Наша формула для вектора потоку енергії S являє собою щось нове. Тепер варто подивитися, наскільки вона годиться в деяких особливих випадках, а також перевірити її на тому, що ми знали раніше. Першим нашим прикладом буде світло. У світловій хвилі вектори Е і В спрямовані під прямим кутом один до одного і до напрямку поширення хвилі (фіг. 27.2). В електромагнітній хвилі величина В дорівнює (1/с)Е, а оскільки вони спрямовані під прямим кутом, то величина (ExB) дорівнює просто Е2/с. Таким чином, для світла потік енергії за секунду через одиничну поверхню дорівнюєЗображення
У світловій хвилі, де E=E0cos ω(t—х/с), середня швидкість потоку енергії через одиничну площу <S>сер, яка називається «інтенсивністю» світла, дорівнює середньому значенню електричного поля, помноженому на ε0с:
Зображення
Цей результат, як не дивно, ми вже отримували в розд. 31, § 5 (вип. 3), коли вивчали світло. Ми отримали його зовсім іншим шляхом, і тому можемо зараз у нього повірити. Коли в нас є пучок світла, то густина енергії в просторі задається рівнянням (27.14). Скориставшись тепер тим, що у світловій хвилі сВ=E, отримуємо
Зображення
Однак вектор Е змінюється в просторі, тому середня густина енергії дорівнює
Зображення
Далі, світло поширюється зі швидкістю с, тому можна вважати, що енергія, яка проходить за секунду через квадратний метр, дорівнює добутку с на кількість енергії в кубічному метрі, тобто
Зображення
Усе гаразд. Ми знову отримали вираз (27.17).Візьмемо тепер інший приклад, цього разу дуже цікавий. Розглянемо потік енергії в конденсаторі, який повільно заряджається. (Ми не хочемо зараз мати справу з такими високими частотами, при яких конденсатор стає схожим на резонансну порожнину, але нам не потрібен і постійний струм.) Візьмемо звичайний конденсатор із круглими паралельними пластинами (фіг. 27.3). Між ними створюється майже однорідне електричне поле, яке змінюється з плином часу. Повна електромагнітна енергія всередині конденсатора в будь-який момент дорівнює добутку густини енергії u на об'єм. Якщо радіус пластин дорівнює а, а відстань між ними h, то повна енергія, укладена між пластинами, буде
Зображення
Зі зміною напруженості E ця енергія теж змінюється. Коли конденсатор заряджається, внутрішній об'єм набуває енергії зі швидкістю
Зображення
Тож повинен існувати потік енергії, спрямований звідкись збоку всередину об'єму. Ви, звісно, думаєте, що він іде від дротів, які заряджають конденсатор,— а от і ні! Потік усередину жодним чином не може йти з цього боку, оскільки Е перпендикулярне до пластин, а тому Е X В повинно бути паралельне їм.
Ви, ймовірно, пам'ятаєте, що при зарядці конденсатора виникає магнітне поле, спрямоване по колу навколо осі. Про це йшлося в розд. 23. Скориставшись останнім рівнянням Максвелла, ми там знайшли, що магнітне поле на краю конденсатора визначається виразом
Ви, ймовірно, пам'ятаєте, що при зарядці конденсатора виникає магнітне поле, спрямоване по колу навколо осі. Про це йшлося в розд. 23. Скориставшись останнім рівнянням Максвелла, ми там знайшли, що магнітне поле на краю конденсатора визначається виразом
Зображення
Його напрямок показано на фіг. 27.3. Таким чином, на краях конденсатора, як видно з рисунка, виникає потік енергії, пропорційний ExB. Тож енергія насправді втікає в конденсатор не з боку дротів, а з боку простору, що його оточує.
Перевірмо, чи узгоджується повний потік через усю поверхню між краями пластин зі швидкістю зміни внутрішньої енергії. Для цього найкраще повторити весь шлях, який ми пройшли при виведенні виразу (27.15). Подивімося, до чого він приведе. Площа поверхні дорівнює 2πah, а абсолютна величина S=ε0c2(ExB) дорівнює
Перевірмо, чи узгоджується повний потік через усю поверхню між краями пластин зі швидкістю зміни внутрішньої енергії. Для цього найкраще повторити весь шлях, який ми пройшли при виведенні виразу (27.15). Подивімося, до чого він приведе. Площа поверхні дорівнює 2πah, а абсолютна величина S=ε0c2(ExB) дорівнює
Зображення
тож повний потік енергії буде
Зображення
Це збігається з рівнянням (27.20). Дивна річ! Виявляється, при зарядці конденсатора енергія йде туди не через дроти, а через зазор між краями пластин. Ось що говорить нам ця теорія!
Як це може бути? Питання не з легких, але ось вам один зі способів міркування. Припустімо, у нас є заряди, розташовані над і під конденсатором далеко від нього. Коли такі заряди розташовані далеко, то конденсатор оточує хоч і слабке, але надзвичайно протяжне поле (фіг. 27.4). Потім, коли заряди підходять усе ближче й ближче, поле стає все сильнішим і сильнішим і все тісніше «обіймає» конденсатор. Тож енергія поля, яка спочатку була далеко, рухається «у напрямку» до конденсатора і врешті-решт входить у простір між пластинами.
Як наступний приклад давайте подивимося, що відбувається зі шматком дроту (з ненульовим опором), по якому тече струм. Оскільки дріт має якийсь опір, то вздовж нього діє електричне поле, яке породжує струм, а внаслідок падіння потенціалу вздовж дроту існує також паралельне його поверхні електричне поле поза дротом (фіг. 27.5). Крім того, наявність струму породжує також магнітне поле, спрямоване по колу навколо дроту. Вектори Е і В спрямовані під прямим кутом, а тому вектор Пойнтінга спрямований радіально, як це показано на рисунку. Усередину провідника з усіх боків втікає енергія. Вона, звісно, повинна дорівнювати енергії, яку втрачає провідник у вигляді тепла.
Таким чином, наша «божевільна» теорія говорить, що електрони отримують свою енергію, яку вони витрачають на створення теплоти, ззовні, від потоку енергії зовнішнього поля всередину дроту. Інтуїція нам підказує, що електрон поповнює свою енергію за рахунок «тиску», який штовхає його вздовж дроту, так що енергія нібито повинна текти вниз (або вгору) по дроту. А ось теорія стверджує, що насправді на електрон діє електричне поле, створюване дуже далекими зарядами, і електрони втрачають свою енергію, яку витрачають на тепло, саме з цих полів. Енергія віддалених зарядів якимось чином розтікається по великій області простору й потім втікає всередину дроту.
Нарешті, щоб остаточно переконати вас у тому, що це явно ненормальна теорія, візьмемо ще один приклад, коли електричний заряд і магніт перебувають у спокої — сидять собі поряд і не ворушаться. Уявіть, що ми взяли точковий заряд, який спочиває поблизу центру магнітного бруска (фіг. 27.6). Усе перебуває в спокої, так що енергія теж не змінюється з часом; Е і В сталі. Але вектор Пойнтінга стверджує, що тут є потік енергії, оскільки ExB не дорівнює нулю. Якщо ви поспостерігаєте за потоком енергії, то переконаєтеся, що він циркулює навколо цієї системи. Але жодної зміни енергії не відбувається; усе, що втікає в будь-який об'єм, знову витікає з нього. Це нагадує круговий потік нестисливої води. Отже, у такій, здавалося б, статичній ситуації є потік енергії. Виглядає, прямо скажемо, абсурдно!
А, можливо, це все-таки не так уже й дивно, якщо згадати, що так званий «статичний» магніт являє собою насправді безперервно циркулюючий струм. Усередині постійного магніту електрони весь час крутяться. Тож, можливо, циркуляція енергії не така вже й дивна.
У вас, поза сумнівом, починає створюватися враження, що теорія Пойнтінга, принаймні частково, спростовує вашу інтуїцію щодо того, де міститься енергія електромагнітного поля. Вам може здатися, що необхідно зайнятися «лагодженням» своєї інтуїції, відпрацьовуючи її на безлічі прикладів. Однак у цьому, схоже, жодної потреби немає. Не думаю, що ви опинилися б у великій скруті, забувши на якийсь час, що енергія втікає всередину дроту ззовні, а не тече вздовж нього. Не так уже й важливо, використовуючи ідею збереження енергії, вказати в усіх деталях, який шлях обирає енергія. Циркуляція енергії навколо магніту й заряду здебільшого, схоже, зовсім несуттєва. Хоча це й не так уже й важливо, проте ясно, що повсякденна інтуїція нас обманює.
Як це може бути? Питання не з легких, але ось вам один зі способів міркування. Припустімо, у нас є заряди, розташовані над і під конденсатором далеко від нього. Коли такі заряди розташовані далеко, то конденсатор оточує хоч і слабке, але надзвичайно протяжне поле (фіг. 27.4). Потім, коли заряди підходять усе ближче й ближче, поле стає все сильнішим і сильнішим і все тісніше «обіймає» конденсатор. Тож енергія поля, яка спочатку була далеко, рухається «у напрямку» до конденсатора і врешті-решт входить у простір між пластинами.Як наступний приклад давайте подивимося, що відбувається зі шматком дроту (з ненульовим опором), по якому тече струм. Оскільки дріт має якийсь опір, то вздовж нього діє електричне поле, яке породжує струм, а внаслідок падіння потенціалу вздовж дроту існує також паралельне його поверхні електричне поле поза дротом (фіг. 27.5). Крім того, наявність струму породжує також магнітне поле, спрямоване по колу навколо дроту. Вектори Е і В спрямовані під прямим кутом, а тому вектор Пойнтінга спрямований радіально, як це показано на рисунку. Усередину провідника з усіх боків втікає енергія. Вона, звісно, повинна дорівнювати енергії, яку втрачає провідник у вигляді тепла.Таким чином, наша «божевільна» теорія говорить, що електрони отримують свою енергію, яку вони витрачають на створення теплоти, ззовні, від потоку енергії зовнішнього поля всередину дроту. Інтуїція нам підказує, що електрон поповнює свою енергію за рахунок «тиску», який штовхає його вздовж дроту, так що енергія нібито повинна текти вниз (або вгору) по дроту. А ось теорія стверджує, що насправді на електрон діє електричне поле, створюване дуже далекими зарядами, і електрони втрачають свою енергію, яку витрачають на тепло, саме з цих полів. Енергія віддалених зарядів якимось чином розтікається по великій області простору й потім втікає всередину дроту.
Нарешті, щоб остаточно переконати вас у тому, що це явно ненормальна теорія, візьмемо ще один приклад, коли електричний заряд і магніт перебувають у спокої — сидять собі поряд і не ворушаться. Уявіть, що ми взяли точковий заряд, який спочиває поблизу центру магнітного бруска (фіг. 27.6). Усе перебуває в спокої, так що енергія теж не змінюється з часом; Е і В сталі. Але вектор Пойнтінга стверджує, що тут є потік енергії, оскільки ExB не дорівнює нулю. Якщо ви поспостерігаєте за потоком енергії, то переконаєтеся, що він циркулює навколо цієї системи. Але жодної зміни енергії не відбувається; усе, що втікає в будь-який об'єм, знову витікає з нього. Це нагадує круговий потік нестисливої води. Отже, у такій, здавалося б, статичній ситуації є потік енергії. Виглядає, прямо скажемо, абсурдно!А, можливо, це все-таки не так уже й дивно, якщо згадати, що так званий «статичний» магніт являє собою насправді безперервно циркулюючий струм. Усередині постійного магніту електрони весь час крутяться. Тож, можливо, циркуляція енергії не така вже й дивна.
У вас, поза сумнівом, починає створюватися враження, що теорія Пойнтінга, принаймні частково, спростовує вашу інтуїцію щодо того, де міститься енергія електромагнітного поля. Вам може здатися, що необхідно зайнятися «лагодженням» своєї інтуїції, відпрацьовуючи її на безлічі прикладів. Однак у цьому, схоже, жодної потреби немає. Не думаю, що ви опинилися б у великій скруті, забувши на якийсь час, що енергія втікає всередину дроту ззовні, а не тече вздовж нього. Не так уже й важливо, використовуючи ідею збереження енергії, вказати в усіх деталях, який шлях обирає енергія. Циркуляція енергії навколо магніту й заряду здебільшого, схоже, зовсім несуттєва. Хоча це й не так уже й важливо, проте ясно, що повсякденна інтуїція нас обманює.