Тепер мені хотілося б поговорити про імпульс поля. Поле володіє енергією; так само в одиниці об'єму воно володіє якимсь імпульсом. Позначимо густину імпульсу через g. Імпульс, звісно, може мати різні напрямки, тому g повинно бути вектором. Тимчасово ми будемо говорити про одну компоненту і для початку візьмемо х-компоненту. Оскільки будь-яка компонента імпульсу зберігається, то ми можемо одразу написати закон приблизно такого вигляду:
Зображення
Ліва частина тривіальна. Швидкість зміни імпульсу речовини дорівнює просто силі, що діє на неї. Для частинок F=q(E+vXB), а для розподілених зарядів на одиницю об'єму діє сила F=(ρE+jxB). Однак доданок «потік імпульсу» дещо дивний. Він не може бути дивергенцією якогось вектора, бо це не скаляр, а швидше x-компонента якогось вектора. Але хоч би там що, він повинен мати вигляд
Зображення
оскільки x-компонента імпульсу повинна текти в якомусь із трьох напрямків. У всякому разі, якими б не були a, b і с, така комбінація вважається рівною потоку x-компоненти імпульсу.
Далі за правилами тієї самої гри напишемо ρE+jxB тільки через Е і В, виключивши густину заряду ρ і густину струму j, а потім, жонглюючи доданками і зробивши підстановку, отримуємо
Далі за правилами тієї самої гри напишемо ρE+jxB тільки через Е і В, виключивши густину заряду ρ і густину струму j, а потім, жонглюючи доданками і зробивши підстановку, отримуємо
Зображення
Зіставляючи потім різні доданки, ми повинні знайти вирази для gx, a, b і c. Загалом тут маса роботи, але ми не збираємося займатися нею. Замість цього ми знайдемо тільки вираз для густини імпульсу g, і притому зовсім іншим способом.
У механіці є дуже важлива теорема, яка говорить: яким би не був потік енергії будь-якого виду (енергія поля чи якийсь інший сорт енергії), добуток її кількості, що пройшла через одиницю площі за одиницю часу, на 1/с2 дорівнює імпульсу в одиниці об'єму простору. У випадку електродинаміки ця теорема говорить, що g дорівнює вектору Пойнтінга, поділеному на с2:
У механіці є дуже важлива теорема, яка говорить: яким би не був потік енергії будь-якого виду (енергія поля чи якийсь інший сорт енергії), добуток її кількості, що пройшла через одиницю площі за одиницю часу, на 1/с2 дорівнює імпульсу в одиниці об'єму простору. У випадку електродинаміки ця теорема говорить, що g дорівнює вектору Пойнтінга, поділеному на с2:
Зображення
Тож вектор Пойнтінга дає нам не тільки потік енергії, а й, після ділення на с2, густину імпульсу. Цей самий результат вийшов би з аналізу, який ми щойно збиралися провести, однак значно привабливіше скористатися загальною теоремою. Зараз ми розглянемо кілька цікавих прикладів і міркувань, покликаних переконати вас у справедливості цієї загальної теореми.
Перший приклад: візьмемо безліч ув'язнених у ящик частинок. Нехай, скажімо, їх буде N штук на кубічний метр, і нехай вони рухаються вздовж ящика зі швидкістю v. Розглянемо тепер уявну площину, перпендикулярну до v. Потік енергії через одиницю площі цієї площини за секунду дорівнює Nv (тобто числу частинок, що перетинають площину за секунду), помноженому на енергію кожної частинки. Енергія ж кожної частинки буде m0c2/√1–v2/c2. Тож потік енергії дорівнює
Перший приклад: візьмемо безліч ув'язнених у ящик частинок. Нехай, скажімо, їх буде N штук на кубічний метр, і нехай вони рухаються вздовж ящика зі швидкістю v. Розглянемо тепер уявну площину, перпендикулярну до v. Потік енергії через одиницю площі цієї площини за секунду дорівнює Nv (тобто числу частинок, що перетинають площину за секунду), помноженому на енергію кожної частинки. Енергія ж кожної частинки буде m0c2/√1–v2/c2. Тож потік енергії дорівнює
Зображення
Але імпульс кожної частинки дорівнює m0v/√1—v2/c2, звідки густина імпульсу буде
Зображення
що в повній згоді з теоремою якраз дорівнює 1/с2, помноженому на потік енергії. Таким чином, для пучка частинок теорема виявляється правильною.
Правильна вона й для світла. Під час вивчення світла (див. вип. 3) ми встановили, що, коли відбувається поглинання світла, поглиначу передається якась кількість імпульсу. Справді, у розд. 34 (вип. 3) ми бачили, що імпульс дорівнює поглинутій енергії, поділеній на c [рівняння (34.24)]. Нехай U0 буде енергією, що падає за секунду на одиничну площу, тоді переданий тій самій поверхні за той самий час імпульс дорівнює U0/c. Але імпульс поширюється зі швидкістю c, так що його густина перед поглиначем повинна дорівнювати U0/c2. Теорема знову справедлива.
Нарешті, я наведу міркування Ейнштейна, яке ще раз продемонструє те саме твердження. Припустімо, у нас є вагон з якоюсь великою масою M, який може без тертя котитися по рейках. На одному його кінці розташований пристрій, здатний «вистрілювати» якісь частинки або світловий імпульс (зовсім байдуже, чим він стріляє), які вдаряються об протилежний кінець вагона. Отже, якась кількість енергії, скажімо U, що спочатку перебувала на одному кінці (фіг. 27.7,а), перелітає на протилежний кінець (фіг. 27.7,в). Таким чином, енергія U переміщується на відстань, що дорівнює довжині вагона L. Цій енергії U відповідає маса U/c2, так що якщо вагон спочатку стояв, то його центр мас повинен зрушитися. Ейнштейну не сподобався висновок про те, що центр мас предмета можна перемістити якимись маніпуляціями всередині нього. Він вважав, що жодні внутрішні дії не можуть змінити центр мас. Але якщо це так, то при переміщенні енергії U з одного кінця на інший сам вагон повинен відкотитися на відстань x
(фіг. 27.7,в). Справді, неважко переконатися, що повна маса вагона, помножена на x, повинна дорівнювати добутку переміщеної енергії U/c2 на довжину L (за умови, що U/c2 набагато менше за M), тобто
Правильна вона й для світла. Під час вивчення світла (див. вип. 3) ми встановили, що, коли відбувається поглинання світла, поглиначу передається якась кількість імпульсу. Справді, у розд. 34 (вип. 3) ми бачили, що імпульс дорівнює поглинутій енергії, поділеній на c [рівняння (34.24)]. Нехай U0 буде енергією, що падає за секунду на одиничну площу, тоді переданий тій самій поверхні за той самий час імпульс дорівнює U0/c. Але імпульс поширюється зі швидкістю c, так що його густина перед поглиначем повинна дорівнювати U0/c2. Теорема знову справедлива.
Нарешті, я наведу міркування Ейнштейна, яке ще раз продемонструє те саме твердження. Припустімо, у нас є вагон з якоюсь великою масою M, який може без тертя котитися по рейках. На одному його кінці розташований пристрій, здатний «вистрілювати» якісь частинки або світловий імпульс (зовсім байдуже, чим він стріляє), які вдаряються об протилежний кінець вагона. Отже, якась кількість енергії, скажімо U, що спочатку перебувала на одному кінці (фіг. 27.7,а), перелітає на протилежний кінець (фіг. 27.7,в). Таким чином, енергія U переміщується на відстань, що дорівнює довжині вагона L. Цій енергії U відповідає маса U/c2, так що якщо вагон спочатку стояв, то його центр мас повинен зрушитися. Ейнштейну не сподобався висновок про те, що центр мас предмета можна перемістити якимись маніпуляціями всередині нього. Він вважав, що жодні внутрішні дії не можуть змінити центр мас. Але якщо це так, то при переміщенні енергії U з одного кінця на інший сам вагон повинен відкотитися на відстань x (фіг. 27.7,в). Справді, неважко переконатися, що повна маса вагона, помножена на x, повинна дорівнювати добутку переміщеної енергії U/c2 на довжину L (за умови, що U/c2 набагато менше за M), тобто
Зображення
Тепер розглянемо конкретний випадок, коли енергія переноситься спалахом світла. (Усі міркування можна повторити й для частинок, але ми йтимемо за Ейнштейном, якого цікавили проблеми світла.) Що змушує вагон рухатися? Ейнштейн міркував так: при випромінюванні світла повинна бути віддача, якась невідома віддача з імпульсом p. Саме вона змушує вагон відкотитися назад. Швидкість вагона v при такій віддачі повинна дорівнювати імпульсу віддачі, поділеному на масу M:
Зображення
Вагон рухається з цією швидкістю доти, поки світло не досягне протилежного кінця. Ударяючись, світло віддає імпульс вагону й зупиняє його. Якщо x мале, то час, протягом якого вагон рухається, дорівнює L/c, так що ми
отримуємо
отримуємо
Зображення
Підставляючи x у (27.22), знаходимо
Зображення
Знову вийшло співвідношення між енергією та імпульсом світла. Ділячи це на с, знаходимо густину імпульсу g=p/c, і знову
Зображення
Вас може здивувати, чи так уже важлива теорема про центр мас. Може, вона порушується? Можливо, але тоді ви втрачаєте й закон збереження моменту кількості руху. Припустімо, що наш вагончик рухається по рейках з якоюсь швидкістю v, і ми «вистрілюємо» якусь кількість світлової енергії від стелі до підлоги, наприклад із точки A в точку B (фіг. 27.8). Подивімося тепер на момент кількості руху відносно точки P. До того як порція енергії U залишила точку A, у неї була маса m=U2/c і швидкість v, так що її момент кількості руху дорівнював mvra. Коли ж вона прилетіла в точку B, маса її лишається такою самою, і якщо імпульс усього вагона не змінився, то вона, як і раніше, повинна мати швидкість v. Однак момент кількості руху відносно точки P буде вже mvrB. Таким чином, якщо вагону при випромінюванні світла не передається жодного імпульсу, тобто якщо світло не переносить імпульсу U/c, то момент кількості руху повинен змінитися. Виявляється, що в теорії відносності збереження моменту кількості руху і теорема про центр мас тісно пов'язані між собою. І якщо невірна теорема, то порушується й закон збереження моменту кількості руху. У всякому разі, загальний закон повинен бути справедливий і для електродинаміки, так що ним можна скористатися для отримання імпульсу поля.Згадаймо ще про два приклади імпульсу в електромагнітному полі. У розд. 26, § 2, ми говорили про порушення закону дії та протидії для двох заряджених частинок, що рухаються перпендикулярно одна одній. Сили, що діють на ці частинки, не врівноважують одна одну, так що дія й протидія виявляються нерівними, а повний імпульс речовини тому повинен змінюватися. Він не зберігається. Але в такій ситуації змінюється й імпульс поля. Якщо ви розглянете величину імпульсу, яку задає вектор Пойнтінга, то вона виявляється непостійною. Однак зміна імпульсу частинки в точності компенсується імпульсом поля, так що повний імпульс частинок і поля все ж таки зберігається.
Другий наш приклад — система заряду й магніту, зображена на фіг. 27.6. На свій жаль, ми виявили, що в цьому прикладі енергія «бігає по колу», але, як нам тепер відомо, потік енергії та імпульсу пропорційні один одному, тому тут ми маємо справу з циркуляцією імпульсу. Але циркуляція імпульсу означає наявність моменту кількості руху. Поле володіє моментом кількості руху. Пам'ятаєте парадокс із соленоїдом і зарядами на диску, описаний у розд. 17, § 4? Здавалося, що при вмиканні струму весь диск повинен почати крутитися.
Залишається загадка: звідки виникає цей момент кількості руху? Відповідь на це питання така: якщо у вас є магнітне поле і якісь заряди, то поле має й момент кількості руху. Він виник ще при створенні самого поля. Коли ж поле вимикається, момент кількості руху віддається назад. Тож диск у цьому парадоксі почне крутитися. Таємничий циркулюючий потік енергії, який спочатку здається чимось незрозумілим, насправді абсолютно необхідний. Адже існує реальний потік імпульсу. Він необхідний для виконання закону збереження моменту кількості руху в цілому.