Подивимося тепер, що дасть наш розв'язок для електричного поля між обкладками конденсатора, якщо продовжувати збільшувати частоту все вище і вище. При великих ω параметр x=ωr/с теж стає великим, і перші кілька доданків ряду для J0 від x швидко зростають. Це означає, що парабола, яку ми накреслили на фіг. 23.5, на великих частотах вигинається донизу крутіше.
І справді, вона виглядає так, ніби поле на високій частоті весь час намагається перетворитися на нуль десь при с/ω, приблизно рівному половині a. Давайте подивимося, чи справді функція J0 проходить через нуль і стає від'ємною. Спершу випробуємо x=2:
І справді, вона виглядає так, ніби поле на високій частоті весь час намагається перетворитися на нуль десь при с/ω, приблизно рівному половині a. Давайте подивимося, чи справді функція J0 проходить через нуль і стає від'ємною. Спершу випробуємо x=2:
Зображення
Це ще не нуль; але спробуймо число побільше, скажімо x=2,5. Підстановка дає
Зображення
У точці х=2,5 функція J0 уже перейшла через нуль. Результати при x=2 і при x=2,5 виглядають так, ніби J0 пройшла через нуль на одній п'ятій шляху від 2,5 до 2. Тому треба перевірити число 2,4:
Зображення
З точністю до двох знаків після коми вийшов нуль. Якщо розраховувати точніше (або, оскільки функція J0 відома, якщо розшукати відповідь у книжці), то виявиться, що J0 проходить через нуль при x=2,405. Ми провели розрахунок власноруч, щоб показати вам, що ви теж здатні відкривати подібні речі, а не запозичувати їх із книжок.
А якщо вже ви подивилися про J0 у книжці, то цікаво з'ясувати, як вона йде при великих значеннях x; вона нагадує криву на фіг. 23.6. Коли x зростає, J0(x) коливається від додатних значень до від'ємних і назад, поступово зменшуючи розмах коливань.
Ми отримали цікавий результат: якщо досить збільшити частоту, то електричні поля в центрі конденсатора і біля його краю можуть бути спрямовані в протилежні боки. Наприклад, нехай ω таке велике, що x=ωr/с на зовнішньому краю конденсатора дорівнює 4; тоді на фіг. 23.6 краю конденсатора відповідає абсциса х=4. Це означає, що наш конденсатор працює при частоті ω=4с/а. І на краю обкладок електричне поле буде досить велике, але спрямоване не туди, куди можна було очікувати, а в зворотний бік. Ця жахлива річ може статися з конденсатором на великих частотах. При переході до дуже великих частот електричне поле в міру віддалення від центра конденсатора багато разів змінює свій напрямок. Крім того, є ще пов'язане з цими електричними полями магнітне поле. Не дивно, що наш конденсатор при високих частотах уже не нагадує ідеальної ємності. Можна навіть замислитися над тим, на що він схожий більше: на ємність чи на індуктивність. Треба до того ж підкреслити, що на краях конденсатора відбуваються й складніші ефекти, якими ми знехтували. Наприклад, там відбувається ще випромінювання хвиль за краї конденсатора, так що справжні поля значно складніші за ті, які ми розрахували. Втім, ми не будемо зараз займатися цими ефектами.
Можна було б, звісно, спробувати уявити собі для конденсатора еквівалентне коло, але, ймовірно, буде краще, якщо ми просто приймемо, що той конденсатор, який ми сконструювали для низькочастотних полів, більше не годиться, коли частоти надто великі. І якщо ми хочемо вивчити, як діє такий об'єкт на високих частотах, нам треба залишити ті наближення до рівнянь Максвелла, які ми робили, вивчаючи кола, і повернутися до повної системи рівнянь, що повністю описує поля в просторі. Замість того щоб маніпулювати ідеалізованими елементами кола, треба оперувати реальними провідниками, такими, якими вони є насправді, враховуючи всі поля в просторі між ними. Наприклад, якщо нам потрібен резонансний контур на високі частоти, то не треба намагатися сконструювати його за допомогою однієї котушки і плоского конденсатора.
Ми вже згадували, що плоский конденсатор, який ми розглядали, схожий, з одного боку, на ємність, а з іншого— на індуктивність. Від електричного поля виникають заряди на поверхнях обкладок, а від магнітного — зворотні е. р. с. Чи не може виявитися, що перед нами вже готовий резонансний контур? Виявляється, так. Уявіть, що ми обрали таку частоту, при якій картина електричного поля падає до нуля на якійсь відстані від краю диска; іншими словами, ми обрали ωa/с більшим, ніж 2,405. Скрізь на колі, центр якого лежить на осі обкладок, електричне поле перетвориться на нуль. Візьмемо шматок жерсті і виріжемо смужку такої ширини, щоб вона якраз помістилася між плоскими обкладками конденсатора. Потім зігнемо її у формі циліндра такого радіуса, на якому електричне поле дорівнює нулю. Раз там немає електричного поля, то по вставленому в конденсатор циліндру жодні струми не потечуть, і ні електричні, ні магнітні поля не зміняться. Ми, отже, змогли закоротити одна на одну обкладки конденсатора, нічого не змінивши в ньому. І подивіться, що вийшло: вийшла справжня циліндрична бляшанка з електричним і магнітним полями всередині, причому ніяк не пов'язана із зовнішнім світом. Поля всередині не зміняться, навіть якщо відрізати виступаючі краї обкладок і дроти, що ведуть до конденсатора. Залишиться тільки закрита бляшанка з електричним і магнітним полями всередині неї (фіг. 23.7,а). Електричні поля коливаються то вперед, то назад із частотою ω, яка, не забувайте, визначила собою діаметр бляшанки. Амплітуда поля E, що коливається, змінюється з відстанню від осі бляшанки так, як показано на фіг. 23.7,б. Ця крива — просто перша дуга функції Бесселя нульового порядку. У бляшанці є ще й кругове магнітне поле, яке коливається в часі зі зсувом по фазі на 90° відносно електричного поля.
Магнітне поле можна теж розкласти в ряд і зобразити на графіку, як це зроблено на фіг. 23.7,в.
Але як же це виходить, що всередині бляшанки можуть існувати електричні й магнітні поля, не з'єднані із зовнішнім світом? Через те, що електричне і магнітне поля самі себе підтримують: зміна Е створює В, а зміна В створює Е,— усе відповідно до рівнянь Максвелла. Магнітне поле відповідає за індуктивність, електричне — за ємність; разом вони створюють щось схоже на резонансний контур. Зауважте, що описані нами умови виникають лише тоді, коли радіус бляшанки точно дорівнює 2,405 с/ω. У бляшанці заданого радіуса поля, що коливаються, електричне й магнітне, підтримуватимуть одне одного (описаним способом) лише за цієї визначеної частоти. Отже, циліндрична бляшанка радіуса r резонує при частоті
А якщо вже ви подивилися про J0 у книжці, то цікаво з'ясувати, як вона йде при великих значеннях x; вона нагадує криву на фіг. 23.6. Коли x зростає, J0(x) коливається від додатних значень до від'ємних і назад, поступово зменшуючи розмах коливань.Ми отримали цікавий результат: якщо досить збільшити частоту, то електричні поля в центрі конденсатора і біля його краю можуть бути спрямовані в протилежні боки. Наприклад, нехай ω таке велике, що x=ωr/с на зовнішньому краю конденсатора дорівнює 4; тоді на фіг. 23.6 краю конденсатора відповідає абсциса х=4. Це означає, що наш конденсатор працює при частоті ω=4с/а. І на краю обкладок електричне поле буде досить велике, але спрямоване не туди, куди можна було очікувати, а в зворотний бік. Ця жахлива річ може статися з конденсатором на великих частотах. При переході до дуже великих частот електричне поле в міру віддалення від центра конденсатора багато разів змінює свій напрямок. Крім того, є ще пов'язане з цими електричними полями магнітне поле. Не дивно, що наш конденсатор при високих частотах уже не нагадує ідеальної ємності. Можна навіть замислитися над тим, на що він схожий більше: на ємність чи на індуктивність. Треба до того ж підкреслити, що на краях конденсатора відбуваються й складніші ефекти, якими ми знехтували. Наприклад, там відбувається ще випромінювання хвиль за краї конденсатора, так що справжні поля значно складніші за ті, які ми розрахували. Втім, ми не будемо зараз займатися цими ефектами.
Можна було б, звісно, спробувати уявити собі для конденсатора еквівалентне коло, але, ймовірно, буде краще, якщо ми просто приймемо, що той конденсатор, який ми сконструювали для низькочастотних полів, більше не годиться, коли частоти надто великі. І якщо ми хочемо вивчити, як діє такий об'єкт на високих частотах, нам треба залишити ті наближення до рівнянь Максвелла, які ми робили, вивчаючи кола, і повернутися до повної системи рівнянь, що повністю описує поля в просторі. Замість того щоб маніпулювати ідеалізованими елементами кола, треба оперувати реальними провідниками, такими, якими вони є насправді, враховуючи всі поля в просторі між ними. Наприклад, якщо нам потрібен резонансний контур на високі частоти, то не треба намагатися сконструювати його за допомогою однієї котушки і плоского конденсатора.
Ми вже згадували, що плоский конденсатор, який ми розглядали, схожий, з одного боку, на ємність, а з іншого— на індуктивність. Від електричного поля виникають заряди на поверхнях обкладок, а від магнітного — зворотні е. р. с. Чи не може виявитися, що перед нами вже готовий резонансний контур? Виявляється, так. Уявіть, що ми обрали таку частоту, при якій картина електричного поля падає до нуля на якійсь відстані від краю диска; іншими словами, ми обрали ωa/с більшим, ніж 2,405. Скрізь на колі, центр якого лежить на осі обкладок, електричне поле перетвориться на нуль. Візьмемо шматок жерсті і виріжемо смужку такої ширини, щоб вона якраз помістилася між плоскими обкладками конденсатора. Потім зігнемо її у формі циліндра такого радіуса, на якому електричне поле дорівнює нулю. Раз там немає електричного поля, то по вставленому в конденсатор циліндру жодні струми не потечуть, і ні електричні, ні магнітні поля не зміняться. Ми, отже, змогли закоротити одна на одну обкладки конденсатора, нічого не змінивши в ньому. І подивіться, що вийшло: вийшла справжня циліндрична бляшанка з електричним і магнітним полями всередині, причому ніяк не пов'язана із зовнішнім світом. Поля всередині не зміняться, навіть якщо відрізати виступаючі краї обкладок і дроти, що ведуть до конденсатора. Залишиться тільки закрита бляшанка з електричним і магнітним полями всередині неї (фіг. 23.7,а). Електричні поля коливаються то вперед, то назад із частотою ω, яка, не забувайте, визначила собою діаметр бляшанки. Амплітуда поля E, що коливається, змінюється з відстанню від осі бляшанки так, як показано на фіг. 23.7,б. Ця крива — просто перша дуга функції Бесселя нульового порядку. У бляшанці є ще й кругове магнітне поле, яке коливається в часі зі зсувом по фазі на 90° відносно електричного поля.Магнітне поле можна теж розкласти в ряд і зобразити на графіку, як це зроблено на фіг. 23.7,в.
Але як же це виходить, що всередині бляшанки можуть існувати електричні й магнітні поля, не з'єднані із зовнішнім світом? Через те, що електричне і магнітне поля самі себе підтримують: зміна Е створює В, а зміна В створює Е,— усе відповідно до рівнянь Максвелла. Магнітне поле відповідає за індуктивність, електричне — за ємність; разом вони створюють щось схоже на резонансний контур. Зауважте, що описані нами умови виникають лише тоді, коли радіус бляшанки точно дорівнює 2,405 с/ω. У бляшанці заданого радіуса поля, що коливаються, електричне й магнітне, підтримуватимуть одне одного (описаним способом) лише за цієї визначеної частоти. Отже, циліндрична бляшанка радіуса r резонує при частоті
Зображення
Ми сказали, що якщо бляшанка цілком закрита, то поля продовжують коливатися так само, як і раніше. Це не зовсім так. Це було б так, якби стінки бляшанки були ідеальними провідниками. У реальній бляшанці, однак, коливні струми, що течуть по стінках, можуть через опір матеріалу втрачати енергію. Коливання полів поступово завмруть. Із фіг. 23.7 зрозуміло, що там повинні існувати сильні струми, пов'язані з електричними й магнітними полями всередині порожнини. Через те, що вертикальне електричне поле раптово зникає на верхньому й нижньому торцях бляшанки, у нього виникає там сильна дивергенція; отже, на внутрішній поверхні бляшанки повинні з'являтися позитивні й негативні заряди (фіг. 23.7, а). Коли електричне поле змінює напрямок на протилежний, повинні змінювати знак і заряди, так що між верхнім і нижнім торцями бляшанки повинен текти змінний струм. Він тектиме по боковій поверхні бляшанки, як показано на рисунку. Те, що по боках бляшанки повинні текти струми, можна зрозуміти ще, розглянувши те, що відбувається в магнітному полі. Крива на фіг. 23.7, в повідомляє нам, що магнітне поле на краю бляшанки раптово перетворюється на нуль. Така раптова зміна магнітного поля може статися лише через те, що по стінці тече струм. Цей струм якраз і створює змінні електричні заряди на верхній і нижній обкладках бляшанки.
Вас може здивувати наше відкриття — виявлення струмів на бокових сторонах бляшанки. А як же з нашим попереднім твердженням, що нічого не зміниться, якщо в області, де електричне поле дорівнює нулю, поставити ці бокові стінки? Пригадайте, однак, що, коли ми вперше вставляли в конденсатор ці бокові стінки, верхня й нижня обкладки виступали за них, так що магнітні поля опинялися і зовні нашої бляшанки. І тільки коли ми відрізали частини конденсатора, що виступали за краї бляшанки, на внутрішній частині бокових стінок з'явилися якісь струми.
Хоч електричні й магнітні поля в абсолютно закритій бляшанці через втрати енергії поступово зникнуть, можна зробити так, щоб цього не було. Для цього треба просвердлити в бляшанці збоку дірочку і потроху додавати енергію, щоб відшкодовувати втрати. Треба взяти дротинку, просунути її крізь дірочку в бляшанці і припаяти її до внутрішньої частини стінки, щоб вийшла петля (фіг. 23.8). Якщо приєднати цю дротинку до джерела високочастотного змінного струму, то цей струм постачатиме енергією електричне й магнітне поля порожнини і підтримуватиме коливання. Це станеться, звісно, лише в тому разі, якщо частота джерела енергії збігається з резонансною частотою бляшанки. Якщо частота в джерела не та, то електричні й магнітні поля резонувати не будуть і поля в бляшанці виявляться слабенькими.
Резонансну поведінку легко спостерігати, якщо в бляшанці зробити ще одну дірку і протягти крізь неї ще одну петлю (фіг. 23.8). Магнітне поле, що змінюється, проходячи крізь цю другу петлю, генеруватиме в ній е. р. с. індукції. Якщо тепер цю петлю з'єднати із зовнішнім вимірювальним контуром, то струми в ньому будуть пропорційні напруженості полів у порожнині. Уявіть тепер, що вхідна петля нашої порожнини з'єднана з радіочастотним генератором сигналів (фіг. 23.9). Генератор сигналів складається з джерела змінного струму, частоту якого можна змінювати, повертаючи ручку на панелі генератора.
З'єднаємо тоді вихідну петлю порожнини з «детектором» — приладом, що вимірює струм від вихідної петлі. Відліки на його шкалі пропорційні цьому струму. Якщо потім виміряти струм на виході як функцію частоти генератора сигналів, то вийде крива, схожа на зображену на фіг. 23.10. Струм на виході невеликий на всіх частотах, крім тих, що близькі до ω0— резонансної частоти порожнини. Резонансна крива дуже схожа на ту, про яку йшлося в розд. 23 (вип. 2). Однак ширина резонансу менша, ніж зазвичай виходить у резонансних контурах, складених з індуктивностей і ємностей; іншими словами, Q (добротність) порожнини дуже висока. Часто трапляється навіть Q порядку 100 000 і вище, особливо якщо внутрішні стінки порожнини зроблені з дуже добре провідного матеріалу, наприклад зі срібла.
Вас може здивувати наше відкриття — виявлення струмів на бокових сторонах бляшанки. А як же з нашим попереднім твердженням, що нічого не зміниться, якщо в області, де електричне поле дорівнює нулю, поставити ці бокові стінки? Пригадайте, однак, що, коли ми вперше вставляли в конденсатор ці бокові стінки, верхня й нижня обкладки виступали за них, так що магнітні поля опинялися і зовні нашої бляшанки. І тільки коли ми відрізали частини конденсатора, що виступали за краї бляшанки, на внутрішній частині бокових стінок з'явилися якісь струми.
Хоч електричні й магнітні поля в абсолютно закритій бляшанці через втрати енергії поступово зникнуть, можна зробити так, щоб цього не було. Для цього треба просвердлити в бляшанці збоку дірочку і потроху додавати енергію, щоб відшкодовувати втрати. Треба взяти дротинку, просунути її крізь дірочку в бляшанці і припаяти її до внутрішньої частини стінки, щоб вийшла петля (фіг. 23.8). Якщо приєднати цю дротинку до джерела високочастотного змінного струму, то цей струм постачатиме енергією електричне й магнітне поля порожнини і підтримуватиме коливання. Це станеться, звісно, лише в тому разі, якщо частота джерела енергії збігається з резонансною частотою бляшанки. Якщо частота в джерела не та, то електричні й магнітні поля резонувати не будуть і поля в бляшанці виявляться слабенькими.Резонансну поведінку легко спостерігати, якщо в бляшанці зробити ще одну дірку і протягти крізь неї ще одну петлю (фіг. 23.8). Магнітне поле, що змінюється, проходячи крізь цю другу петлю, генеруватиме в ній е. р. с. індукції. Якщо тепер цю петлю з'єднати із зовнішнім вимірювальним контуром, то струми в ньому будуть пропорційні напруженості полів у порожнині. Уявіть тепер, що вхідна петля нашої порожнини з'єднана з радіочастотним генератором сигналів (фіг. 23.9). Генератор сигналів складається з джерела змінного струму, частоту якого можна змінювати, повертаючи ручку на панелі генератора.З'єднаємо тоді вихідну петлю порожнини з «детектором» — приладом, що вимірює струм від вихідної петлі. Відліки на його шкалі пропорційні цьому струму. Якщо потім виміряти струм на виході як функцію частоти генератора сигналів, то вийде крива, схожа на зображену на фіг. 23.10. Струм на виході невеликий на всіх частотах, крім тих, що близькі до ω0— резонансної частоти порожнини. Резонансна крива дуже схожа на ту, про яку йшлося в розд. 23 (вип. 2). Однак ширина резонансу менша, ніж зазвичай виходить у резонансних контурах, складених з індуктивностей і ємностей; іншими словами, Q (добротність) порожнини дуже висока. Часто трапляється навіть Q порядку 100 000 і вище, особливо якщо внутрішні стінки порожнини зроблені з дуже добре провідного матеріалу, наприклад зі срібла.