Найпростішим видом нерівномірного руху в класичній механіці є рух рівноприскорений, при якому швидкість тіла зростає пропорційно часу. За таким законом рухається тіло, на яке діє стала сила; прикладом може бути вільне падіння поблизу земної поверхні або рух зарядженої частинки в однорідному електричному полі.
Чи можна сформулювати подібний закон руху в теорії відносності? Ніхто, звісно, не заважає нам і тут назвати рівноприскореним такий рух, при якому швидкість змінюється пропорційно часу. Проте ми відразу стикаємося з тією перешкодою, що рух, рівноприскорений в одній системі відліку, вже не буде таким в іншій системі. Крім того, можна напевно стверджувати, що тіло, на яке діє стала сила, не рухатиметься рівноприскорено, бо інакше воно в певний момент часу досягло б швидкості світла, а потім почало б рухатися ще швидше, що цілком неможливо.
Проте й у теорії відносності можна розглянути рух, багато в чому аналогічний класичному рівноприскореному руху і в певному розумінні найпростіший нерівномірний рух. Закон такого руху дещо складніший, ніж класичний закон рівноприскореного руху; щоб його сформулювати, ми розглянемо такий уявний експеримент.
Уявімо собі, наприклад, ракету, забезпечену достатнім запасом пального і розташовану десь у світовому просторі, так що сили тяжіння на неї практично не діють. Поки двигун ракети не працює, вона рухається рівномірно і прямолінійно; можна вибрати таку систему відліку, в якій ракета буде нерухомою.
Коли ж двигун почне працювати, ракета рухатиметься прискорено. Якщо при цьому режим роботи двигуна лишається незмінним, то можна вважати, що сила, яка діє на ракету, буде сталою. Щоправда, при цьому маса ракети неодмінно зменшуватиметься — за рахунок відпрацьованого пального. Ми, однак, знехтуємо цим, вважаючи, що витрата палива порівняно мала. Постає питання: за яким законом наростатиме швидкість ракети?
Щоб відповісти на це питання, ми спочатку припустимо, що двигун працює не безперервно, а «поштовхами», а в проміжках ракета рухається за інерцією. Припустімо, що всі ці поштовхи — однакової сили й слідують один за одним через рівні проміжки часу.
Швидкість ракети до першого поштовху позначимо через u0; як уже було сказано, можна вибрати таку систему відліку, в якій ракета спочатку нерухома. Тоді
u0 = 0.
Цю систему відліку позначимо через S. Після першого поштовху швидкість ракети зросте на деяку величину α, тож можна написати
u1 = α.
Якою ж буде швидкість після другого поштовху? Очевидно, слід міркувати так. Після першого поштовху ракета рухається рівномірно і прямолінійно. Візьмемо нову систему відліку S*, в якій вона в цей час нерухома. Стан ракети в системі S* нічим не відрізняється від стану в системі S до першого поштовху. Оскільки, згідно з припущенням, режим роботи двигуна лишається сталим, то після другого поштовху ракета в системі S* дістане таку саму швидкість a, яку вона дістала в системі S після першого поштовху. Згідно із законом додавання швидкостей, швидкість у системі S буде
Чи можна сформулювати подібний закон руху в теорії відносності? Ніхто, звісно, не заважає нам і тут назвати рівноприскореним такий рух, при якому швидкість змінюється пропорційно часу. Проте ми відразу стикаємося з тією перешкодою, що рух, рівноприскорений в одній системі відліку, вже не буде таким в іншій системі. Крім того, можна напевно стверджувати, що тіло, на яке діє стала сила, не рухатиметься рівноприскорено, бо інакше воно в певний момент часу досягло б швидкості світла, а потім почало б рухатися ще швидше, що цілком неможливо.
Проте й у теорії відносності можна розглянути рух, багато в чому аналогічний класичному рівноприскореному руху і в певному розумінні найпростіший нерівномірний рух. Закон такого руху дещо складніший, ніж класичний закон рівноприскореного руху; щоб його сформулювати, ми розглянемо такий уявний експеримент.
Уявімо собі, наприклад, ракету, забезпечену достатнім запасом пального і розташовану десь у світовому просторі, так що сили тяжіння на неї практично не діють. Поки двигун ракети не працює, вона рухається рівномірно і прямолінійно; можна вибрати таку систему відліку, в якій ракета буде нерухомою.
Коли ж двигун почне працювати, ракета рухатиметься прискорено. Якщо при цьому режим роботи двигуна лишається незмінним, то можна вважати, що сила, яка діє на ракету, буде сталою. Щоправда, при цьому маса ракети неодмінно зменшуватиметься — за рахунок відпрацьованого пального. Ми, однак, знехтуємо цим, вважаючи, що витрата палива порівняно мала. Постає питання: за яким законом наростатиме швидкість ракети?
Щоб відповісти на це питання, ми спочатку припустимо, що двигун працює не безперервно, а «поштовхами», а в проміжках ракета рухається за інерцією. Припустімо, що всі ці поштовхи — однакової сили й слідують один за одним через рівні проміжки часу.
Швидкість ракети до першого поштовху позначимо через u0; як уже було сказано, можна вибрати таку систему відліку, в якій ракета спочатку нерухома. Тоді
u0 = 0.
Цю систему відліку позначимо через S. Після першого поштовху швидкість ракети зросте на деяку величину α, тож можна написати
u1 = α.
Якою ж буде швидкість після другого поштовху? Очевидно, слід міркувати так. Після першого поштовху ракета рухається рівномірно і прямолінійно. Візьмемо нову систему відліку S*, в якій вона в цей час нерухома. Стан ракети в системі S* нічим не відрізняється від стану в системі S до першого поштовху. Оскільки, згідно з припущенням, режим роботи двигуна лишається сталим, то після другого поштовху ракета в системі S* дістане таку саму швидкість a, яку вона дістала в системі S після першого поштовху. Згідно із законом додавання швидкостей, швидкість у системі S буде
Зображення
Тепер перейдімо до системи відліку S**, в якій ракета перебуває в спокої після другого поштовху; третій поштовх надасть їй у цій системі швидкість α; переходячи знову до основної системи S, дістанемо
Зображення
Цей процес, очевидно, можна продовжувати й далі. Якщо швидкість ракети після n-го поштовху в системі S є un, то після (n+1)-го поштовху вона буде, очевидно, дорівнювати
Зображення
Але це ще не все. Ми домовилися, що поштовхи слідують один за одним через рівні проміжки часу, але нічого не сказали про те, в якій системі відліку треба відмірювати ці проміжки. Після попередніх міркувань досить ясно, що щоразу треба брати ту систему, в якій ракета між двома послідовними поштовхами нерухома. Якщо позначити цей проміжок часу через β, то в системі відліку S проміжок між двома поштовхами дорівнюватиме
Зображення
Отже, задавшись певними значеннями α і β, ми крок за кроком можемо обчислити одне за одним послідовні значення швидкості й моменти поштовхів. Це поштовхоподібне наростання швидкості можна зобразити графічно, якщо по горизонтальній осі відкладати час t, а по вертикальній — швидкість u (рис. 23). Вийде східчаста лінія, причому, згідно із законом додавання швидкостей, висота сходинок поступово спадає, а їхня горизонтальна довжина, відповідно до ефекту сповільнення часу, збільшується. Наша лінія обмежена зверху горизонтальною прямою, проведеною на рівні швидкості світла, до якої вона необмежено наближається.
Якщо зменшити силу кожного поштовху, водночас зробивши їх частішими, так, щоб відношення приросту швидкості α до проміжку між поштовхами β лишилося тим самим, то нова східчаста лінія матиме дрібніші сходинки (рис. 24). Таким чином, ми можемо будувати дедалі дрібносходинковіші лінії. У границі ми дістанемо вже гладку криву, що відповідає безперервній роботі двигуна
Якщо зменшити силу кожного поштовху, водночас зробивши їх частішими, так, щоб відношення приросту швидкості α до проміжку між поштовхами β лишилося тим самим, то нова східчаста лінія матиме дрібніші сходинки (рис. 24). Таким чином, ми можемо будувати дедалі дрібносходинковіші лінії. У границі ми дістанемо вже гладку криву, що відповідає безперервній роботі двигуна
Зображення
(рис. 25). Її рівняння можна дістати методами інтегрального числення. Воно, як виявляється, має вигляд
Зображення
де величина a дорівнює відношенню α/β, яке, згідно з умовою, в процесі граничного переходу лишалося сталим. Його можна назвати власним прискоренням ракети.
Зображення
Наведемо коротке виведення цього рівняння. З написаного вище співвідношення між un і un+1 маємо
Змінні розділено. Після інтегрування матимемо
Змінні розділено. Після інтегрування матимемо
Зображення
Зображення
Поклавши сталу інтегрування t0 рівною нулю і розв'язавши одержане рівняння відносно u, приходимо до зазначеної формули. Неважко переконатися, що при t→∞ вона дає u→c.
Поки добуток at малий порівняно зі швидкістю світла, знаменник нашої формули близький до одиниці, і швидкість наростає майже пропорційно часу, тобто за класичним законом. Але в міру зростання швидкості, а особливо при наближенні її до швидкості світла, вона наростає дедалі повільніше через зростання знаменника. Про це слід було б пам'ятати багатьом авторам науково-фантастичних оповідань і романів, які нерідко надто легко переносять своїх героїв у «світ Ейнштейна».
Яку ж відстань пролітає ракета, рухаючись за таким законом? Відповідь на це питання можна дати знову-таки тільки за допомогою інтегрального числення. Виявляється, що якщо ракета, як ми припускали, на початку руху була нерухома, то за час t (мається на увазі координатний час) вона віддалиться від точки старту на відстань
Поки добуток at малий порівняно зі швидкістю світла, знаменник нашої формули близький до одиниці, і швидкість наростає майже пропорційно часу, тобто за класичним законом. Але в міру зростання швидкості, а особливо при наближенні її до швидкості світла, вона наростає дедалі повільніше через зростання знаменника. Про це слід було б пам'ятати багатьом авторам науково-фантастичних оповідань і романів, які нерідко надто легко переносять своїх героїв у «світ Ейнштейна».
Яку ж відстань пролітає ракета, рухаючись за таким законом? Відповідь на це питання можна дати знову-таки тільки за допомогою інтегрального числення. Виявляється, що якщо ракета, як ми припускали, на початку руху була нерухома, то за час t (мається на увазі координатний час) вона віддалиться від точки старту на відстаньЗображення
Це рівняння дає нам змогу нанести світову лінію ракети на площину подій. Воно є рівнянням гіперболи (рис. 26), що необмежено наближається до світлової лінії. Зважаючи на це, такий рух часто називають гіперболічним; ми, однак, і надалі називатимемо його рівноприскореним рухом, оскільки на цю назву ніякий інший рух претендувати не може.
Для виведення цього рівняння треба взяти інтеграл
Для виведення цього рівняння треба взяти інтеграл
Зображення
Цікаве також питання про власний час ракети. Шляхом відповідного інтегрування можна показати, що якщо годинник у ракеті й на Землі в момент старту показує нуль, то в момент t координатного «земного» часу годинник у ракеті покаже час
Зображення
де знаком ln позначено натуральний логарифм, тобто логарифм при основі e=2,71828...
Ця формула виходить інтегруванням диференціала власного часу:
Ця формула виходить інтегруванням диференціала власного часу:
Зображення
Результат можна виразити таким чином через гіперболічний синус:
a/c * t = sh a/c * τ
На цій «різниці часів» побудовані, як відомо, сюжети багатьох науково-фантастичних оповідань і романів. Герой вирушає в космічний рейс, літає з величезними швидкостями рік чи два й повертається на Землю, де за цей час минули десятки років. Рідні й близькі постаріли або померли. Приголомшений герой оплакує їх, а потім... потім усе залежить від фантазії автора. Слів нема, іноді ці оповідання бувають досить цікаві; шкода тільки, що нерідко все враження псується через грубі помилки авторів, які часто вельми туманно уявляють собі питання про власний час і беруть різні цифри прямо зі стелі. Щоб скласти собі уявлення про справжній стан речей, спробуємо розрахувати можливий рух ракети і відповідну різницю часів.
Одна з найближчих до Землі зір —α Центавра — перебуває на відстані 4,28 світлового року, що становить 4,050 • 1013 км, бо світло за рік проходить 9,461 • 1012км. Припустімо, що ми бажаємо полетіти до цієї зорі й повернутися назад на Землю. Для економії часу рухатимемося весь час із прискоренням (питання про технічні можливості такого польоту ми залишаємо осторонь). Щоб не перевантажувати організм, прискорення космічного корабля підтримуватимемо рівним прискоренню сили тяжіння на Землі, тобто круглим рахунком 10 м/с2. Скільки часу триватиме політ?
Увесь шлях можна розбити на чотири частини: початковий розгін протягом першої половини шляху, гальмування до повної зупинки, розгін у зворотному напрямку і гальмування аж до спуску на Землю. Усі умови руху на цих чотирьох етапах абсолютно тотожні, тож досить розглянути лише одну чверть шляху, учетверивши потім результати.
Якщо ми позначимо величину √(1 + a2/c2 * t2) через μ, то формули для швидкості, відстані й власного часу при рівноприскореному русі набувають вигляду
a/c * t = sh a/c * τ
На цій «різниці часів» побудовані, як відомо, сюжети багатьох науково-фантастичних оповідань і романів. Герой вирушає в космічний рейс, літає з величезними швидкостями рік чи два й повертається на Землю, де за цей час минули десятки років. Рідні й близькі постаріли або померли. Приголомшений герой оплакує їх, а потім... потім усе залежить від фантазії автора. Слів нема, іноді ці оповідання бувають досить цікаві; шкода тільки, що нерідко все враження псується через грубі помилки авторів, які часто вельми туманно уявляють собі питання про власний час і беруть різні цифри прямо зі стелі. Щоб скласти собі уявлення про справжній стан речей, спробуємо розрахувати можливий рух ракети і відповідну різницю часів.
Одна з найближчих до Землі зір —α Центавра — перебуває на відстані 4,28 світлового року, що становить 4,050 • 1013 км, бо світло за рік проходить 9,461 • 1012км. Припустімо, що ми бажаємо полетіти до цієї зорі й повернутися назад на Землю. Для економії часу рухатимемося весь час із прискоренням (питання про технічні можливості такого польоту ми залишаємо осторонь). Щоб не перевантажувати організм, прискорення космічного корабля підтримуватимемо рівним прискоренню сили тяжіння на Землі, тобто круглим рахунком 10 м/с2. Скільки часу триватиме політ?
Увесь шлях можна розбити на чотири частини: початковий розгін протягом першої половини шляху, гальмування до повної зупинки, розгін у зворотному напрямку і гальмування аж до спуску на Землю. Усі умови руху на цих чотирьох етапах абсолютно тотожні, тож досить розглянути лише одну чверть шляху, учетверивши потім результати.
Якщо ми позначимо величину √(1 + a2/c2 * t2) через μ, то формули для швидкості, відстані й власного часу при рівноприскореному русі набувають вигляду
Зображення
Протягом чверті шляху ракета покриває відстань 2,025*1013 км. Оскільки a=0,01 км/с2, то — a/c2*x = 2,250 і μ=3,250. Звідси, як неважко підрахувати, t=9,277*107 с, що становить приблизно 2 роки 11 місяців. Це — координатний, земний час. Таким чином, увесь шлях туди й назад триватиме з погляду жителів Землі близько 11 років 9 місяців.
Ми маємо, далі, a/c*t = 3,092, μ + a/c*t = 6,342. Узявши таблицю натуральних логарифмів, знайдемо, що ln (μ + a/c*t) = 1,847, а оскільки (c/a)=3*107, то τ = 5,542*107 с, тобто приблизно 1 рік 9 місяців. Це — уже власний час мандрівника. Таким чином, для нього вся подорож триватиме близько 7 років, і він виграє в часі проти жителів Землі 4 роки 9 місяців. Різниця досить помітна, хоча, мабуть, і не здатна вразити уяву настільки, наскільки цього хотіли б багато авторів.
Цікаво, що в один бік ракета за своїм власним часом летітиме 3,51 року, тоді як світло, як ми зазначили з самого початку, витрачає на той самий шлях 4,28 року. Водночас ракета рухається, звісно, завжди повільніше за світло. Читач розуміє, звісно, що тут немає жодної суперечності — ми порівнюємо два різні часи, власний і координатний. До речі, максимальну швидкість ракети легко підрахувати — вона становить 2,854*105 км/с, або 0,9513 швидкості світла.
За бажання читач може тепер розрахувати й інші космічні маршрути. Ділянки, де ракета рухається за інерцією, труднощів, звісно, не становлять. Не зайве підкреслити, що всі наші формули стосуються лише прямолінійного руху.
Ми маємо, далі, a/c*t = 3,092, μ + a/c*t = 6,342. Узявши таблицю натуральних логарифмів, знайдемо, що ln (μ + a/c*t) = 1,847, а оскільки (c/a)=3*107, то τ = 5,542*107 с, тобто приблизно 1 рік 9 місяців. Це — уже власний час мандрівника. Таким чином, для нього вся подорож триватиме близько 7 років, і він виграє в часі проти жителів Землі 4 роки 9 місяців. Різниця досить помітна, хоча, мабуть, і не здатна вразити уяву настільки, наскільки цього хотіли б багато авторів.
Цікаво, що в один бік ракета за своїм власним часом летітиме 3,51 року, тоді як світло, як ми зазначили з самого початку, витрачає на той самий шлях 4,28 року. Водночас ракета рухається, звісно, завжди повільніше за світло. Читач розуміє, звісно, що тут немає жодної суперечності — ми порівнюємо два різні часи, власний і координатний. До речі, максимальну швидкість ракети легко підрахувати — вона становить 2,854*105 км/с, або 0,9513 швидкості світла.
За бажання читач може тепер розрахувати й інші космічні маршрути. Ділянки, де ракета рухається за інерцією, труднощів, звісно, не становлять. Не зайве підкреслити, що всі наші формули стосуються лише прямолінійного руху.