Однією з найвидатніших пам'яток давньогрецької науки є знамениті «Начала» Евкліда. У цьому визначному математичному творі не лише зібрано всі основні геометричні знання, якими володіли грецькі математики в третьому столітті до нашої ери, а й зроблено першу вдалу спробу викласти геометричні факти в суворій логічній послідовності. Книга відкривається означеннями та аксіомами, після чого вся колосальна будівля геометрії будується на основі цих аксіом уже суто логічним, дедуктивним шляхом. Кожне геометричне твердження, навіть якщо воно цілком «очевидне», суворо доводиться. Уперше з усією можливою на той час повнотою в книзі виступає аксіоматичний метод, що став для сучасної математики обов'язковим.
Не все, звичайно, було гладко в книзі Евкліда. Не всі доведення виявилися бездоганними. Система аксіом була не зовсім повною, тобто у своїх доведеннях Евклід спирався подекуди на явно не висловлені, такі, що здавалися йому самоочевидними, твердження. З іншого боку, деякі аксіоми виявилися зайвими — вони, як пізніше з'ясувалося, випливали з інших аксіом.
Довгий час математики займалися «чищенням» твору Евкліда, виправляючи окремі доведення, формулюючи бракуючі аксіоми, замінюючи одні аксіоми іншими, сформульованими вдаліше, і виключаючи зайві аксіоми. Особливо багато спроб було зроблено для того, щоб виключити (тобто довести знаменитий п'ятий постулат) Евкліда.
Цей постулат еквівалентний загальновідомому твердженню, що через кожну точку, яка не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, їй паралельна. Багатьом математикам це висловлювання здавалося менш очевидним, ніж решта аксіом, і вони доклали чимало зусиль, щоб вивести його з інших аксіом. Однак завдання виявилося надзвичайно важким. Усі спроби незмінно закінчувалися невдачею. Навіть видатні математики потрапляли тут у халепу — їм здавалося, що вони нарешті знайшли шукане доведення, але минав час, у цьому доведенні виявлялася та чи інша помилка, і справа закінчувалася повним конфузом. Нині деякі з цих «доведень» демонструються студентам із повчальною метою, як приклади того, яку ретельність повинен виявляти у своїх дослідженнях кожен математик.
Час ішов; наука не стояла на місці. Було закладено основи аналітичної геометрії. Ньютон і Лейбніц створили диференціальне та інтегральне числення. А п'ятий постулат усе ще був колодою в оці геометрів. Поступово навколо спроб його доведення утворився цілий своєрідний розділ геометрії. Було цілком суворо доведено, що принаймні одна паралельна безумовно існує. Справа залишалася за «дрібницею» — довести, що така пряма може бути лише одна. Було відкрито багато тверджень, еквівалентних п'ятому постулату (одне з них полягає, між іншим, у тому, що сума всіх кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам).
Треба сказати, що основним методом «доведення» п'ятого постулату було доведення від супротивного. Припускали, що через точку поза прямою може проходити кілька паралельних їй прямих, і намагалися прийти до суперечності. Для цього, природно, потрібно було виводити різні формальні наслідки з нового постулату (та решти аксіом). Зрозуміло, що ці наслідки виглядали подекуди досить парадоксально (виходило, наприклад, що сума кутів трикутника залежить від його площі), але математики не надто над цим замислювалися — їм було важливо отримати два такі наслідки, які суперечили б один одному. Тим самим злощасний постулат було б доведено від супротивного. Але попри всю незвичність, а подекуди й майже безглуздість теорем, отриманих на цьому шляху, логічної суперечності ніяк не виходило.
І ось нарешті найпроникливіші математичні уми почали доходити думки, що суперечності так і не буде, що п'ятий постулат Евкліда довести неможливо. До такого переконання дійшли наш великий співвітчизник Лобачевський і майже одночасно з ним німецький математик Гаусс та угорський математик Бойяї. І ось тоді перед здивованими поглядами математиків почала відкриватися нова, неізвідана «країна» — неевклідова геометрія.
Справді, що означає, що п'ятий постулат не можна довести від супротивного? Очевидно, одне — він не суперечить решті аксіом. І якщо виводити з нього все нові й нові наслідки, вийде ні багато ні мало, а нова геометрія. Якою б незвичною вона не виглядала, вона виявлялася вільною від суперечностей. А всі теореми, накопичені протягом багатовікових спроб довести постулат Евкліда, є не що інше, як складові частини нової геометрії.
Більшість математиків того часу схильна була розглядати цю «уявну» геометрію як якийсь курйоз, як дивну й, мабуть, забавну гру понять. Майже ніхто не надавав скільки-небудь серйозного значення відкриттю Лобачевського. У цьому немає нічого дивного. На той час будівля геометрії здавалася непорушною, її аксіоми — незаперечними істинами. Знайшлися навіть філософи, які оголосили геометричні аксіоми передумовами правильного мислення, даними людині від народження, від природи. Тим самим будь-яка нова геометрія заздалегідь оголошувалася єрессю.
Але сам Лобачевський зумів правильно зрозуміти значення нової геометрії. Він міркував так: у математиці наявні дві геометрії. Постає питання, яка ж із них діє у світі, що нас оточує? Усі ми впевнені, що евклідова. Але звідки, власне, взялася ця впевненість? Звичайно, з досліду, з практики. Застосовуючи на практиці теореми евклідової геометрії, ми незмінно доходимо правильних результатів. Але ж усі наші вимірювання містять неминучі похибки. Звідки ми знаємо, наприклад, що сума кутів реального трикутника дорівнює двом прямим кутам? Можливо, якщо застосувати особливо досконалу вимірювальну техніку, виявиться, нехай украй мала, але
все ж відчутна розбіжність із цією теоремою? Лобачевський, як справжній матеріаліст, був переконаний, що лише дослід може вирішити питання, яка ж геометрія більше відповідає дійсності. Тим самим проблема геометрії реального світу переходить, власне кажучи, в область фізики.
Забігаючи наперед, скажемо, що Лобачевський мав цілковиту рацію. Геометрія простору, що нас оточує, не зовсім евклідова. Щоправда, відхилення від евклідової геометрії настільки малі, що прямими вимірюваннями виявити їх поки що не вдається, але ми знаємо про них за непрямими ознаками. Втім, незалежно від цього дуже скоро було виявлено, що неевклідові геометрії (нескладно зрозуміти, що їх можна побудувати багато) мають цілком реальний зміст. Щоб у цьому переконатися, досить виконати такий простий дослід. Візьмемо глобус і приколемо до нього шпильками в трьох не дуже близьких між собою точках три шматочки паперу (рис. 1). Потім між цими шпильками натягнемо три нитки, так що утвориться трикутник. Змалюємо олівцем кути трикутника на папірці, знімемо шпильки й виріжемо накреслені кути. Приклавши їх один до одного, ми переконаємося, що їхня сума буде більшою за два прямі. Таким чином, на поверхні сфери панує зовсім не евклідова геометрія.
Читач може заперечити, що ця геометрія не зовсім «справжня», що по поверхні кулі не можна
проводити прямі, що наш «трикутник», власне, навіть і не трикутник, а криволінійна фігура, і т. д. Але йдеться саме про внутрішню геометрію сферичної поверхні. Ясно, що на цій поверхні не можна провести пряму. Проте роль прямих тут із успіхом можуть відігравати лінії, позначені натягнутими нитками. І той добре відомий факт, що будь-яка карта земної поверхні містить неминучі спотворення оригіналу, пов'язаний саме з неевклідовим характером внутрішньої геометрії сферичної поверхні.
Ми можемо повторити наш дослід з іншою поверхнею, наприклад із циліндричною. Тут ми виявимо, що сума кутів трикутника дорівнює точно двом прямим кутам, незважаючи на те, що й цей трикутник не «справжній». Отже, справа тут зовсім не в тому, що наші поверхні криві, а саме в характері їхньої внутрішньої геометрії. Кожна поверхня має свою геометрію. Зокрема, існує поверхня, на якій діє якраз геометрія Лобачевського; вона називається псевдосферою, хоч на сферу вона й не схожа (рис. 2). До речі, існування такої поверхні слугує чудовим доведенням несуперечності геометрії Лобачевського, а отже, і неможливості доведення п'ятого постулату Евкліда.
Теорія таких внутрішніх геометрій набула в математиці великого розвитку. Спираючись як на результати досліджень Лобачевського, так і на цю теорію, німецький математик Ріман розробив загальні принципи побудови різних геометрій, об'єднавши їх усі в єдину теорію, яка дістала назву ріманової геометрії. Ріман підтвердив також думку Лобачевського про те, що геометрія реального світу є питанням фізичним.
Фізикам судилося зіткнутися з цим колом математичних ідей спочатку в дещо іншій площині. У міру розвитку науки математика дедалі глибше проникала у фізику. Характерним прикладом тут може слугувати те, що один із творців диференціального та інтегрального числення — Ісаак Ньютон — був водночас найбільшим фізиком-теоретиком. Дуже суттєво, що математика проникала у фізику не лише як апарат для формальних викладок і обчислень — вона несла з собою й свої ідеї. Такою ідеєю був, зокрема, аксіоматичний метод.
Ньютон добре розумів, що для суворої й бездоганної побудови фізичної науки аксіоматичний метод є найбільш придатним засобом. Йому належить заслуга виокремлення з усього величезного розмаїття фізичних фактів і закономірностей тих основних, фундаментальних законів, на яких можна було б збудувати всю будівлю фізики. Ньютон цілком послідовно назвав ці закони аксіомами руху (між іншим, його основна праця теж мала назву «Начала» — точніше, «Математичні начала натуральної філософії», тобто фізики). Ці основні закони Ньютона відомі нині кожному школяреві. Ньютон спробував — і не без успіху — побудувати механіку, подібно до Евкліда, суто дедуктивним шляхом, спираючись винятково на сформульовані ним аксіоми. Ті прогалини й недоліки, які ми тепер знаходимо в міркуваннях Ньютона, анітрохи не применшують його наукового подвигу.
Дуже примітно, що історія, подібна до відкриття неевклідової геометрії, розігралася й у фізиці; тут вона мала, мабуть, ще драматичніший характер. Вона відбулася в перше десятиліття нашого століття і пов'язана головним чином з іменем великого німецького фізика Альберта Ейнштейна.
Не все, звичайно, було гладко в книзі Евкліда. Не всі доведення виявилися бездоганними. Система аксіом була не зовсім повною, тобто у своїх доведеннях Евклід спирався подекуди на явно не висловлені, такі, що здавалися йому самоочевидними, твердження. З іншого боку, деякі аксіоми виявилися зайвими — вони, як пізніше з'ясувалося, випливали з інших аксіом.
Довгий час математики займалися «чищенням» твору Евкліда, виправляючи окремі доведення, формулюючи бракуючі аксіоми, замінюючи одні аксіоми іншими, сформульованими вдаліше, і виключаючи зайві аксіоми. Особливо багато спроб було зроблено для того, щоб виключити (тобто довести знаменитий п'ятий постулат) Евкліда.
Цей постулат еквівалентний загальновідомому твердженню, що через кожну точку, яка не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, їй паралельна. Багатьом математикам це висловлювання здавалося менш очевидним, ніж решта аксіом, і вони доклали чимало зусиль, щоб вивести його з інших аксіом. Однак завдання виявилося надзвичайно важким. Усі спроби незмінно закінчувалися невдачею. Навіть видатні математики потрапляли тут у халепу — їм здавалося, що вони нарешті знайшли шукане доведення, але минав час, у цьому доведенні виявлялася та чи інша помилка, і справа закінчувалася повним конфузом. Нині деякі з цих «доведень» демонструються студентам із повчальною метою, як приклади того, яку ретельність повинен виявляти у своїх дослідженнях кожен математик.
Час ішов; наука не стояла на місці. Було закладено основи аналітичної геометрії. Ньютон і Лейбніц створили диференціальне та інтегральне числення. А п'ятий постулат усе ще був колодою в оці геометрів. Поступово навколо спроб його доведення утворився цілий своєрідний розділ геометрії. Було цілком суворо доведено, що принаймні одна паралельна безумовно існує. Справа залишалася за «дрібницею» — довести, що така пряма може бути лише одна. Було відкрито багато тверджень, еквівалентних п'ятому постулату (одне з них полягає, між іншим, у тому, що сума всіх кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам).
Треба сказати, що основним методом «доведення» п'ятого постулату було доведення від супротивного. Припускали, що через точку поза прямою може проходити кілька паралельних їй прямих, і намагалися прийти до суперечності. Для цього, природно, потрібно було виводити різні формальні наслідки з нового постулату (та решти аксіом). Зрозуміло, що ці наслідки виглядали подекуди досить парадоксально (виходило, наприклад, що сума кутів трикутника залежить від його площі), але математики не надто над цим замислювалися — їм було важливо отримати два такі наслідки, які суперечили б один одному. Тим самим злощасний постулат було б доведено від супротивного. Але попри всю незвичність, а подекуди й майже безглуздість теорем, отриманих на цьому шляху, логічної суперечності ніяк не виходило.
І ось нарешті найпроникливіші математичні уми почали доходити думки, що суперечності так і не буде, що п'ятий постулат Евкліда довести неможливо. До такого переконання дійшли наш великий співвітчизник Лобачевський і майже одночасно з ним німецький математик Гаусс та угорський математик Бойяї. І ось тоді перед здивованими поглядами математиків почала відкриватися нова, неізвідана «країна» — неевклідова геометрія.
Справді, що означає, що п'ятий постулат не можна довести від супротивного? Очевидно, одне — він не суперечить решті аксіом. І якщо виводити з нього все нові й нові наслідки, вийде ні багато ні мало, а нова геометрія. Якою б незвичною вона не виглядала, вона виявлялася вільною від суперечностей. А всі теореми, накопичені протягом багатовікових спроб довести постулат Евкліда, є не що інше, як складові частини нової геометрії.
Більшість математиків того часу схильна була розглядати цю «уявну» геометрію як якийсь курйоз, як дивну й, мабуть, забавну гру понять. Майже ніхто не надавав скільки-небудь серйозного значення відкриттю Лобачевського. У цьому немає нічого дивного. На той час будівля геометрії здавалася непорушною, її аксіоми — незаперечними істинами. Знайшлися навіть філософи, які оголосили геометричні аксіоми передумовами правильного мислення, даними людині від народження, від природи. Тим самим будь-яка нова геометрія заздалегідь оголошувалася єрессю.
Але сам Лобачевський зумів правильно зрозуміти значення нової геометрії. Він міркував так: у математиці наявні дві геометрії. Постає питання, яка ж із них діє у світі, що нас оточує? Усі ми впевнені, що евклідова. Але звідки, власне, взялася ця впевненість? Звичайно, з досліду, з практики. Застосовуючи на практиці теореми евклідової геометрії, ми незмінно доходимо правильних результатів. Але ж усі наші вимірювання містять неминучі похибки. Звідки ми знаємо, наприклад, що сума кутів реального трикутника дорівнює двом прямим кутам? Можливо, якщо застосувати особливо досконалу вимірювальну техніку, виявиться, нехай украй мала, алевсе ж відчутна розбіжність із цією теоремою? Лобачевський, як справжній матеріаліст, був переконаний, що лише дослід може вирішити питання, яка ж геометрія більше відповідає дійсності. Тим самим проблема геометрії реального світу переходить, власне кажучи, в область фізики.
Забігаючи наперед, скажемо, що Лобачевський мав цілковиту рацію. Геометрія простору, що нас оточує, не зовсім евклідова. Щоправда, відхилення від евклідової геометрії настільки малі, що прямими вимірюваннями виявити їх поки що не вдається, але ми знаємо про них за непрямими ознаками. Втім, незалежно від цього дуже скоро було виявлено, що неевклідові геометрії (нескладно зрозуміти, що їх можна побудувати багато) мають цілком реальний зміст. Щоб у цьому переконатися, досить виконати такий простий дослід. Візьмемо глобус і приколемо до нього шпильками в трьох не дуже близьких між собою точках три шматочки паперу (рис. 1). Потім між цими шпильками натягнемо три нитки, так що утвориться трикутник. Змалюємо олівцем кути трикутника на папірці, знімемо шпильки й виріжемо накреслені кути. Приклавши їх один до одного, ми переконаємося, що їхня сума буде більшою за два прямі. Таким чином, на поверхні сфери панує зовсім не евклідова геометрія.
Читач може заперечити, що ця геометрія не зовсім «справжня», що по поверхні кулі не можнапроводити прямі, що наш «трикутник», власне, навіть і не трикутник, а криволінійна фігура, і т. д. Але йдеться саме про внутрішню геометрію сферичної поверхні. Ясно, що на цій поверхні не можна провести пряму. Проте роль прямих тут із успіхом можуть відігравати лінії, позначені натягнутими нитками. І той добре відомий факт, що будь-яка карта земної поверхні містить неминучі спотворення оригіналу, пов'язаний саме з неевклідовим характером внутрішньої геометрії сферичної поверхні.
Ми можемо повторити наш дослід з іншою поверхнею, наприклад із циліндричною. Тут ми виявимо, що сума кутів трикутника дорівнює точно двом прямим кутам, незважаючи на те, що й цей трикутник не «справжній». Отже, справа тут зовсім не в тому, що наші поверхні криві, а саме в характері їхньої внутрішньої геометрії. Кожна поверхня має свою геометрію. Зокрема, існує поверхня, на якій діє якраз геометрія Лобачевського; вона називається псевдосферою, хоч на сферу вона й не схожа (рис. 2). До речі, існування такої поверхні слугує чудовим доведенням несуперечності геометрії Лобачевського, а отже, і неможливості доведення п'ятого постулату Евкліда.
Теорія таких внутрішніх геометрій набула в математиці великого розвитку. Спираючись як на результати досліджень Лобачевського, так і на цю теорію, німецький математик Ріман розробив загальні принципи побудови різних геометрій, об'єднавши їх усі в єдину теорію, яка дістала назву ріманової геометрії. Ріман підтвердив також думку Лобачевського про те, що геометрія реального світу є питанням фізичним.
Фізикам судилося зіткнутися з цим колом математичних ідей спочатку в дещо іншій площині. У міру розвитку науки математика дедалі глибше проникала у фізику. Характерним прикладом тут може слугувати те, що один із творців диференціального та інтегрального числення — Ісаак Ньютон — був водночас найбільшим фізиком-теоретиком. Дуже суттєво, що математика проникала у фізику не лише як апарат для формальних викладок і обчислень — вона несла з собою й свої ідеї. Такою ідеєю був, зокрема, аксіоматичний метод.
Ньютон добре розумів, що для суворої й бездоганної побудови фізичної науки аксіоматичний метод є найбільш придатним засобом. Йому належить заслуга виокремлення з усього величезного розмаїття фізичних фактів і закономірностей тих основних, фундаментальних законів, на яких можна було б збудувати всю будівлю фізики. Ньютон цілком послідовно назвав ці закони аксіомами руху (між іншим, його основна праця теж мала назву «Начала» — точніше, «Математичні начала натуральної філософії», тобто фізики). Ці основні закони Ньютона відомі нині кожному школяреві. Ньютон спробував — і не без успіху — побудувати механіку, подібно до Евкліда, суто дедуктивним шляхом, спираючись винятково на сформульовані ним аксіоми. Ті прогалини й недоліки, які ми тепер знаходимо в міркуваннях Ньютона, анітрохи не применшують його наукового подвигу.
Дуже примітно, що історія, подібна до відкриття неевклідової геометрії, розігралася й у фізиці; тут вона мала, мабуть, ще драматичніший характер. Вона відбулася в перше десятиліття нашого століття і пов'язана головним чином з іменем великого німецького фізика Альберта Ейнштейна.