Локальні закони збереження

Те, що енергія речовини не завжди зберігається, ясно як день. Випромінюючи світло, об'єкт втрачає енергію. Однак утрачену енергію можна уявити в якійсь іншій формі, скажімо, у формі енергії світла. Тому закон збереження енергії не повний, якщо не розглянути енергію, пов'язану зі світлом зокрема й з електромагнітним полем узагалі. Зараз ми його підправимо, а заразом і закон збереження імпульсу з урахуванням електромагнітного поля. Ми, звісно, не можемо обговорювати їх окремо, бо, згідно з теорією відносності, це різні прояви одного й того самого чотиривектора.
 
Зі збереженням енергії ми познайомилися ще на початку нашого курсу; тоді ми просто сказали, що повна енергія у світі лишається сталою. Тепер же ми хочемо зробити дуже важливе узагальнення ідеї закону збереження енергії, яке скаже нам дещо про деталі того, як це відбувається. Новий закон говоритиме, що коли енергія йде з якоїсь області, то це може відбуватися лише за рахунок її витікання через межі розглядуваної області. Це твердження сильніше, ніж просто збереження енергії без подібних обмежень.
 
Щоб легше зрозуміти зміст цього твердження, подивімося, як працює закон збереження заряду. У нас є густина струму j і густина заряду ρ, а збереження заряду описується тим, що коли в якомусь місці заряд зменшується, то звідти має відбуватися відтік зарядів. Ми називаємо це збереженням заряду. Математично закон збереження записується у вигляді

Як наслідок цього закону повний заряд усього світу лишається сталим. Заряди ніколи не народжувалися й не знищувалися; у світі як цілому немає ніякого чистого прибутку зарядів, як немає й ніяких втрат. Проте повний заряд світу можна зробити сталим і іншим способом. Нехай поблизу точки (1) міститься заряд Q₁ а поблизу точки (2), розташованої від неї на деякій відстані, ніякого заряду немає (фіг. 27.1). Припустімо тепер, що з плином часу заряд Q₁ поступово зникає, але що одночасно зі зменшенням Q₁ поблизу точки (2) з'являється заряд Q₂, причому так, що в будь-який момент сума Q₁ і Q₂ лишається сталою. Іншими словами, у будь-який проміжний момент кількість заряду, яку втрачає Q₁ додається до Q₂. При цьому у світі повна кількість заряду зберігається. Хоча це теж «всесвітнє» збереження заряду, ми не будемо називати його «локальним» збереженням, бо для того, щоб заряд перебрався з точки (1) у точку (2), йому не обов'язково з'являтися десь у просторі між цими точками. Локально заряд просто «втрачається».
 
Проте такий «всесвітній» закон збереження натрапляє в теорії відносності на великі труднощі. Поняття «одночасно» для точок, розділених відстанню, неоднакове для різних систем. Дві події, що відбуваються одночасно в одній системі, не будуть одночасними в системі, яка рухається відносно неї. Для «всесвітнього» збереження щойно описаного типу потрібне лише одне— щоб заряд, який втрачає Q₁, одночасно з'являвся в Q₂. Інакше будуть такі моменти, коли заряд не зберігається. Мабуть, способу   зробити   закон   збереження    заряду    релятивістськи інваріантним, не роблячи його «локальним», не існує. Суть у тому, що вимога лоренцевої інваріантності, як виявляється, напрочуд сильно обмежує можливі закони природи. У сучасній квантовій теорії поля, наприклад, теоретики часто намагаються змінити теорію, допустивши те, що ми називаємо «нелокальною» взаємодією, коли щось, розташоване тут, безпосередньо впливає на щось, розташоване там, але ми завжди натрапляємо на труднощі, пов'язані з принципами відносності.
 
«Локальні» ж закони збереження засновані на іншій ідеї. Вони стверджують, що заряд може перейти з одного місця в інше лише за умови, що щось таке відбувається в просторі між ними. Щоб описати такий закон, нам потрібна не тільки густина заряду ρ, а й величина іншого сорту, а саме вектор j, який задає швидкість потоку заряду через поверхню. При цьому потік пов'язаний зі швидкістю зміни заряду рівнянням (27.1). Це сильніше формулювання закону збереження. Воно говорить, що заряд зберігається особливим чином,  зберігається «локально».
 
Збереження енергії, виявляється, теж локальний процес. У світі існує не тільки густина енергії в даній області, а й вектор, що являє швидкість потоку енергії через поверхню. Наприклад, коли джерело випромінює світло, ми можемо знайти енергію світла, яке воно випромінює. Якщо ми уявимо якусь математичну поверхню, що оточує джерело світла, то втрата енергії цього джерела дорівнює потоку енергії через поверхню, яка його оточує.