Збереження енергії та електромагнітне поле

Тепер нам треба описати збереження енергії в електромагнітному полі кількісно. Для цього потрібно з'ясувати, скільки енергії міститься в одиниці об'єму, а також яка швидкість її потоку. Розглянемо спочатку енергію тільки електромагнітного поля. Нехай u позначає густину енергії поля, тобто кількість енергії в одиниці об'єму простору, а вектор S — потік енергії поля (тобто кількість енергії, яка пройшла за одиницю часу через одиничну поверхню, перпендикулярну до потоку). Тоді, аналогічно до збереження заряду (27.1), можна написати «локальний» закон збереження енергії поля у вигляді

Звісно, цей закон, узагалі кажучи, не вірний; енергія поля не зберігається. Уявіть, що ви перебуваєте в темній кімнаті, а потім повертаєте вимикач. Кімната раптово наповнюється світлом, тобто в ній опиняється енергія поля, якої раніше не було. Рівняння (27.2) не становить повного закону збереження, бо енергія тільки самого поля не зберігається, а існує ще енергія речовини; зберігається лише повна енергія в усьому світі. Енергія поля змінюватиметься, якщо воно виконує роботу над речовиною або речовина виконує роботу над полем.
 
Однак якщо всередині об'єму, який нас цікавить, міститься речовина, то ми знаємо, скільки енергії вона несе в собі: енергія кожної частинки дорівнює m₀c²/√1—v²/c². Повна ж енергія речовини дорівнює просто сумі енергій усіх частинок, а її потік через поверхню дорівнює просто сумі енергій, які переносить кожна частинка, що перетинає цю поверхню. Але зараз ми матимемо справу тільки з енергією електромагнітного поля. Тож ми повинні написати рівняння, яке говорить, що повна енергія поля в даному об'ємі зменшується або внаслідок її витікання з об'єму, або тому, що поле передає свою енергію речовині (чи набуває її, що означає просто від'ємну втрату). Енергія поля в об'ємі V дорівнює

а швидкість її зменшення дорівнює похідній цього інтеграла за часом зі знаком мінус. Потік енергії поля з об'єму V дорівнює інтегралу від нормальної компоненти S по поверхні ∑,  що обмежує об'єм V:

Таким чином,

Раніше ми бачили, що над кожною одиницею об'єму речовини поле за одиницю часу виконує роботу Е ·j. [Сила, яка діє на частинку, дорівнює F=q(E+vXB), а потужність дорівнює F·v=qE·v. Якщо в одиниці об'єму міститься N частинок, то ця потужність в одиниці об'єму дорівнює NqE ·v, a Nqv=j.] Таким чином, величина Е·j повинна дорівнювати енергії, яку втрачає поле в одиниці об'єму за одиницю часу. Рівняння (27.3) при цьому набуває вигляду

Ось як виглядає наш закон збереження енергії в полі. Його можна записати як диференціальне рівняння, подібне до (27.2); для цього другий доданок потрібно перетворити на інтеграл по об'єму, що легко зробити за допомогою теореми Гаусса. Поверхневий інтеграл від нормальної компоненти S дорівнює інтегралу від дивергенції S по об'єму, обмеженому цією поверхнею, тож рівняння (27.3) еквівалентне такому:

де похідну за часом від першого доданка ми внесли під інтеграл. Оскільки це рівняння правильне для будь-якого об'єму, то інтеграли можна відкинути й отримати рівняння для енергії електромагнітного поля:

Однак це рівняння не дасть нам нічого доброго, поки ми не дізнаємося, що таке u і S. Може, мені слід було б просто сказати вам, як вони виражаються через Е і В, оскільки це єдине, що нам, власне, потрібно. Однак мені дуже хочеться викласти вам усі ті міркування, якими в 1884 р. скористався Пойнтінг, щоб отримати формули для S і u, щоб ви розуміли, звідки вони взялися. (Для подальшої роботи, утім, цей вивід вам не знадобиться.)