У попередньому розділі ми бачили, що потенціал Аμ=(φ, А) є чотиривектором. Його часовою компонентою слугує скалярний потенціал φ, а трьома просторовими компонентами — векторний потенціал А. Використовуючи перетворення Лоренца, ми знайшли також потенціал частинки, що рухається прямолінійно зі сталою швидкістю. (У розд. 21 те саме було зроблено дещо іншим методом.) Для точкового заряду, координати якого в момент t дорівнюють (vt, 0, 0), потенціали в точці (x, у, z) мають вигляд
Зображення
Рівняння (26.1) дають потенціали в точці x, у, z у момент t, що виникають від заряду, який рухається, «істинне» положення якого (мається на увазі положення в момент часу t) x=vt. Зауважте, що в рівняння входять координати (x—vt), у і z, які є координатами відносно змінного положення P заряду, що рухається (фіг. 26.1). Але, як ви знаєте, істинний вплив насправді поширюється зі швидкістю с, так що поле в точці насправді визначається запізнілим положенням заряду P′, координата x якого дорівнює vt′ (де t′= t – r′/с — «запізнілий» час). Нам, однак, відомо, що заряд рухався зі сталою швидкістю по прямій лінії, тому природно, що поведінка в точці Р′ безпосередньо пов'язана зі змінним положенням заряду. Фактично, якщо ми додамо припущення, що потенціали залежать тільки від положення і швидкості в запізнілий момент, тоді рівняння (26.1) становитиме повну формулу для потенціалів заряду, що рухається будь-яким чином. Ось як усе це працює.
Нехай у вас є заряд, що рухається якимось довільним чином, скажімо, по траєкторії, зображеній на фіг. 26.2, і ви намагаєтесь знайти потенціал у точці (x, у, z). Насамперед ви знаходите запізніле положення P′ і швидкість v′ у цій точці. Уявіть потім, що заряд зберігає свій рух з цією швидкістю на весь період запізнення (t′—t), так що він з'явився б потім у уявному положенні Рпр, яке ми будемо називати «проекційним», причому рухаючись з тією ж швидкістю v′. (Насправді він, звичайно, не робить цього; у момент t він перебуває в точці P.) Тоді потенціали в точці (x, у, z) будуть якраз такими, які дали б рівняння (26.1) для уявного заряду в проекційному положенні Рпр. Ми хочемо тут сказати, що, оскільки потенціали залежать тільки від того, що робить заряд у запізнілий момент, вони будуть однакові, незалежно від того, чи продовжує заряд свій рух зі сталою швидкістю, чи змінює його після моменту t′, тобто після того, як потенціали, які виникнуть у момент t у точці (x, у, z), вже визначені.Ви розумієте, звичайно, що в ту мить, коли отримано формули для потенціалів довільно рухомого заряду, ми маємо повну електродинаміку; з принципу суперпозиції ми можемо отримати потенціали для будь-якого розподілу зарядів. Отже, усі явища електродинаміки можна вивести або з рівнянь Максвелла, або з такого ряду зауважень. (Запам'ятайте їх на випадок, якщо ви раптом опинитеся на безлюдному острові. Виходячи з них, можна відновити все. Перетворення Лоренца ви, звичайно, пам'ятаєте. Не забувайте їх ні на безлюдному острові, ні в якому-небудь іншому місці.)
По-перше, А — чотиривектор. По-друге, кулонів потенціал будь-якого нерухомого заряду дорівнює q/4πε0r. По-третє, потенціал, створений зарядом, що рухається довільним чином, залежить тільки від положення в запізнілий момент часу. З цих трьох фактів ви можете отримати все. З того, що Аμ — чотиривектор, ми перетворенням кулонового потенціалу, який відомий, отримаємо потенціал заряду, що рухається зі сталою швидкістю. Потім з останнього твердження, що потенціал залежить тільки від швидкості в запізнілий момент, ми, використовуючи проекційне положення, можемо їх знайти. Правда, це не дуже зручний спосіб розгляду, але цікаво переконатися в тому, що закони фізики можна сформулювати безліччю найрізноманітніших способів.
Іноді дехто безвідповідально заявляє, що всю електродинаміку можна отримати тільки з перетворень Лоренца і закону Кулона. Це, звичайно, зовсім невірно. Ми насамперед повинні припустити, що в нас є скалярний і векторний потенціали, які в сукупності утворюють чотиривектор. Це каже нам, як перетворюються потенціали. Далі, звідки нам відомо, що треба враховувати тільки ефект у запізнілий момент? Або, ще краще, чому потенціал залежить тільки від положення і швидкості і не залежить, наприклад, від прискорення? Адже поля Е і В залежать все ж і від прискорення. Якщо ви спробуєте застосувати ті самі міркування до них, то будете змушені визнати, що вони залежать тільки від положення і швидкості в запізнілий момент. Але тоді поле заряду, що прискорюється, було б таким самим, як і поле від заряду в проекційному положенні, а це невірно. Поля залежать не тільки від положення і швидкості вздовж траєкторії, а й від прискорення. Так що у «великому» твердженні, що все можна отримати з перетворення Лоренца, міститься ще кілька неявних додаткових припущень. (Завжди, коли ви чуєте подібне ефектне твердження, що щось велике можна побудувати на основі малого числа припущень,— шукайте помилку. Зазвичай неявно приймається чимало такого, що виявляється далеко не очевидним, якщо подивитися уважніше.)