Як уже зазначалося, загальну теорію відносності створив Ейнштейн у зв'язку зі спробами побудувати релятивістську теорію тяжіння. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона з його далекодією та миттєвою передачею сили несумісний з висновками спеціальної теорії відносності. Потрібно було змінити його формулювання так, щоб він, не переставши відповідати всьому наявному фізичному й астрономічному досліду, водночас задовольняв вимоги теорії відносності.
Один із можливих шляхів до цього напрошувався сам собою. За своєю формою закон тяжіння Ньютона дуже близький до основного закону електрики — закону Кулона. І там, і тут сила взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані. Використавши цю аналогію, можна було сподіватися на успіх. Такі спроби справді робили деякі фізики; вони показали, що релятивістське узагальнення закону Ньютона, в усякому разі, можливе. Проте сам Ейнштейн пішов іншим шляхом.
Вихідним пунктом теорії Ейнштейна править основна властивість сил тяжіння, яка полягає в тому, що всі тіла (у порожнечі) падають з однаковим прискоренням.
Цей закон установив ще Галілей, здійснивши з цією метою досліди зі скидання різних тіл із вершини вежі. Багато читачів, мабуть, бачили ефектний дослід, коли в трубці, з якої відкачано повітря, шматочок свинцю й пушинка падають зовсім однаково, не відстаючи одне від одного. Ми всі так звикли до цього простого закону, що готові вважати його чимось само собою зрозумілим і таким, що не потребує особливих пояснень.
Багато фізиків, однак, розуміли, що цей закон не такий уже й самоочевидний. Тут стикаються дві зовсім різні властивості матеріальних тіл.
Падінням тіл керують два фізичні закони — другий закон Ньютона і закон всесвітнього тяжіння. Перший із них стверджує, що прискорення тіла пропорційне силі, яка на нього діє; коефіцієнтом пропорційності править маса, яка внаслідок цього є мірою інерції тіла. Закон всесвітнього тяжіння каже, що сила, з якою тіло притягується Землею, пропорційна його масі. Тут маса виступає вже в зовсім іншій ролі — в ролі міри здатності тіла до взаємного притягання з іншими тілами. Для більшої ясності тому говорять про дві маси — масу інертну і масу гравітаційну. Вага тіла пропорційна його гравітаційній масі. Відношення ваги до прискорення пропорційне інертній масі. З того факту, що тяжіння надає всім тілам однакових прискорень, негайно випливає, що інертна маса будь-якого тіла пропорційна його гравітаційній масі.
У чому причина такого разючого збігу? Втім, можливо, цей закон лише наближений? Чи не можна знайти тіла, в яких гравітаційна та інертна маси розподілені в різних пропорціях?
Досліди Галілея з сучасного погляду були досить грубими. Точніші експерименти провів Ньютон. Він порівнював між собою коливання маятників однакових розмірів, але з вантажами з різних речовин — золота, срібла, свинцю, скла, піску, солі, дерева, води і навіть пшениці. Найменше відхилення від пропорційності між гравітаційною та інертною масою відразу виявилося б за різницею в періодах коливань цих маятників. Проте хоча точність вимірювань Ньютона була досить високою — порядку 1/1000, жодної різниці йому виявити не вдалося.
Дуже точні досліди в цьому ж напрямку були поставлені наприкінці минулого століття угорським фізиком Етвешем, який застосував для цієї мети торсійні терези. Задум дослідів полягав у такому. Як відомо, всі тіла на земній поверхні перебувають під дією двох сил — сили тяжіння і відцентрової сили, що виникає внаслідок обертання Землі. Перша сила діє на гравітаційну масу, друга — на інертну. Сила тяжіння напрямлена до центра Землі, тоді як відцентрова сила перпендикулярна до осі її обертання аа (рис. 36). На екваторі ці дві сили напрямлені вздовж однієї прямої, на полюсах відцентрова сила дорівнює нулю. В усіх решті точок земної поверхні обидві сили, додаючись за правилом паралелограма, дають рівнодійну, напрямлену трохи вбік від центра Землі. Неважко зрозуміти, що коли в двох тілах гравітаційна та інертна маси розподілені по-різному, то й ці рівнодійні матимуть трохи різні напрямки. Якщо ми зрівноважимо два таких тіла на коромислі, підвішеному на тонкій нитці, то різниця напрямків сил змусить коромисло повернутися і закрутити нитку. Точність цих дослідів була такою, що дозволяла виявити диспропорцію гравітаційної та інертної мас, яка становить усього 1/5000000 їхньої частки. Було випробувано найрізноманітніші речовини, але жодних відхилень виявити не вдалося.
Як ми знаємо, природа маси може бути різною — це може бути маса спокою «елементарних» частинок, або маса, що відповідає енергії їхньої взаємодії, або маса електромагнітного поля. Досліди з радіоактивними речовинами, в яких співвідношення між цими видами маси безперервно змінюється, показали, що й у них розбіжностей між гравітаційною та інертною масами не виявляється.
Доводиться, отже, дійти висновку, що закон пропорційності гравітаційної та інертної маси є всезагальним фізичним законом, справедливим для всіх тіл, незалежно від їхньої природи. Якщо вимірювати обидві маси в одних одиницях, то їхні числові значення для кожного тіла збігатимуться. Тому можна говорити не про пропорційність, а про рівність обох мас.
Дослідний факт рівності гравітаційної та інертної мас, піднесений до рангу універсального фізичного принципу, тягне за собою цілу низку цікавих і важливих наслідків. Розгляньмо якусь фізичну систему, замкнену для певності в непроникний ящик. Піднімімо цей ящик на достатню висоту над земною поверхнею й дозвольмо йому вільно падати. Оскільки сила тяжіння надає всім тілам однакових прискорень, то всі тіла всередині ящика рухатимуться під дією тяжіння цілком однаково, так само, як і сам ящик. Тим самим жодних взаємодій, зумовлених силами земного тяжіння, між цими тілами виникнути не може. Справа відбуватиметься так, ніби всередині ящика сила тяжіння зникла. Якщо ми перейдемо до системи відліку, в якій ящик нерухомий, то всередині нього жодного тяжіння не виявиться. Саме це має місце, наприклад, усередині штучних супутників Землі: під час їхнього вільного польоту ні розташовані там прилади, ні живі істоти не відчувають сили земного притягання. Якщо ми якимось чином перенесемо нашу фізичну систему в таке місце простору, де сили тяжіння насправді відсутні, то всі явища в ній відбуватимуться достоту так само, як і під час вільного падіння.
З іншого боку, розгляньмо ту саму фізичну систему, але вже в нерухомому стані на поверхні Землі. Тоді сила тяжіння всередині ящика виявлятиметься повністю з усіма наслідками, що звідси випливають. Фізичні умови всередині ящика будуть зовсім іншими, і всі процеси відбуватимуться по-іншому. Тепер перенесімо ящик знову кудись подалі від Землі й Сонця, щоб сила тяжіння на нього не діяла, але надаймо йому прискорення, достоту рівне прискоренню сили тяжіння поблизу земної поверхні. Що станеться? Всередині ящика з'являться сили інерції, які, подібно до сил тяжіння, надаватимуть усім тілам однакових прискорень (у системі відліку, де ящик нерухомий). Отже, фізичні умови всередині ящика будуть достоту такими самими, як і тоді, коли він стояв на Землі.
Виходить, таким чином, що сили тяжіння фізично еквівалентні силам інерції. І ті, й інші залежать від вибору системи відліку; зокрема, цю систему можна вибрати так, що сили тяжіння цілком зникають. Цю обставину, тісно пов'язану, як ясно з попереднього, з рівністю гравітаційної та інертної маси, Ейнштейн назвав принципом еквівалентності і поклав його в основу загальної теорії відносності.
Тут, щоправда, необхідно зробити істотне застереження. Ми можемо «знищити» сили тяжіння всередині даної фізичної системи лише в тому випадку, якщо ця система не дуже велика. Адже якщо розглянутий нами ящик має розміри порядку десятків кілометрів, то всередині нього, коли він стоїть на земній поверхні, виявляться неоднорідності поля тяжіння. Сила тяжіння, як добре відомо, спадає з висотою; крім того, напрямки сил тяжіння не паралельні, а сходяться в центрі Землі. Таке поле тяжіння вже не можна знищити жодним вибором системи відліку, бо, очевидно, за будь-якого поступального руху ящика сили інерції всередині нього неодмінно будуть паралельними й усюди однаковими за своєю величиною. Так само, за відсутності «справжнього» тяжіння жодним прискореним рухом ящика не вдасться повністю імітувати реальне поле земного тяжіння. Таким чином, принцип еквівалентності має місцевий, або, як кажуть, локальний характер — він справедливий лише для досить малих (точніше — лише для нескінченно малих) областей простору.
Принцип еквівалентності припускає наочну геометричну аналогію. Розгляньмо якусь криву поверхню, наприклад сферу. У вступі ми вже з'ясували, що внутрішня геометрія такої поверхні не буде евклідовою. Проте якщо ми обмежимося досить малою ділянкою поверхні, то відхилення від евклідової геометрії також будуть малі. Проведімо в якійсь точці поверхні дотичну площину. Тоді малу ділянку поверхні ми без помітних спотворень можемо «перенести» на прилеглу ділянку площини; для цього можна, наприклад, спроектувати її на цю площину з центра сфери (або якоїсь іншої точки). Як відомо, саме так і чинять у картографії; тому карти порівняно невеликих частин земної поверхні досить точні — вони не містять помітних відхилень від оригіналу. Що ж до карт, які зображують цілі континенти чи навіть усю земну поверхню, то спотворення тут неминучі. Зокрема, на таких картах неможливо витримати скрізь однаковий масштаб.
Є підстави назвати простір — час спеціальної теорії відносності плоским. Вибираючи на підставі принципу еквівалентності систему відліку, в якій поле тяжіння в даній точці перетворюється на нуль, ми тим самим ніби проводимо в цій точці «дотичну площину» до того простору—часу, який є за наявності поля тяжіння. Неможливість вибрати систему відліку, в якій поле тяжіння зникло б одразу в усьому просторі, означає, що в полі тяжіння простір — час є «кривим». Слід мати на увазі, що вираз «кривина простору —часу» нічого іншого не означає. Щоправда, аналогія з геометрією тут досить глибока, але аналогія завжди лишається аналогією.
Принцип еквівалентності не є прямим логічним наслідком закону рівності гравітаційної та інертної мас. З цього закону випливає лише, що всі тіла в полі тяжіння рухаються однаково; принцип же еквівалентності поширюється на всі фізичні процеси, зокрема й на такі, що не зводяться до механічного руху. З іншого боку, цей принцип не пов'язаний виключно з теорією відносності. Для його формулювання не потрібно припускати ні сталості швидкості світла, ні будь-яких інших фактів і висновків теорії відносності. Принцип еквівалентності слід розглядати як дуже загальний фізичний принцип, що є узагальненням результатів досліду.
Слід зазначити, що принцип еквівалентності приймають беззастережно не всі фізики; зокрема, трапляються спроби побудувати загальну теорію відносності на основі лише закону рівності гравітаційної та інертної мас. Проте ці спроби не можна визнати вдалими. Закон рівності інертної та гравітаційної мас дозволяє побудувати лише кінематику теорії тяжіння і вивести закони механічного руху. Що ж до глибших наслідків загальної теорії відносності, то закон рівності мас тут безсилий. Тому автори цих спроб змушені так чи інакше, явно або мовчки, послуговуватися і загальним принципом еквівалентності.
Як же застосовується принцип еквівалентності в теорії тяжіння? Побудувати теорію тяжіння — це насамперед означає вказати, як у цьому полі поводитиметься той чи інший фізичний об'єкт. Наприклад, нам добре відомі закони електродинаміки за умов відсутності поля тяжіння — вони задаються рівняннями Максвелла. Ми вміємо також формулювати їх у будь-якій неінерціальній системі відліку; усе, що треба знати для цього, — це вираз інтервалу власного часу. Питається, як написати рівняння Максвелла в полі тяжіння?
Розгляньмо, наприклад, електромагнітне поле поблизу земної поверхні, тобто в полі тяжіння. Виділімо досить малий об'єм простору, так, щоб можна було застосувати принцип еквівалентності. Введімо таку систему відліку, в якій поле тяжіння всередині виділеного об'єму зникає. Для цього можна пов'язати її з яким-небудь вільно падаючим тілом, що пролітає в даний момент через нашу ділянку простору. Оскільки поля тяжіння тепер немає, то наша система відліку за своїми властивостями не відрізнятиметься від інерціальної, і для неї справедливі всі висновки спеціальної теорії відносності; зокрема, ми зможемо сформулювати там і рівняння Максвелла. Так само для кожного малого об'єму простору ми введемо свою місцеву інерціальну систему відліку, в якій і сформулюємо шуканий фізичний закон. Але нам потрібно мати формулювання рівнянь Максвелла не в цій множині місцевих систем відліку, а в якійсь загальній системі, що охоплює одразу весь простір навколо земної кулі або, в усякому разі, досить велику область цього простору. Для цього ми повинні в кожному малому об'ємі перейти від місцевої інерціальної системи відліку до цієї єдиної загальної системи; це буде рівносильно переходу до деякої неінерціальної системи відліку, а таку операцію ми робити вміємо. Таким чином, ми й отримаємо формулювання законів електромагнітного поля за наявності тяжіння. Зауважимо, що водночас ми отримуємо і формулу для власного часу в цій загальній системі відліку.
Цю програму й здійснив Ейнштейн у низці праць із загальної теорії відносності. При цьому він отримав ряд важливих і цікавих результатів. Деякі з них ми зараз розглянемо.
Ми знаємо, що всі фізичні закони, зокрема й закони електродинаміки, припускають загальноковаріантне формулювання, придатне для будь-якої, інерціальної чи неінерціальної, системи відліку. Властивості системи відліку повністю описуються формулою власного часу; тому, наприклад, у загальні рівняння Максвелла входять і коефіцієнти формули власного часу. І ось виявляється, з принципу еквівалентності випливає, що ці загальні рівняння лишаються справедливими й у будь-якому полі тяжіння — для цього треба лише підставити в них коефіцієнти формули власного часу, що відповідає даному полю тяжіння. Тому, власне кажучи, потреба в нових формулюваннях фізичних законів відпадає: якщо ми вже зуміли написати їх у загальноковаріантному вигляді, то вони автоматично поширюються на будь-які поля тяжіння. Саме тут і позначається вся сила принципу еквівалентності.
І саме тут деякі фізики припускаються логічної помилки. Прагнучи обійтися без принципу еквівалентності, вони просто переписують загальноковаріантну форму того чи іншого фізичного закону, виведеного в рамках спеціальної теорії відносності, і без дальших викрутасів вважають її дійсною також і в полі тяжіння. Проте цей «фокус» потребує обґрунтування. А воно без принципу еквівалентності неможливе.
Необхідно ще сказати кілька слів з приводу назви загальна теорія відносності. Її неодноразово критикували; і справді, її слід визнати вкрай невдалою. Важко навіть зрозуміти, що, власне, хотів виразити Ейнштейн цією назвою. Ще для спеціальної теорії відносності назва певною мірою виправдана, бо в її основі справді лежить принцип відносності Галілея.
Але жодного принципу відносності, загальнішого, ніж принцип відносності Галілея, фізика не знає. Фізичні явища в системах, що рухаються з прискоренням, відбуваються інакше, ніж у системах, що рухаються рівномірно й прямолінійно. Можна, щоправда, сформулювати фізичні закони в загальноковаріантному вигляді, але це аж ніяк не знищує якісної різниці між прискореним і рівномірним рухом.
Мабуть, саме можливість коваріантного формулювання фізичних законів і мав на увазі Ейнштейн. Проте цей принцип не має фізичного змісту. З часів Лагранжа математична фізика навчилася формулювати будь-які фізичні співвідношення в будь-яких системах відліку і в будь-яких координатах; це — чисто математична задача. Безумовно, математичні ідеї та методи відіграють у теорії відносності величезну роль; без оволодіння ними зрозуміти теорію відносності до кінця неможливо. Але все ж це — теорія фізична, і дивно надавати їй «математичну» назву.
З іншого боку, називати загальну теорію відносності теорією тяжіння, як дехто пропонує, також видається неправильним. Правда, що вона виникла на основі розроблення релятивістської теорії тяжіння, так само, як спеціальна теорія відносності виникла з електродинаміки. Але і та, й інша давно переросли ці первісні рамки. Ніхто не пропонує називати спеціальну теорію відносності електродинамікою. Так само неправомірно зводити загальну теорію відносності тільки до теорії тяжіння.
Один із можливих шляхів до цього напрошувався сам собою. За своєю формою закон тяжіння Ньютона дуже близький до основного закону електрики — закону Кулона. І там, і тут сила взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані. Використавши цю аналогію, можна було сподіватися на успіх. Такі спроби справді робили деякі фізики; вони показали, що релятивістське узагальнення закону Ньютона, в усякому разі, можливе. Проте сам Ейнштейн пішов іншим шляхом.
Вихідним пунктом теорії Ейнштейна править основна властивість сил тяжіння, яка полягає в тому, що всі тіла (у порожнечі) падають з однаковим прискоренням.
Цей закон установив ще Галілей, здійснивши з цією метою досліди зі скидання різних тіл із вершини вежі. Багато читачів, мабуть, бачили ефектний дослід, коли в трубці, з якої відкачано повітря, шматочок свинцю й пушинка падають зовсім однаково, не відстаючи одне від одного. Ми всі так звикли до цього простого закону, що готові вважати його чимось само собою зрозумілим і таким, що не потребує особливих пояснень.
Багато фізиків, однак, розуміли, що цей закон не такий уже й самоочевидний. Тут стикаються дві зовсім різні властивості матеріальних тіл.
Падінням тіл керують два фізичні закони — другий закон Ньютона і закон всесвітнього тяжіння. Перший із них стверджує, що прискорення тіла пропорційне силі, яка на нього діє; коефіцієнтом пропорційності править маса, яка внаслідок цього є мірою інерції тіла. Закон всесвітнього тяжіння каже, що сила, з якою тіло притягується Землею, пропорційна його масі. Тут маса виступає вже в зовсім іншій ролі — в ролі міри здатності тіла до взаємного притягання з іншими тілами. Для більшої ясності тому говорять про дві маси — масу інертну і масу гравітаційну. Вага тіла пропорційна його гравітаційній масі. Відношення ваги до прискорення пропорційне інертній масі. З того факту, що тяжіння надає всім тілам однакових прискорень, негайно випливає, що інертна маса будь-якого тіла пропорційна його гравітаційній масі.
У чому причина такого разючого збігу? Втім, можливо, цей закон лише наближений? Чи не можна знайти тіла, в яких гравітаційна та інертна маси розподілені в різних пропорціях?
Досліди Галілея з сучасного погляду були досить грубими. Точніші експерименти провів Ньютон. Він порівнював між собою коливання маятників однакових розмірів, але з вантажами з різних речовин — золота, срібла, свинцю, скла, піску, солі, дерева, води і навіть пшениці. Найменше відхилення від пропорційності між гравітаційною та інертною масою відразу виявилося б за різницею в періодах коливань цих маятників. Проте хоча точність вимірювань Ньютона була досить високою — порядку 1/1000, жодної різниці йому виявити не вдалося.
Дуже точні досліди в цьому ж напрямку були поставлені наприкінці минулого століття угорським фізиком Етвешем, який застосував для цієї мети торсійні терези. Задум дослідів полягав у такому. Як відомо, всі тіла на земній поверхні перебувають під дією двох сил — сили тяжіння і відцентрової сили, що виникає внаслідок обертання Землі. Перша сила діє на гравітаційну масу, друга — на інертну. Сила тяжіння напрямлена до центра Землі, тоді як відцентрова сила перпендикулярна до осі її обертання аа (рис. 36). На екваторі ці дві сили напрямлені вздовж однієї прямої, на полюсах відцентрова сила дорівнює нулю. В усіх решті точок земної поверхні обидві сили, додаючись за правилом паралелограма, дають рівнодійну, напрямлену трохи вбік від центра Землі. Неважко зрозуміти, що коли в двох тілах гравітаційна та інертна маси розподілені по-різному, то й ці рівнодійні матимуть трохи різні напрямки. Якщо ми зрівноважимо два таких тіла на коромислі, підвішеному на тонкій нитці, то різниця напрямків сил змусить коромисло повернутися і закрутити нитку. Точність цих дослідів була такою, що дозволяла виявити диспропорцію гравітаційної та інертної мас, яка становить усього 1/5000000 їхньої частки. Було випробувано найрізноманітніші речовини, але жодних відхилень виявити не вдалося.
Як ми знаємо, природа маси може бути різною — це може бути маса спокою «елементарних» частинок, або маса, що відповідає енергії їхньої взаємодії, або маса електромагнітного поля. Досліди з радіоактивними речовинами, в яких співвідношення між цими видами маси безперервно змінюється, показали, що й у них розбіжностей між гравітаційною та інертною масами не виявляється.
Доводиться, отже, дійти висновку, що закон пропорційності гравітаційної та інертної маси є всезагальним фізичним законом, справедливим для всіх тіл, незалежно від їхньої природи. Якщо вимірювати обидві маси в одних одиницях, то їхні числові значення для кожного тіла збігатимуться. Тому можна говорити не про пропорційність, а про рівність обох мас.
Дослідний факт рівності гравітаційної та інертної мас, піднесений до рангу універсального фізичного принципу, тягне за собою цілу низку цікавих і важливих наслідків. Розгляньмо якусь фізичну систему, замкнену для певності в непроникний ящик. Піднімімо цей ящик на достатню висоту над земною поверхнею й дозвольмо йому вільно падати. Оскільки сила тяжіння надає всім тілам однакових прискорень, то всі тіла всередині ящика рухатимуться під дією тяжіння цілком однаково, так само, як і сам ящик. Тим самим жодних взаємодій, зумовлених силами земного тяжіння, між цими тілами виникнути не може. Справа відбуватиметься так, ніби всередині ящика сила тяжіння зникла. Якщо ми перейдемо до системи відліку, в якій ящик нерухомий, то всередині нього жодного тяжіння не виявиться. Саме це має місце, наприклад, усередині штучних супутників Землі: під час їхнього вільного польоту ні розташовані там прилади, ні живі істоти не відчувають сили земного притягання. Якщо ми якимось чином перенесемо нашу фізичну систему в таке місце простору, де сили тяжіння насправді відсутні, то всі явища в ній відбуватимуться достоту так само, як і під час вільного падіння.
З іншого боку, розгляньмо ту саму фізичну систему, але вже в нерухомому стані на поверхні Землі. Тоді сила тяжіння всередині ящика виявлятиметься повністю з усіма наслідками, що звідси випливають. Фізичні умови всередині ящика будуть зовсім іншими, і всі процеси відбуватимуться по-іншому. Тепер перенесімо ящик знову кудись подалі від Землі й Сонця, щоб сила тяжіння на нього не діяла, але надаймо йому прискорення, достоту рівне прискоренню сили тяжіння поблизу земної поверхні. Що станеться? Всередині ящика з'являться сили інерції, які, подібно до сил тяжіння, надаватимуть усім тілам однакових прискорень (у системі відліку, де ящик нерухомий). Отже, фізичні умови всередині ящика будуть достоту такими самими, як і тоді, коли він стояв на Землі.
Виходить, таким чином, що сили тяжіння фізично еквівалентні силам інерції. І ті, й інші залежать від вибору системи відліку; зокрема, цю систему можна вибрати так, що сили тяжіння цілком зникають. Цю обставину, тісно пов'язану, як ясно з попереднього, з рівністю гравітаційної та інертної маси, Ейнштейн назвав принципом еквівалентності і поклав його в основу загальної теорії відносності.
Тут, щоправда, необхідно зробити істотне застереження. Ми можемо «знищити» сили тяжіння всередині даної фізичної системи лише в тому випадку, якщо ця система не дуже велика. Адже якщо розглянутий нами ящик має розміри порядку десятків кілометрів, то всередині нього, коли він стоїть на земній поверхні, виявляться неоднорідності поля тяжіння. Сила тяжіння, як добре відомо, спадає з висотою; крім того, напрямки сил тяжіння не паралельні, а сходяться в центрі Землі. Таке поле тяжіння вже не можна знищити жодним вибором системи відліку, бо, очевидно, за будь-якого поступального руху ящика сили інерції всередині нього неодмінно будуть паралельними й усюди однаковими за своєю величиною. Так само, за відсутності «справжнього» тяжіння жодним прискореним рухом ящика не вдасться повністю імітувати реальне поле земного тяжіння. Таким чином, принцип еквівалентності має місцевий, або, як кажуть, локальний характер — він справедливий лише для досить малих (точніше — лише для нескінченно малих) областей простору.
Принцип еквівалентності припускає наочну геометричну аналогію. Розгляньмо якусь криву поверхню, наприклад сферу. У вступі ми вже з'ясували, що внутрішня геометрія такої поверхні не буде евклідовою. Проте якщо ми обмежимося досить малою ділянкою поверхні, то відхилення від евклідової геометрії також будуть малі. Проведімо в якійсь точці поверхні дотичну площину. Тоді малу ділянку поверхні ми без помітних спотворень можемо «перенести» на прилеглу ділянку площини; для цього можна, наприклад, спроектувати її на цю площину з центра сфери (або якоїсь іншої точки). Як відомо, саме так і чинять у картографії; тому карти порівняно невеликих частин земної поверхні досить точні — вони не містять помітних відхилень від оригіналу. Що ж до карт, які зображують цілі континенти чи навіть усю земну поверхню, то спотворення тут неминучі. Зокрема, на таких картах неможливо витримати скрізь однаковий масштаб.
Є підстави назвати простір — час спеціальної теорії відносності плоским. Вибираючи на підставі принципу еквівалентності систему відліку, в якій поле тяжіння в даній точці перетворюється на нуль, ми тим самим ніби проводимо в цій точці «дотичну площину» до того простору—часу, який є за наявності поля тяжіння. Неможливість вибрати систему відліку, в якій поле тяжіння зникло б одразу в усьому просторі, означає, що в полі тяжіння простір — час є «кривим». Слід мати на увазі, що вираз «кривина простору —часу» нічого іншого не означає. Щоправда, аналогія з геометрією тут досить глибока, але аналогія завжди лишається аналогією.
Принцип еквівалентності не є прямим логічним наслідком закону рівності гравітаційної та інертної мас. З цього закону випливає лише, що всі тіла в полі тяжіння рухаються однаково; принцип же еквівалентності поширюється на всі фізичні процеси, зокрема й на такі, що не зводяться до механічного руху. З іншого боку, цей принцип не пов'язаний виключно з теорією відносності. Для його формулювання не потрібно припускати ні сталості швидкості світла, ні будь-яких інших фактів і висновків теорії відносності. Принцип еквівалентності слід розглядати як дуже загальний фізичний принцип, що є узагальненням результатів досліду.
Слід зазначити, що принцип еквівалентності приймають беззастережно не всі фізики; зокрема, трапляються спроби побудувати загальну теорію відносності на основі лише закону рівності гравітаційної та інертної мас. Проте ці спроби не можна визнати вдалими. Закон рівності інертної та гравітаційної мас дозволяє побудувати лише кінематику теорії тяжіння і вивести закони механічного руху. Що ж до глибших наслідків загальної теорії відносності, то закон рівності мас тут безсилий. Тому автори цих спроб змушені так чи інакше, явно або мовчки, послуговуватися і загальним принципом еквівалентності.
Як же застосовується принцип еквівалентності в теорії тяжіння? Побудувати теорію тяжіння — це насамперед означає вказати, як у цьому полі поводитиметься той чи інший фізичний об'єкт. Наприклад, нам добре відомі закони електродинаміки за умов відсутності поля тяжіння — вони задаються рівняннями Максвелла. Ми вміємо також формулювати їх у будь-якій неінерціальній системі відліку; усе, що треба знати для цього, — це вираз інтервалу власного часу. Питається, як написати рівняння Максвелла в полі тяжіння?
Розгляньмо, наприклад, електромагнітне поле поблизу земної поверхні, тобто в полі тяжіння. Виділімо досить малий об'єм простору, так, щоб можна було застосувати принцип еквівалентності. Введімо таку систему відліку, в якій поле тяжіння всередині виділеного об'єму зникає. Для цього можна пов'язати її з яким-небудь вільно падаючим тілом, що пролітає в даний момент через нашу ділянку простору. Оскільки поля тяжіння тепер немає, то наша система відліку за своїми властивостями не відрізнятиметься від інерціальної, і для неї справедливі всі висновки спеціальної теорії відносності; зокрема, ми зможемо сформулювати там і рівняння Максвелла. Так само для кожного малого об'єму простору ми введемо свою місцеву інерціальну систему відліку, в якій і сформулюємо шуканий фізичний закон. Але нам потрібно мати формулювання рівнянь Максвелла не в цій множині місцевих систем відліку, а в якійсь загальній системі, що охоплює одразу весь простір навколо земної кулі або, в усякому разі, досить велику область цього простору. Для цього ми повинні в кожному малому об'ємі перейти від місцевої інерціальної системи відліку до цієї єдиної загальної системи; це буде рівносильно переходу до деякої неінерціальної системи відліку, а таку операцію ми робити вміємо. Таким чином, ми й отримаємо формулювання законів електромагнітного поля за наявності тяжіння. Зауважимо, що водночас ми отримуємо і формулу для власного часу в цій загальній системі відліку.
Цю програму й здійснив Ейнштейн у низці праць із загальної теорії відносності. При цьому він отримав ряд важливих і цікавих результатів. Деякі з них ми зараз розглянемо.
Ми знаємо, що всі фізичні закони, зокрема й закони електродинаміки, припускають загальноковаріантне формулювання, придатне для будь-якої, інерціальної чи неінерціальної, системи відліку. Властивості системи відліку повністю описуються формулою власного часу; тому, наприклад, у загальні рівняння Максвелла входять і коефіцієнти формули власного часу. І ось виявляється, з принципу еквівалентності випливає, що ці загальні рівняння лишаються справедливими й у будь-якому полі тяжіння — для цього треба лише підставити в них коефіцієнти формули власного часу, що відповідає даному полю тяжіння. Тому, власне кажучи, потреба в нових формулюваннях фізичних законів відпадає: якщо ми вже зуміли написати їх у загальноковаріантному вигляді, то вони автоматично поширюються на будь-які поля тяжіння. Саме тут і позначається вся сила принципу еквівалентності.
І саме тут деякі фізики припускаються логічної помилки. Прагнучи обійтися без принципу еквівалентності, вони просто переписують загальноковаріантну форму того чи іншого фізичного закону, виведеного в рамках спеціальної теорії відносності, і без дальших викрутасів вважають її дійсною також і в полі тяжіння. Проте цей «фокус» потребує обґрунтування. А воно без принципу еквівалентності неможливе.
Необхідно ще сказати кілька слів з приводу назви загальна теорія відносності. Її неодноразово критикували; і справді, її слід визнати вкрай невдалою. Важко навіть зрозуміти, що, власне, хотів виразити Ейнштейн цією назвою. Ще для спеціальної теорії відносності назва певною мірою виправдана, бо в її основі справді лежить принцип відносності Галілея.
Але жодного принципу відносності, загальнішого, ніж принцип відносності Галілея, фізика не знає. Фізичні явища в системах, що рухаються з прискоренням, відбуваються інакше, ніж у системах, що рухаються рівномірно й прямолінійно. Можна, щоправда, сформулювати фізичні закони в загальноковаріантному вигляді, але це аж ніяк не знищує якісної різниці між прискореним і рівномірним рухом.
Мабуть, саме можливість коваріантного формулювання фізичних законів і мав на увазі Ейнштейн. Проте цей принцип не має фізичного змісту. З часів Лагранжа математична фізика навчилася формулювати будь-які фізичні співвідношення в будь-яких системах відліку і в будь-яких координатах; це — чисто математична задача. Безумовно, математичні ідеї та методи відіграють у теорії відносності величезну роль; без оволодіння ними зрозуміти теорію відносності до кінця неможливо. Але все ж це — теорія фізична, і дивно надавати їй «математичну» назву.
З іншого боку, називати загальну теорію відносності теорією тяжіння, як дехто пропонує, також видається неправильним. Правда, що вона виникла на основі розроблення релятивістської теорії тяжіння, так само, як спеціальна теорія відносності виникла з електродинаміки. Але і та, й інша давно переросли ці первісні рамки. Ніхто не пропонує називати спеціальну теорію відносності електродинамікою. Так само неправомірно зводити загальну теорію відносності тільки до теорії тяжіння.