Поля точкового заряду, що рухається зі сталою швидкістю

Отже, ми знайшли потенціали точкового заряду, що рухається зі сталою швидкістю. Для практичних цілей нам треба знайти поля. Рівномірно рухомі заряди трапляються буквально на кожному кроці, скажімо космічні промені, що проходять через камеру Вільсона, або навіть повільно рухомі електрони в провіднику. Тож давайте хоча б подивимось, як виглядають ці поля для будь-яких швидкостей заряду, навіть для швидкостей, близьких до швидкості світла, але припустимо при цьому, що прискорення взагалі відсутнє. Це дуже цікаве питання.
 
Поля ми будемо знаходити за звичайними правилами, виходячи з потенціалів

Візьмемо спочатку Е_z:

Але компонента A_z  дорівнює  нулю, а диференціювання виразу (26.1) для φ дає

Аналогічна процедура для Е_y  приводить до

Трохи більше роботи з x-компонентою. Похідна від φ складніша, та й А_x не дорівнює нулю. Давайте спочатку обчислимо  –дφ/дх:

А потім продиференціюємо А_x за t:

І, нарешті, додаючи їх, отримуємо

Облишимо на хвилину поле Е, а спочатку знайдемо В. Для його z-компоненти ми маємо

Але, оскільки А_y дорівнює нулю, у нас залишається тільки одна похідна. Зауважте, однак, що А_x просто дорівнює vφ, а похідна (д/ду)vφ дорівнює –vE_y. Тож

Нарешті, компонента В_x дорівнює нулю, оскільки дорівнюють нулю і А_y, і A_z. Таким чином, магнітне поле можна записати у вигляді

Тепер подивимось, як виглядають наші поля. Ми спробуємо намалювати картину поля навколо положення заряду в даний момент. Звичайно, вплив заряду в якомусь сенсі походить із запізнілого положення, але, оскільки ми маємо справу з строго заданим рухом, запізніле положення однозначно визначається положенням у даний момент. При сталій швидкості заряду поля краще пов'язувати з поточними координатами, бо компоненти поля в точці х, y, z залежать тільки від (х—vt), у і z, які є компонентами вектора переміщення r_p із сталого положення заряду в точку (х, y, z) (фіг. 26.3).
Розглянемо спочатку точки, для яких z=0. Поле Е в цих точках має тільки х- і y-компоненти. З рівнянь (26.3) і (26.6) видно, що відношення цих компонент якраз дорівнює відношенню х- і y-компонент вектора переміщення. Це означає, що напрямок Е збігається з напрямком r_p, як це показано на фіг. 26.3. Той самий результат залишається справедливим і для трьох вимірів, оскільки E_z пропорційне z. Коротше кажучи, електричне поле заряду радіальне і силові лінії розходяться від заряду так само, як і в стаціонарному випадку. Звичайно, внаслідок наявності додаткового фактора (1—v²) поле не буде тим самим, що в стаціонарному випадку. Але тут ми можемо побачити щось дуже цікаве. Справа виглядає так, ніби ви пишете закон Кулона в особливій системі координат, «стиснутій» вздовж осі x множником √1–v². Якщо ви зробите це, то силові лінії попереду і позаду заряду розійдуться, а з боків згустяться (фіг. 26.4).
 
Якщо ми зв'язуємо звичайним чином напруженість поля Е з густиною силових ліній, то бачимо, що поле попереду і позаду заряду слабшає, але натомість з боків стає сильнішим, тобто якраз те, про що говорить нам рівняння. Коли ви вимірюєте напруженість поля під прямими кутами до лінії руху, тобто при (х—vt)=0, відстань від заряду дорівнюватиме √(y²+z²), а повна напруженість √E²_x+E²_y у цих точках дорівнює

Вона, як і у випадку кулонового поля, обернено пропорційна квадрату відстані, але ще підсилюється сталим множником 1/√1–v², який завжди більший за одиницю. Таким чином, з боків заряду, що рухається, електричне поле сильніше, ніж це випливає із закону Кулона. Фактично збільшення порівняно з кулоновим потенціалом дорівнює відношенню енергії частинки до її маси спокою.
 
Попереду заряду (або позаду нього) y і z дорівнюють нулю, а тому

Знову поле обернено пропорційне відстані від заряду, але тепер воно зрізається множником (1—v²), що узгоджується з картиною силових ліній. Якщо v/c мале, то v²/c² ще менше, і дія (1—v²) майже непомітна, тому ми знову повертаємось до закону Кулона. Але якщо частинка рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла, то поле перед частинкою сильно зменшується, а поле збоку страхітливо зростає.
 
Наш результат, що стосується електричного поля заряду, можна подати й так. Припустімо, що ви на клаптику паперу намалювали силові лінії нерухомого заряду, а потім цю картину запустили зі швидкістю v. Тоді завдяки лоренцевому скороченню малюнок стиснеться, тобто частинки графіту на папері здаватимуться нам розташованими в інших місцях. Але диво полягає в тому, що в результаті на аркушику, що пролітає повз, ви побачите точну картину силових ліній точкового заряду, що рухається. Лоренцеве скорочення зблизить їх з боків, розсуне перед зарядом і позаду нього якраз настільки, щоб отримати потрібну густину. Ми вже зазначали, що силові лінії — це не реальність, а лише спосіб уявити собі електричне поле. Однак тут вони поводяться як найсправжнісінькі реальні лінії.   У  цьому  окремому випадку, якщо ви й припустилися помилки, розглядаючи силові лінії як щось реальне і перетворюючи їх як реальні лінії в просторі, поле в результаті все одно вийшло б правильним. Однак від цього силові лінії не стануть більш реальними. Згадайте про електричне поле, створюване зарядом разом з магнітом; коли магніт рухається, він створює нове електричне поле і руйнує всю нашу чудову картину. Так що проста ідея картинки, що скорочується, взагалі кажучи, не годиться. Але все ж це дуже зручний спосіб запам'ятати, як виглядає поле швидко рухомого заряду.
Магнітне поле [з рівняння (26.9)] дорівнює vXE. Коли ви векторно помножите швидкість на радіальне поле Е, то отримаєте поле В, силові лінії якого утворюють кола навколо лінії руху (фіг. 26.5). Якщо ж тепер ми підставимо назад усі с, то ви переконаєтесь, що результат вийшов той самий, що й для повільно рухомих зарядів. Хороший спосіб встановити, куди мають увійти c, — це згадати формулу для сили:

Ви бачите, що добуток швидкості на магнітне поле має ту саму розмірність, що й електричне поле, так що у правій  частині  (26.9)  має  стояти множник 1/с², тобто

Для повільно рухомого заряду (v«c) поле можна вважати кулоновим, і тоді

Ця формула точно відповідає магнітному полю струму, яке було знайдено в розд. 14 (вип. 5).
 
Заразом мені хотілося б зазначити дещо вельми цікаве просто для того, щоб ви про це подумали. (До обговорення цього ми ще повернемось, але трохи пізніше.) Уявіть собі два електрони, швидкості яких перпендикулярні, так що їхні шляхи перетинаються, однак електрони не стикаються; один з них встигає проскочити перед іншим. У якийсь момент їхнє відносне положення буде таким, як зображено на фіг. 26.6, а. Розглянемо тепер сили, з якими q₂ діє на q₁, і навпаки. На q₂ з боку q₁ діє тільки електрична сила, бо q₁ на лінії свого руху не створює магнітного поля. Однак на q₁, крім електричного поля, діє ще й магнітне, так що він рухається і в магнітному полі, створюваному зарядом q₂. Усі ці сили показані на фіг. 26.6, б. Електричні сили, що діють на q₁ і q₂, рівні за величиною і протилежні за напрямком. Однак на q₁ ще діє і бічна (магнітна) сила, якої й близько немає у q₂. Чи рівна тут дія протидії? Поламайте голову над цим питанням.