називають «власним часом» вздовж траєкторії частинки, бо в системі, яка в будь-який момент рухається разом з частинкою, ds просто дорівнює інтервалу часу. (У цій системі Δx=Δy=Δz=0, a Δs=Δt.) Якщо ви уявите собі годинник, швидкість ходу якого не залежить від прискорення, то, рухаючись разом з частинкою, такий годинник показуватиме час s.
Тепер можна повернутися назад і записати закон Ньютона (підправлений Ейнштейном) у вишуканій формі:
Зображення
де fμ визначається формулою (26.28). Імпульс же рμ може бути записаний у вигляді
Зображення
де координати хμ=(сt, x, у, z) описують тепер траєкторію частинки. Нарешті, чотиривимірні позначення приводять нас до дуже простої форми рівнянь руху:
Зображення
що нагадує рівняння F=ma. Важливо зазначити, що рівняння (26.34) і F=ma — речі різні, бо чотиривекторна форма рівняння (26.34) містить у собі релятивістську механіку, яка за великих швидкостей відрізняється від механіки Ньютона. Це абсолютно не схоже на випадок рівнянь Максвелла, де нам треба було переписати рівняння в релятивістській формі, зовсім не змінюючи їхнього сенсу, а змінюючи лише позначення.
Повернемось тепер до рівняння (26.24) і подивимось, як у чотиривекторних позначеннях записується права частина. Три компоненти F, поділені на √1–v2c2, становлять просторові компоненти fμ , так що
Повернемось тепер до рівняння (26.24) і подивимось, як у чотиривекторних позначеннях записується права частина. Три компоненти F, поділені на √1–v2c2, становлять просторові компоненти fμ , так що
Зображення
Тепер ми маємо підставити всі величини в їхніх релятивістських позначеннях. Насамперед с/√1—v2/c2, vy/√1—v2/c2 і vz/√1—v2/c2 являють собою t-, у- і z-компоненти 4-швидкості иμ. Компоненти ж Е і В входять до електромагнітного тензора другого рангу Fμv. Відшукавши в табл. 26.1 компоненти Fμv, що відповідають Еx, Вz і Вy , отримаємо
Зображення
тут уже починає вимальовуватись щось цікаве. У кожному доданку є індекс x, і це розумно, бо ми знаходимо x-компоненту сили. Усі ж решта індексів з'являються в парах tt,yy, zz — усі, крім доданка з хх, який кудись подівся. Давайте просто вставимо його і запишемо
Зображення
Цим ми нічого не змінили, оскільки завдяки антисиметрії Fμv доданок Fxx дорівнює нулю. Причиною ж нашого бажання відновити його є можливість скороченого запису рівняння (26.36):
Зображення
Це по-старому рівняння (26.36), якщо попередньо ми приймемо угоду: коли якийсь індекс зустрічається в добутку двічі (подібно до v), треба автоматично підсумовувати всі доданки з однаковими значеннями цього індексу точнісінько так само, як і в скалярному добутку, тобто користуючись тим самим правилом знаків.
Неважко повірити, що рівняння (26.37) так само добре працює і для μ=y, і для μ=z. Але як справи з μ=t? Подивимось для забави, що дає формула
Неважко повірити, що рівняння (26.37) так само добре працює і для μ=y, і для μ=z. Але як справи з μ=t? Подивимось для забави, що дає формула
Зображення
Тепер ми знову маємо перейти до E і В. Після цього отримуємо
Зображення
Але в (26.28) ft бралося рівним
Зображення
А це одне й те саме, що (26.38), бо v·(v X В) дорівнює нулю. Так що все йде якнайкраще.
У результаті наше рівняння руху записується в елегантному вигляді:
У результаті наше рівняння руху записується в елегантному вигляді:
Зображення
Хоч як приємно бачити настільки гарно записане рівняння, ця форма не особливо корисна. При знаходженні руху частинки зазвичай зручніше користуватись первісним рівнянням (26.24), що ми й будемо робити надалі.