Густина енергії та потік енергії в електромагнітному полі

Ідея полягає в тому, що повинні існувати густина енергії u і потік S, які залежать тільки від полів Е і В. [В електростатиці, наприклад, густину енергії, як ми знаємо, можна записати у вигляді ¹/₂ε₀(Е·Е).] Звісно, u і S можуть залежати від потенціалів і чогось іншого, але подивімося краще, що ми можемо написати. Спробуємо переписати величину Е ·j у такому вигляді, щоб вона стала сумою двох доданків, один з яких був би похідною за часом від деякої величини, а другий — дивергенцією. Тоді першу величину ми б назвали u, а другу — S (звісно, з належними знаками). Обидві величини повинні бути виражені тільки через поля, тобто  ми хочемо записати нашу рівність у вигляді

причому ліва частина рівняння повинна виражатися тільки через поля.   Як  це  зробити?  Звісно,  потрібно  скористатися рівняннями Максвелла. З рівняння для ротора В маємо

Підставляючи це в (27.6), отримуємо його вираз тільки через Е і  В:

Роботу частково вже зроблено. Останній доданок є похідною за часом — це (∂/∂t)(¹/₂ε₀E ·Е).
 
Отже, ¹/₂ε₀E ·Е повинно бути принаймні частиною u. Такий самий вираз у нас виходив і в електростатиці. А тепер єдине, що нам залишається зробити,— це перетворити на дивергенцію чогось другий доданок.
 
Зауважте, що перший доданок у правій частині (27.7) переписується у вигляді

ви знаєте з векторної алгебри, що (aXb)·c дорівнює а·(bхс), тому перший доданок набуває вигляду

тобто вийшла дивергенція «чогось», до якої ми так прагнули. Вийшла, але тільки все це невірно! Я попереджав вас, що оператор ∇ тільки «схожий» на вектор, а насправді він не «справжній» вектор. Пригадайте, що в диференціальному численні є додаткова угода: коли оператор похідної стоїть перед добутком, він діє на все, що стоїть праворуч від нього. У рівнянні (27.7) оператор ∇ діє тільки на В і не зачіпає Е. Але якби ми записали його у формі рівняння (27.9), то загальноприйнята угода говорила б, що ∇ діє як на В, так і на Е. Тож це не те саме. Справді, якщо розписати ∇ ·(ВхЕ) по компонентах, то можна переконатися, що воно дорівнює E·(∇xB) плюс якісь інші доданки. Це нагадує взяття похідної від добутку у звичайному аналізі. Наприклад,

Замість того щоб виписати всі компоненти ∇·(BxE), мені хотілося б показати вам один трюк, дуже корисний у задачах такого роду. Він дозволить вам усюди у виразах, що містять оператор ∇, користуватися правилами векторної алгебри, не потрапляючи в халепу. Трюк полягає у відмові (принаймні на час) від правил диференціального числення щодо того, на що діє оператор похідної. Ви знаєте, що порядок співмножників важливий у двох різних випадках. По-перше, у диференціальному численні: f(d/dx)g не те саме, що g(d/dx)f; і, по-друге, у векторній алгебрі: aXb відрізняється від bХа. Ми можемо, якщо захочемо, на хвилину відмовитися від правил диференціального числення. Замість того щоб казати, що похідна діє на все, що стоїть праворуч від неї, ми приймемо нове правило, яке звільняє нас від порядку, в якому записані співмножники. Після цього ми можемо крутити ними, як хочемо, без будь-яких перешкод.
 
Ось наше нове правило: за допомогою індексу ми будемо вказувати, на що саме діє диференціальний оператор; при цьому порядок співмножників не має жодного значення. Припустімо, що оператор д/дх ми позначили через D. Тоді символ D_f говорить, що береться похідна тільки функції f, тобто

Але якщо ми маємо вираз D_ffg, то він означає

Зауважимо тепер, що, згідно з нашим новим правилом, fD_fg означає те саме. Один і той самий вираз можна записати будь-яким із таких способів:

Ви бачите, що D_f може стояти навіть після всього. (Дивно, чому такому зручному позначенню зазвичай не вчать у книжках з математики та фізики.)
 
Ви, мабуть, здивуєтеся: а що, якщо я хочу написати похідну від fg? Якщо мені потрібна похідна від обох членів? Це дуже легко: ви пишете D_f(fg)+D_g(fg), тобто g(∂f/∂x)+f(∂g/∂x), що у старих позначеннях якраз дорівнює ∂(fg)/∂x.
 
Ви зараз побачите, як просто тепер отримати новий вираз для ∇ ·(ВхЕ). Почнемо з переходу до нового позначення і   напишемо

Щойно ми зробили це, більше немає потреби дотримуватися строгого порядку. Ми завжди знаємо, що ∇_E  діє тільки на Е, a ∇_B діє тільки на В. За цих обставин оператором ∇ можна користуватися як звичайним вектором. (Звісно, після того як усе буде закінчено, нам захочеться повернутися до «стандартних» позначень, які зазвичай використовуються.) Таким чином, тепер ми можемо робити різні перестановки співмножників.  Так,  середній  співмножник у рівнянні (27.10) можна переписати як Е ·(∇_B X В). [Сподіваюся, ви пам'ятаєте, що a ·(bXc)=b ·(cXa).] А останній — як В·(Ех ∇_E). Хоча це виглядає дещо дивно, але тим не менш тут усе гаразд. Якщо ж ми тепер спробуємо повернутися до старих позначень, то повинні будемо розташувати оператори ∇ так, щоб вони діяли на свої «власні» змінні. У першому з них усе гаразд, тож ми можемо просто опустити індекс у ∇. Другий же потребує певної реорганізації, щоб оператор ∇ поставити перед Е. Цього можна досягти, переставляючи співмножники у векторному добутку й змінюючи знак:

Тепер усе стоїть на своєму місці і можна повернутися до звичайних позначень. Формула (27.10) еквівалентна такій рівності:

(У цьому особливому випадку швидше було б скористатися компонентами, але, справді, варто було витратити час, щоб показати вам математичний трюк. Може статися, що ви більше ніде його не зустрінете, а він дуже зручний тоді, коли у векторній алгебрі потрібно звільнитися від правила порядку членів при диференціюванні.)
 
Повернімося тепер до нашого закону збереження енергії, причому для перетворення ∇xB у (27.7) ми використаємо новий результат — рівність (27.11). Ось що це дає:

Тепер ви бачите, що ми майже біля мети. Один з наших доданків — справжня похідна за t, її ми використаємо при утворенні u, а інший (чудова дивергенція) увійде в S. На жаль, справа посередині лишився ще один доданок, який не є ні дивергенцією, ні похідною за t. Тож поки що не все закінчено. Після деяких роздумів ми знову звертаємося до рівнянь Максвелла і, на щастя, виявляємо, що (∇xE) дорівнює –∂B/∂t.
 
Це дозволяє перетворити додатковий член на чисту похідну чогось за часом:

Ось тепер у нас вийшло те, що потрібно. Рівняння для енергії переписується у вигляді

А це, якщо ми визначимо и і S як

у точності нагадує рівняння (27.6). (Перестановкою співмножників у векторному добутку ми досягаємо правильного знака.)
 
Отже, наша програма успішно виконана. З виразу для густини енергії ми бачимо, що вона являє собою суму «електричної» та «магнітної» густин енергії, які в точності дорівнюють виразам, отриманим нами в статиці, коли ми знаходили вираз для енергії через поля. Крім того, ми отримали вираз для вектора потоку енергії електромагнітного поля. Цей новий вектор S=ε₀c²ExB за ім'ям свого першовідкривача називається «вектором Пойнтінга». Він говорить нам про швидкість, з якою енергія рухається в просторі. Енергія, що протікає за секунду через малу поверхню da, дорівнює S ·nda, де n — вектор, перпендикулярний до поверхні da. (Тепер, коли в нас є формули для u і S, можете, якщо хочете, забути всі викладки.)