Випадкові блукання

Існує ще одна цікава задача, під час розв'язання якої не обійтися без поняття ймовірності. Це проблема «випадкових блукань». У найпростішому варіанті ця задача виглядає так. Уявіть собі гру, в якій гравець, починаючи від точки х = 0, за кожен хід може просунутися або вперед (до точки х), або назад (до точки —х), причому рішення про те, куди йому йти, ухвалюється цілком випадково, ну, наприклад, за допомогою підкидання монети. Як описати результат такого руху? У більш загальній формі ця задача описує рух атомів (або інших частинок) у газі — так званий броунівський рух — або утворення похибки при вимірюваннях. Ви побачите, наскільки проблема «випадкових блукань» тісно пов'язана з описаним вище дослідом із підкиданням монети. Насамперед розгляньмо кілька прикладів випадкових блукань. Їх можна описати «чистим» просуванням D_N, за N кроків. На фіг. 6.5 показано три приклади шляхів при випадковому блуканні. 

Що можна сказати про такий рух? Ну, по-перше, можна запитати: як далеко ми в середньому просунемося? Слід очікувати, що середнього просування взагалі не буде, оскільки ми з рівною ймовірністю можемо йти як вперед, так і назад. Однак відчувається, що зі збільшенням N ми з дедалі більшою ймовірністю можемо блукати десь усе далі й далі від початкової точки. Тому виникає питання: яка середня абсолютна відстань, тобто яке середнє значення |D|? Утім, зручніше мати справу не з |D|, а з D²; ця величина додатна як для додатного, так і для від'ємного руху і тому теж може слугувати розумною мірою таких випадкових блукань. Можна показати, що очікувана величина D²_N дорівнює просто N— числу зроблених кроків. До речі, під «очікуваною величиною» ми розуміємо найбільш ймовірне значення (найкраще вгадане), про яке можна думати як про очікуване середнє значення великого числа повторюваних процесів блукання. Ця величина позначається як <D²_N> і називається, крім того, «середнім квадратом відстані». Після одного кроку D² завжди дорівнює +1, тому, безсумнівно, <D²₁> = 1. (За одиницю відстані всюди вибиратиметься один крок, і тому я надалі не писатиму одиниць довжини.) Очікувана величина D²_N для N > 1 може бути отримана з D_N-1. Якщо після (N — 1) кроків ми опинилися на відстані D_N-1 то ще один крок дасть або D_N= D_N-1 + 1, або D_N=D_N-1 — 1. Або для квадратів

Якщо процес повторюється велике число разів, то ми очікуємо, що кожна з цих можливостей здійснюється з ймовірністю 1/2, так що середня очікувана величина буде просто середнім арифметичним цих значень, тобто очікувана величина D²_N буде просто D²_n-1 + 1. Але яка величина D²_n-1, точніше, якого значення її ми очікуємо? Просто, за визначенням, ясно, що це має бути «середнє очікуване значення» <D²_n-1>, так що

Якщо тепер згадати, що <D²₁> = 1, то виходить дуже простий результат:

Відхилення від початкового положення можна характеризувати величиною типу відстані (а не квадрата відстані); для цього потрібно просто добути квадратний корінь з D <²_N> і отримати так звану «середню квадратичну відстань» D_ск:

Ми вже говорили, що випадкові блукання дуже схожі на дослід із підкиданням монет, з якого ми почали цей розділ. Якщо уявити собі, що кожне просування вперед або назад зумовлюється випаданням «орла» або «решки», то D_N. буде просто дорівнювати N₀ — N_P, тобто різниці числа випадань «орла» і «решки». Або оскільки N₀+ N_P = N (де N — повне число підкидань), то D_N= 2N₀— N. Згадайте, що раніше ми вже отримували вираз для очікуваного розподілу величини N0 [вона позначалася тоді через k; див. рівняння (6.5)]. Ну а оскільки N — просто стала, то тепер такий самий розподіл вийшов і для D. (Випадання кожного «орла» означає невипадання «решки», тому у зв'язку між N₀ і D з'являється множник 2.) Таким чином, на фіг. 6.2 графік являє собою одночасно і розподіл відстаней, на які ми можемо піти за 30 випадкових кроків (k = 15 відповідає D = 0, а k= 16 відповідає D= 2 і т. д.). Відхилення N₀ від очікуваної величини N/2 буде дорівнювати

звідки для середнього квадратичного відхилення отримуємо

Згадаймо тепер наш результат для D_ск. Ми очікуємо, що середня відстань, пройдена за 30 кроків, має дорівнювати √30 = 5,5, звідки середнє відхилення k від 15 має бути 5,5 : 2 ≈ 2,8. Зауважте, що середня півширина нашої кривої на фіг. 6.2 (тобто півширина «дзвону» десь посередині) якраз приблизно дорівнює 3, що узгоджується з цим результатом. Тепер ми здатні розглянути питання, якого уникали дотепер. Як дізнатися, чи «чесна» наша монета? Зараз ми можемо, принаймні частково, відповісти на нього. Якщо монета «чесна», то ми очікуємо, що в половині випадків випаде «орел», тобто

Водночас очікується, що дійсне число випадань «орла» має відрізнятися від N/2 на величину порядку √N/2, або, якщо говорити про частку відхилення, вона дорівнює

тобто чим більше N, тим ближче до половини відношення N0/N. На фіг. 6.6 відкладено числа N₀/N для тих підкидань монети, про які ми говорили раніше. Як бачите, при збільшенні числа N крива все ближче й ближче підходить до 0,5. Але, на жаль, немає жодних гарантій, що для кожної даної серії чи комбінації серій спостережуване відхилення буде близьким до очікуваного відхилення. Завжди є скінченна ймовірність, що станеться велика флуктуація — поява великого числа випадань «орла» або «решки»,— яка дасть довільно велике відхилення. Єдине, що можна сказати,— це якщо відхилення близькі до очікуваного 1/2√N (скажімо, з множником 2 або 3), то немає підстав вважати монету «фальшивою» (або що партнер шахраює). Ми ще не розглядали випадки, коли для монети або якогось іншого об'єкта випробування, подібного до монети (у тому сенсі, що можливі два або кілька достеменно не передбачуваних результатів спостереження, наприклад камінь, який може впасти тільки на якийсь із двох боків), є достатньо підстав вважати, що ймовірності різних результатів не рівні. Ми визначили ймовірність Р(О) як відношення <N₀>/N. Але що прийняти за величину <N₀>? Яким чином можна дізнатися, що очікується? У багатьох випадках найкраще, що можна зробити, — це підрахувати число випадань «орла» у великій серії випробувань і взяти <N₀> = N₀ (спостережене). (Як можна очікувати чогось іще?) При цьому, однак, потрібно розуміти, що різні спостерігачі й різні серії випробувань можуть дати інше значення Р(О), відмінне від нашого. Слід очікувати, однак, що всі ці різні відповіді не будуть розходитися більш ніж на 1/2√N [якщо Р(О) близьке до половини]. Фізики-експериментатори зазвичай говорять, що «експериментально знайдена» ймовірність має «похибку», і записують це у вигляді

У такому записі мається на увазі, що існує певна «істинна» ймовірність, яку в принципі можна підрахувати, але що різні флуктуації призводять до похибки під час її експериментального визначення. Однак немає можливості зробити ці міркування логічно узгодженими. Краще все-таки, щоб ви зрозуміли, що ймовірність у якомусь сенсі — річ суб'єктивна, що вона завжди ґрунтується на якійсь невизначеності наших знань і величина її коливається зі зміною цих знань.