Конденсатор на великих частотах

А тепер обговоримо детальніше поведінку конденсатора — геометрично ідеального конденсатора,— коли частота стає дедалі вищою. Ми простежимо за зміною його властивостей. (Ми віддали перевагу розгляду конденсатора, а не індуктивності, тому що геометрія пари обкладок значно простіша за геометрію котушки.) Отже, ось конденсатор (фіг. 23.4, а), складається він із двох паралельних кругових обкладок, з'єднаних із зовнішнім генератором парою дротів. Якщо зарядити конденсатор постійним струмом, то на одній з обкладок з'явиться позитивний заряд, на іншій — негативний, а між обкладками буде однорідне електричне поле.
Уявімо тепер, що замість постійного струму до обкладок прикладено змінну напругу низької частоти. (Далі ми побачимо, яка частота «низька», а яка «висока».) Конденсатор, скажімо, з'єднаний з низькочастотним генератором. Коли напруга змінюється, то з верхньої обкладки прибирається позитивний заряд і прикладається негативний. У момент, коли це відбувається, електричне поле зникає, а потім відновлюється, але вже у зворотний бік. Заряд повільно плюскається туди-сюди, і поле встигає за ним. У кожен момент електричне поле однорідне (фіг. 23.4, б); є, щоправда, невеликі крайові ефекти, але ми маємо намір ними знехтувати. Величину електричного поля можна записати у вигляді

де Е₀— стала.
 
Але чи залишиться це справедливим, коли частота зросте? Ні, тому що при русі електричного поля вгору і вниз крізь довільну петлю Г₁ проходить потік електричного поля (фіг. 23.4, а). А, як вам відомо, електричне поле, що змінюється, створює магнітне. Згідно з одним із рівнянь Максвелла, за наявності змінного електричного поля (як у нашому випадку) повинен існувати і криволінійний інтеграл від магнітного поля. Інтеграл від магнітного поля по замкненому колу, помножений на с², дорівнює швидкості зміни в часі електричного потоку крізь поверхню всередині кола (якщо немає жодних струмів):

Отже, скільки ж тут цього магнітного поля? Це дізнатися неважко. Візьмемо як петлю Г₁ коло радіуса r. Із симетрії зрозуміло, що магнітне поле йде так, як показано на рисунку. Тоді інтеграл від В дорівнює 2πrB. А оскільки електричне поле однорідне, то його потік дорівнює просто E, помноженому на πr², на площу кола:

Похідна E за часом у нашому змінному полі дорівнює iωЕ₀е^iωt. Отже, у нашому конденсаторі магнітне поле дорівнює

Іншими словами, магнітне поле теж коливається, а його величина пропорційна ω і r.
 
До якого ефекту це призведе? Коли існує магнітне поле, яке змінюється, то виникнуть наведені електричні поля, і дія конденсатора стане трохи схожою на індуктивність. У міру зростання частоти магнітне поле посилюється: воно пропорційне швидкості зміни E, тобто ω. Імпеданс конденсатора більше не дорівнюватиме просто 1/iωС
 
Будемо збільшувати частоту і подивимося уважніше, що відбувається. У нас є магнітне поле, яке плюскається то туди, то сюди. Але тоді й електричне поле не може, як ми раніше припускали, залишитися однорідним! Якщо є магнітне поле, що змінюється, то за законом Фарадея повинен існувати і контурний інтеграл від електричного поля. Тож якщо існує помітне магнітне поле (а так і буває на високих частотах), то електричне поле не може бути однаковим на всіх відстанях від центра. Воно повинно так змінюватися з r, щоб криволінійний інтеграл від нього міг дорівнювати змінному потоку магнітного поля.
 
Подивимося, чи зможемо ми уявити собі правильне електричне поле. Це можна зробити, підрахувавши «поправку» до того, що було на низьких частотах,— до однорідного поля. Позначимо поле на низьких частотах через Е₁, і нехай воно, як і раніше, дорівнює E₀e^iωt,   а правильне поле  запишемо  у вигляді

де Е₂ — поправка через зміну магнітного поля. За будь-яких ω ми будемо задавати поле в центрі конденсатора у вигляді E₀e^iωt (тим самим визначаючи Е₀), так що в центрі поправки не буде: E₂=0 при r=0.
 
Щоб знайти E₂, можна використати інтегральну форму закону Фарадея

Інтеграли беруться просто, якщо обчислювати їх уздовж лінії Г₂, показаної на фіг. 23.4,б і що йде спершу по осі, потім по радіусу вздовж верхньої обкладки до відстані r, потім вертикально вниз на нижню обкладку і назад до осі по радіусу. Контурний інтеграл від Е₁ вздовж цієї кривої, звісно, дорівнює нулю; отже, в інтеграл робить внесок лише Е₂, і інтеграл дорівнює просто –E₂(r)h, де h — зазор між обкладками. (Ми вважаємо E додатним, коли воно спрямоване вгору.) Це дорівнює швидкості зміни потоку B, який вийде, якщо обчислити інтеграл по заштрихованій площі S усередині Г₂ (фіг. 23.4,б). Потік крізь вертикальну смугу шириною dr дорівнює B(r)hdr, а сумарний потік

Поклавши — ∂/∂t від потоку рівним контурному інтегралу від E₂, отримуємо

Зауважте, що h випало: поля не залежать від величини зазору між обкладками.
 
Використовуючи для B (r) формулу (23.5), отримуємо

Диференціювання за часом дасть нам просто ще один множник iω:

Як і очікувалося, наведене поле прагне звести нанівець початкове електричне поле. Виправлене поле E = E₁+E₂ тоді дорівнює

Електричне поле в конденсаторі більше вже не однорідне; воно має параболічну форму (штрихова лінія на фіг. 23.5). Ви бачите, що наш простенький конденсатор уже трохи ускладнюється.
 
Наші результати можна використати для того, щоб підрахувати імпеданс конденсатора на великих частотах. Знаючи електричне поле, можна підрахувати заряд обкладок і дізнатися, як струм через конденсатор залежить від частоти ω. Але це завдання нас зараз не цікавить. Нас більше цікавить інше: що станеться, якщо частота продовжуватиме підвищуватися, що відбудеться на ще більших частотах? Але хіба ми вже не закінчили наш розрахунок? Ні, тому що раз ми виправили електричне поле, то, отже, магнітне поле, яке ми раніше підрахували, більше вже не годиться. Приблизно магнітне поле (23.5) правильне, але лише в першому наближенні. Позначимо його В₁, а (23.5) перепишемо у вигляді

Згадайте, що це поле з'явилося від зміни Е₁. А правильне магнітне поле створюватиметься зміною сумарного електричного поля Е₁+Е₂. Якщо магнітне поле представити у вигляді B=B₁+B₂, то другий доданок — це просто додаткове поле, створюване полем Е₂. Щоб дізнатися В₂, треба повторити ті самі міркування, які наводилися, коли підраховували В₁: контурний інтеграл від В₂ уздовж кривої Г₁ дорівнює швидкості зміни потоку Е₂ крізь Г₁. Знову вийде те саме рівняння (23.4), але B у ньому треба замінити на В₂, а. Е — на E₂

Оскільки Е₂ з радіусом змінюється, то для отримання його потоку треба інтегрувати по круговій поверхні всередині Г₁. Беручи як елемент площі 2πrdr, напишемо цей інтеграл у вигляді

Отже, В₂ (r) виразиться так:

Підставляючи сюди Е₂(r) з (23.7), отримуємо інтеграл від r³dr, який дорівнює, очевидно, r⁴/4. Наша поправка до магнітного поля виявиться рівною

Але ми ще не закінчили! Раз магнітне поле B зовсім не таке, як ми спершу думали, то ми, отже, неправильно підраховували Е₂. Треба знайти ще поправку до E, яку викликає додаткове магнітне поле В₂. Цю додаткову поправку до електричного поля назвемо Е₃. Вона пов'язана з магнітним полем В₂ так само, як Е₂ була пов'язана з В₁. Можна знову вдатися до того самого співвідношення  (23.6), змінивши в ньому тільки індекси:

Підставляючи сюди наш новий результат (23.11), отримуємо нову поправку до електричного поля:

Якщо тепер наше двічі виправлене поле записати у вигляді E=E₁+E₂+E₃, то ми отримаємо

Зміна електричного поля з радіусом відбувається вже не за параболою, як було на фіг. 23.5; на великих радіусах значення поля лежить трохи вище за криву (Е₁+Е₂).
 
Ми поки що не дійшли до кінця. Нове електричне поле викличе нову поправку до магнітного поля, а заново підправлене магнітне поле викличе потребу в подальшій поправці до електричного і так далі, і так далі. Але в нас уже є всі потрібні формули. Для В₃ можна використати (23.10), змінивши індекси при B і E з 2 на 3.
 
Чергова поправка до електричного поля дорівнює

З цим ступенем точності все електричне поле дається, отже, формулою

де числові коефіцієнти написані в такому вигляді, що стає зрозуміло, як продовжити ряд.
 
Остаточно виходить, що електричне поле між обкладками конденсатора на будь-якій частоті дається добутком E₀e^iωt на нескінченний ряд, який містить тільки змінну ωr/с. Можна, якщо ми захочемо, визначити спеціальну функцію, позначивши її через J₀(x), як нескінченний ряд у дужках формули (23.15):

Тоді шуканий розв'язок є добутком E₀e^iωt на цю функцію при х=ωr/с:

Ми позначили нашу спеціальну функцію через J₀ тому, що, природно, не ми перші з вами взялися за задачу коливань у циліндрі. Ця функція з'явилася дуже давно, і її вже звикли позначати J₀. Вона завжди виникає, коли ви розв'язуєте задачу про хвилі, що мають циліндричну симетрію. Функція J₀ стосовно циліндричних хвиль — це те саме, що косинус стосовно прямолінійних хвиль. Отже, це дуже важлива функція. І винайдена вона дуже давно. Потім з нею пов'язав своє ім'я математик Бессель. Індекс нуль означає, що Бессель винайшов цілу купу різних функцій, а наша — найперша з них.
 
Інші функції Бесселя — J₁, J₂ і т. д.— стосуються циліндричних хвиль, сила яких змінюється при обході навколо осі циліндра.
 
Повністю скориговане електричне поле між обкладками нашого кругового конденсатора, яке дається формулою (23.17), зображене на фіг. 23.5 суцільною лінією. Для не дуже великих частот нашого другого наближення цілком вистачає. Третє наближення було б ще краще — настільки добре, що якби його накреслити, ви б не помітили різниці між ним і суцільною лінією. У наступному параграфі ви побачите, однак, що може знадобитися й весь ряд, щоб вийшов акуратний опис поля на великих радіусах або на великих частотах.