Якщо хтось, засвоївши наші визначення, візьметься за розв'язання алгебраїчних рівнянь, він швидко натрапить на нерозв'язні задачі. Розв'яжіть, наприклад, рівняння b = 3—5. Вам доведеться відповідно до визначення віднімання знайти число, яке дає 3, якщо до нього додати 5. Перебравши всі цілі додатні числа (а в правилах же йдеться тільки про такі числа), ви скажете, що задача не розв'язується. Однак можна зробити те, що потім стане системою, великою ідеєю: наштовхнувшись на нерозв'язну задачу, треба спершу відійти в бік, а потім узагальнити. Поки алгебра складається для нас із правил і цілих чисел. Забудьмо про первісні визначення додавання й множення, але збережемо правила (22.1) і (22.2) і припустімо, що вони правильні взагалі не тільки для цілих додатних чисел (для них ці правила були виведені), а для ширшого класу чисел. Раніше ми записували цілі додатні числа у вигляді символів, щоб вивести правила; тепер правила будуть визначати символи, а символи будуть представниками якихось загальніших чисел. Маніпулюючи правилами, можна показати, що 3—5=0—2. Визначимо нові числа: 0—1, 0—2, 0—3, 0—4 і т. д. і назвемо їх цілими від'ємними числами. Після цього ми зможемо розв'язати всі задачі на віднімання. Тепер згадаймо й про інші правила, наприклад а(Ъ+с)=аb+ас; це дасть нам правило множення від'ємних чисел. Перебравши всі правила, ми побачимо, що вони правильні як для додатних, так і для від'ємних чисел.
Ми значно розширили область дії наших правил, але досягли цього ціною зміни сенсу символів.
Уже не можна, наприклад, сказати, що помножити 5 на —2 означає скласти 5 мінус два рази. Ця фраза безглузда. Тим не менш, користуючись правилами, ви завжди отримаєте правильний результат. Піднесення до степеня приносить нові турботи. Хтось обов'язково захоче дізнатися, що означає символ а(3-5). Ми знаємо, що 3—5 — це розв'язок рівняння (3—5)+5=3. Отже,
ми знаємо, що а(3-5)a5=а3. Тепер можна поділити на a5, тоді а(3-5)=а3/а5. Ще одне зусилля, і от остаточний результат: а(3-5) = 1/а2. Таким чином, ми встановили, що піднесення числа до від'ємного степеня зводиться до ділення одиниці на число, піднесене до додатного степеня. Усе було б добре, якби 1/а2 не було безглуздим символом. Адже а — це ціле додатне або від'ємне число, отже, а2 більше одиниці, а ми не вміємо ділити одиницю на числа, більші за одиницю! Система так система. Наштовхнувшись на нерозв'язну задачу, треба розширити царство чисел. Цього разу нам важко ділити: не можна знайти цілого числа — ні додатного, ні від'ємного, — яке з'явилося б у результаті ділення 3 на 5. Тож назвемо це число та інші подібні йому числа раціональними дробами й припустимо, що дроби підпорядковуються тим самим правилам, що і цілі числа. Тоді ми зможемо оперувати дробами так само добре, як і цілими числами. Ще один приклад на степінь: що таке а3/5? Ми знаємо тільки, що (3/5)*5=3, бо це визначення числа 3/5, і ще, що (а3/5)5 = а(3/5)5, бо це одне з правил. Згадавши визначення кореня, ми отримаємо а(3/5) = 5√(a3). Визначаючи в такий спосіб дроби, ми не вводимо жодного свавілля. Самі правила стежать за тим, щоб підстановка дробів замість написаних нами символів не була безглуздою процедурою. Чудово, що ці правила впорюються з дробами так само добре, як і з цілими числами (додатними і від'ємними)! Підемо далі шляхом узагальнення. Чи існують ще рівняння, яких ми не навчилися розв'язувати? Звісно. Наприклад, нам не під силу рівняння b = 21/2=√2. Неможливо знайти раціональний дріб, квадрат якого дорівнює 2. У наш час це з'ясувати досить просто. Ми знаємо десяткову систему і не лякаємося безкінечного десяткового дробу, який можна використати для наближення кореня з двох. Хоча ідея такого наближення виникла ще в стародавніх греків, засвоювалася вона з великими труднощами. Щоб точно сформулювати суть такого наближення, треба осягнути такі високі матерії, як неперервність і відношення порядку, а це дуже важкий крок. Це зробив Дедекінд дуже точно і дуже формально. Однак, якщо не турбуватися про математичну строгість, легко зрозуміти, що числа типу √ 2 можна представити у вигляді цілої послідовності десяткових дробів (тому що якщо зупинитися на якомусь десятковому дробі, то отримаємо раціональне число), яка все ближче й ближче підходить до бажаного результату. Цих знань нам цілком достатньо; вони дозволять вільно обходитися з ірраціональними числами і обчислювати числа типу √2 з потрібною точністю.
Уже не можна, наприклад, сказати, що помножити 5 на —2 означає скласти 5 мінус два рази. Ця фраза безглузда. Тим не менш, користуючись правилами, ви завжди отримаєте правильний результат. Піднесення до степеня приносить нові турботи. Хтось обов'язково захоче дізнатися, що означає символ а(3-5). Ми знаємо, що 3—5 — це розв'язок рівняння (3—5)+5=3. Отже,
ми знаємо, що а(3-5)a5=а3. Тепер можна поділити на a5, тоді а(3-5)=а3/а5. Ще одне зусилля, і от остаточний результат: а(3-5) = 1/а2. Таким чином, ми встановили, що піднесення числа до від'ємного степеня зводиться до ділення одиниці на число, піднесене до додатного степеня. Усе було б добре, якби 1/а2 не було безглуздим символом. Адже а — це ціле додатне або від'ємне число, отже, а2 більше одиниці, а ми не вміємо ділити одиницю на числа, більші за одиницю! Система так система. Наштовхнувшись на нерозв'язну задачу, треба розширити царство чисел. Цього разу нам важко ділити: не можна знайти цілого числа — ні додатного, ні від'ємного, — яке з'явилося б у результаті ділення 3 на 5. Тож назвемо це число та інші подібні йому числа раціональними дробами й припустимо, що дроби підпорядковуються тим самим правилам, що і цілі числа. Тоді ми зможемо оперувати дробами так само добре, як і цілими числами. Ще один приклад на степінь: що таке а3/5? Ми знаємо тільки, що (3/5)*5=3, бо це визначення числа 3/5, і ще, що (а3/5)5 = а(3/5)5, бо це одне з правил. Згадавши визначення кореня, ми отримаємо а(3/5) = 5√(a3). Визначаючи в такий спосіб дроби, ми не вводимо жодного свавілля. Самі правила стежать за тим, щоб підстановка дробів замість написаних нами символів не була безглуздою процедурою. Чудово, що ці правила впорюються з дробами так само добре, як і з цілими числами (додатними і від'ємними)! Підемо далі шляхом узагальнення. Чи існують ще рівняння, яких ми не навчилися розв'язувати? Звісно. Наприклад, нам не під силу рівняння b = 21/2=√2. Неможливо знайти раціональний дріб, квадрат якого дорівнює 2. У наш час це з'ясувати досить просто. Ми знаємо десяткову систему і не лякаємося безкінечного десяткового дробу, який можна використати для наближення кореня з двох. Хоча ідея такого наближення виникла ще в стародавніх греків, засвоювалася вона з великими труднощами. Щоб точно сформулювати суть такого наближення, треба осягнути такі високі матерії, як неперервність і відношення порядку, а це дуже важкий крок. Це зробив Дедекінд дуже точно і дуже формально. Однак, якщо не турбуватися про математичну строгість, легко зрозуміти, що числа типу √ 2 можна представити у вигляді цілої послідовності десяткових дробів (тому що якщо зупинитися на якомусь десятковому дробі, то отримаємо раціональне число), яка все ближче й ближче підходить до бажаного результату. Цих знань нам цілком достатньо; вони дозволять вільно обходитися з ірраціональними числами і обчислювати числа типу √2 з потрібною точністю.