Тепер мені хотілося б трохи детальніше показати, як можна використати ідею ймовірності, щоб відповісти на питання: скільки ж насправді я очікую випадань «орла», якщо підкидаю монету N разів? Однак, перш ніж відповісти на нього, погляньмо, що все-таки дає нам такий «експеримент».
Послідовність випадання «орла» і «решки».
Три серії дослідів підкидання монети по 30 разів у кожній серії.
На фіг. 6.1 показано результати, отримані в перших трьох серіях випробувань по 30 випробувань у кожній. Послідовності випадань «орла» і «решки» показано в тому порядку, у якому це відбувалося. Першого разу вийшло 11 випадань «орла», другого — теж И, а третього — 16. Чи можна на цій підставі підозрювати, що монета була «нечесною»? Або, може, ми помилилися, прийнявши 15 за найбільш ймовірне число випадань «орла» в кожній серії випробувань?
Зробимо ще 97 серій, тобто 100 серій по 30 випробувань у кожній. Результати їх наведено в табл. 6.1.
Послідовність випадання «орла» і «решки».Три серії дослідів підкидання монети по 30 разів у кожній серії.
На фіг. 6.1 показано результати, отримані в перших трьох серіях випробувань по 30 випробувань у кожній. Послідовності випадань «орла» і «решки» показано в тому порядку, у якому це відбувалося. Першого разу вийшло 11 випадань «орла», другого — теж И, а третього — 16. Чи можна на цій підставі підозрювати, що монета була «нечесною»? Або, може, ми помилилися, прийнявши 15 за найбільш ймовірне число випадань «орла» в кожній серії випробувань?
Зробимо ще 97 серій, тобто 100 серій по 30 випробувань у кожній. Результати їх наведено в табл. 6.1.
Зображення
Погляньте на числа, наведені в цій таблиці. Ви бачите, що більшість результатів «близькі» до 15, оскільки майже всі вони розташовані між 12 і 18. Щоб краще відчути ці результати, накреслимо графік їх розподілу. Для цього підрахуємо число випробувань, у яких вийшло k випадань «орла», і відкладемо це число вгору над k. У результаті отримаємо фіг. 6.2. Справді, у 13 серіях було отримано 15 випадань «орла», те саме число серій дало 14 випадань «орла»; 16 і 17 випадань траплялися більш ніж 13 разів. Чи повинні ми з цього робити висновок, що монетам більше подобається лягати «орлом» догори? А може, ми помилилися у виборі числа 15 як найбільш правдоподібного? Може, насправді правдоподібніше, що за 30 випробувань виходить 16 випадань «орла»? Хвилинку терпіння! Якщо ми складемо разом результати всіх серій, то загальне число випробувань буде 3000, а загальне число випадань «орла» в цих випробуваннях сягає 1492, так що частка випробувань із випаданням «орла» в результаті становитиме 0,497. Це дуже близько до половини, але все ж дещо менше. Ні, ми все-таки не можемо припускати, що ймовірність випадання «орла» більша за 0,5! Той факт, що в окремих випробуваннях «орел» частіше випадав 16 разів, ніж 15, є просто випадковим відхиленням, або флуктуацією. Ми ж, як і раніше, очікуємо, що найбільш правдоподібним числом випадань має бути 15.
Зведення результатів 100 серій по 30 випробувань у кожній.
Вертикальні лінії показують число серій, у яких випадав k разів «орел». Пунктирна крива показує очікуване число серій із випаданням h разів «орла», отримане з обчислення ймовірностей. Можна запитати: а яка ймовірність того, що в серії з 30 випробувань «орел» випаде 15 разів або 16, чи якесь інше число разів? Ми говоримо, що ймовірність випадання «орла» в серії з одного випробування дорівнює 0,5; відповідно ймовірність невипадання теж дорівнює 0,5. У серії з двох випробувань можливі чотири наслідки: ОО, OP, PO, PP. Оскільки кожен з них рівноймовірний, то можна зробити висновок: а) ймовірність двох випадань «орла» дорівнює 1/4; б) ймовірність одного випадання «орла» дорівнює 2/4; в) ймовірність невипадання «орла» дорівнює 1/2. Це відбувається тому, що існують дві можливості з чотирьох рівних отримати одне випадання «орла» і лише одна можливість отримати два випадання або не отримати жодного. Розгляньмо тепер серію з трьох випробувань. Третє випробування з рівною ймовірністю може дати або «орел», або «решку», тому існує лише один спосіб отримати три випадання «орла»: ми повинні отримати два випадання «орла» в двох перших випробуваннях і потім випадання «орла» в останньому. Однак отримати два випадання «орла» можна вже трьома способами: після двох випадань «орла» може випасти «решка» і ще два способи — після одного випадання «орла» в перших двох випробуваннях випаде «орел» у третьому. Так що число рівноймовірних способів отримати 3, 2, 1 і 0 випадань «орла» буде відповідно дорівнювати 1, 3, 3 і 1; повне ж число всіх можливих способів дорівнює 8. Таким чином, виходять такі ймовірності: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Ці результати зручно записати у вигляді діаграми (фіг. 6.3).
Діаграма, яка ілюструє число різних можливостей отримати 0, 1, 2 і 3 випадання «орла» в серії з трьох випробувань.
Ясно, що цю діаграму можна продовжити, якщо нас цікавить ще більше число випробувань. На фіг. 6.4 наведено аналогічну діаграму для шести випробувань. Число «способів», що відповідають кожній точці діаграми,— це просто число різних «шляхів» (тобто, простіше кажучи, послідовність випадання «орла» і «решки»), якими можна прийти в цю точку з початкової, не повертаючись при цьому назад, а висота цієї точки дає загальне число випадань «орла». Цей набір чисел відомий під назвою трикутника Паскаля, а самі числа називаються біноміальними коефіцієнтами, оскільки вони з'являються при розкладанні виразу (а + b)n. Зазвичай ці числа на нашій діаграмі позначаються символом (nk), або Сnk (число сполучень з n по k), де n— повне число
випробувань, а k— число випадань «орла». Зазначу принагідно, що біноміальні коефіцієнти можна обчислювати за формулою
Зведення результатів 100 серій по 30 випробувань у кожній.Вертикальні лінії показують число серій, у яких випадав k разів «орел». Пунктирна крива показує очікуване число серій із випаданням h разів «орла», отримане з обчислення ймовірностей. Можна запитати: а яка ймовірність того, що в серії з 30 випробувань «орел» випаде 15 разів або 16, чи якесь інше число разів? Ми говоримо, що ймовірність випадання «орла» в серії з одного випробування дорівнює 0,5; відповідно ймовірність невипадання теж дорівнює 0,5. У серії з двох випробувань можливі чотири наслідки: ОО, OP, PO, PP. Оскільки кожен з них рівноймовірний, то можна зробити висновок: а) ймовірність двох випадань «орла» дорівнює 1/4; б) ймовірність одного випадання «орла» дорівнює 2/4; в) ймовірність невипадання «орла» дорівнює 1/2. Це відбувається тому, що існують дві можливості з чотирьох рівних отримати одне випадання «орла» і лише одна можливість отримати два випадання або не отримати жодного. Розгляньмо тепер серію з трьох випробувань. Третє випробування з рівною ймовірністю може дати або «орел», або «решку», тому існує лише один спосіб отримати три випадання «орла»: ми повинні отримати два випадання «орла» в двох перших випробуваннях і потім випадання «орла» в останньому. Однак отримати два випадання «орла» можна вже трьома способами: після двох випадань «орла» може випасти «решка» і ще два способи — після одного випадання «орла» в перших двох випробуваннях випаде «орел» у третьому. Так що число рівноймовірних способів отримати 3, 2, 1 і 0 випадань «орла» буде відповідно дорівнювати 1, 3, 3 і 1; повне ж число всіх можливих способів дорівнює 8. Таким чином, виходять такі ймовірності: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Ці результати зручно записати у вигляді діаграми (фіг. 6.3).
Діаграма, яка ілюструє число різних можливостей отримати 0, 1, 2 і 3 випадання «орла» в серії з трьох випробувань.
Ясно, що цю діаграму можна продовжити, якщо нас цікавить ще більше число випробувань. На фіг. 6.4 наведено аналогічну діаграму для шести випробувань. Число «способів», що відповідають кожній точці діаграми,— це просто число різних «шляхів» (тобто, простіше кажучи, послідовність випадання «орла» і «решки»), якими можна прийти в цю точку з початкової, не повертаючись при цьому назад, а висота цієї точки дає загальне число випадань «орла». Цей набір чисел відомий під назвою трикутника Паскаля, а самі числа називаються біноміальними коефіцієнтами, оскільки вони з'являються при розкладанні виразу (а + b)n. Зазвичай ці числа на нашій діаграмі позначаються символом (nk), або Сnk (число сполучень з n по k), де n— повне числовипробувань, а k— число випадань «орла». Зазначу принагідно, що біноміальні коефіцієнти можна обчислювати за формулою
Зображення
де символ n!, який називають «n-факторіалом», позначає добуток усіх цілих чисел від 1 до n, тобто 1-2-3 ... (п — 1)n.
Тепер уже все готово для того, щоб за допомогою виразу (6.1) підрахувати ймовірність Р (k, n) випадання к разів «орла» в серії з п випробувань. Повне число всіх можливостей буде 2n (оскільки в кожному випробуванні можливі два наслідки), а число рівноймовірних комбінацій, у яких випаде
«орел», буде (nk) , так що
«орел», буде (nk) , так що
Зображення
Оскільки Р (k, n) — частка тих серій випробувань, у яких випадання «орла» очікується к разів, то зі ста серій к випадань «орла» очікується 100 Р (k, n) разів. Пунктирна крива на фіг. 6.2 проведена якраз через точки функції 100 Р (k, 30). Бачите, ми очікували отримати 15 випадань «орла» в 14 або 15 серіях випробувань, а отримали лише в 13. Ми очікували отримати 16 випадань «орла» в 13 або 14 серіях випробувань, а отримали в 16. Але такі флуктуації цілком допускаються «правилами гри».
Використаний тут метод можна застосовувати і в більш загальній ситуації, де в кожному одиничному випробуванні можливі тільки два наслідки, які позначимо через В (виграш) і П (програш). Взагалі кажучи, ймовірності В і П у кожному окремому випробуванні можуть бути різними. Нехай р, наприклад, буде ймовірністю результату В. Тоді q (ймовірність результату П) має дорівнювати (1 - p). У серії з nвипробувань ймовірність того, що результат В отримається k разів, дорівнює
Зображення
Ця функція ймовірностей називається біноміальним законом розподілу ймовірності.