Хоча ми добре попрацювали, все-таки є ще рівняння, які нам не під силу! Наприклад,чому дорівнює квадратний корінь з —1? Припустимо, що це х, тоді x2 = —1. Немає ні раціонального, ні ірраціонального числа, квадрат якого дорівнював би —1. Доведеться знову доповнити запас чисел. Припустимо, що рівняння х2 = — 1 усе ж має розв'язок, і позначимо цей розв'язок буквою i; число i має наразі тільки одну властивість: будучи піднесеним до квадрата, воно дає —1. Оце наразі і все, що можна про нього сказати. Однак рівняння х2= — 1 має два корені. Буквою i ми позначили один з коренів, але хтось може сказати: «А я вважаю за краще мати справу з коренем —i; моя буква i — просто мінус ваша i». Заперечити йому нічого, тому що число i визначається співвідношенням i2 = — 1; це співвідношення залишиться правильним, якщо змінити знак i. Отже, будь-яке рівняння, що містить якусь кількість i, залишиться правильним, якщо змінити знаки у всіх i. Така операція називається комплексним спряженням. Далі, ніщо не заважає нам отримувати нові числа так: скласти i кілька разів, помножити i на якесь наше старе число, додати результат множення до старого числа і т. д. Усе це можна зробити, не порушуючи раніше встановлених правил. Таким чином ми приходимо до чисел, які можна записати у вигляді p+iq, де р і q — числа, з якими ми мали справу раніше, їх називають дійсними числами. Число i називають уявною одиницею, а добуток дійсного числа на уявну одиницю — чисто уявним числом. Найзагальніше число а має вигляд a=p+iq, і його називають комплексним числом. Обходитися з комплексними числами нескладно; наприклад, нам треба обчислити добуток (r+is)(p+iq). Згадавши правила, ми отримаємо
Зображення
тому що ii = i2 = —1. Тепер ми отримали загальний вираз для чисел, що задовольняють правила (22.1).
Умудрені досвідом, отриманим у попередніх розділах, ви скажете: «Зарано говорити про загальний вираз, треба ще визначити, наприклад, піднесення до уявного степеня, а потім можна вигадати багато алгебраїчних рівнянь, ну хоча б x6+3х2=—2, для розв'язання яких знадобляться нові числа». Але справа саме в тому, що, крім дійсних чисел, достатньо винайти лише одне число — квадратний корінь з —1, після цього можна розв'язати будь-яке алгебраїчне рівняння! Цю дивовижну річ повинні доводити вже математики. Доведення дуже гарне, дуже цікаве, але далеко не самоочевидне. Справді, здавалося б, найприродніше очікувати, що в міру просування в дебрі алгебраїчнихуравнений доведеться винаходити знову, знову і знову. Але найдивовижніше те, що більше нічого не треба винаходити. Це останнє винайдення. Винайшовши комплексні числа, ми встановимо правила, за якими з цими числами треба поводитися, і більше нічого винаходити не будемо. Ми навчимося підносити комплексні числа до комплексного степеня і виражати розв'язок будь-якого алгебраїчного рівняння у вигляді скінченної комбінації вже відомих нам символів. До нових чисел це не приведе. Наприклад, квадратний корінь з i, або ii— знову ті самі комплексні числа. Зараз ми розглянемо це докладніше.
Ми вже знаємо, як треба складати і множити комплексні числа; сума двох комплексних чисел (p+iq)+(r+is) — це число (p+r)+i(q+s). Але от піднесення комплексних чисел до комплексного степеня — уже задача потрудніша. Однак вона виявляється не труднішою за задачу про піднесення до комплексного степеня дійсних чисел. Подивимося тому, як підноситься до комплексного степеня число 10, не в ірраціональний, а комплексний степінь; нам треба знати число 10(г+is). Правила (22.1) і (22.2) дещо спрощують задачу
Зображення
Ми знаємо, як обчислити 10r, перемножити числа ми теж уміємо, не вміємо тільки обчислити 10is. Припустимо, що це комплексне число x+iy. Задача: дано s, знайти x і y. Якщо
10is = x - iy,
то повинне бути правильним і комплексно спряжене рівняння
10-is = x - iy.
(Деякі речі можна отримати і без обчислень, треба просто використати правила.) Перемножуючи ці рівності, можна отримати ще один цікавий результат:
10is = x - iy,
то повинне бути правильним і комплексно спряжене рівняння
10-is = x - iy.
(Деякі речі можна отримати і без обчислень, треба просто використати правила.) Перемножуючи ці рівності, можна отримати ще один цікавий результат:
Зображення
Якщо ми якимось чином знайдемо х, то визначити у буде дуже легко.
Однак як усе-таки піднести 10 до уявного степеня? Гдо шукати допомоги? Правила нам уже не допоможуть, але заспокоює от що: якщо вдасться піднести 10 до якогось одного уявного степеня, то нічого не варто піднести 10 уже до будь-якого степеня. Якщо відомо 10is для одного значення s, то обчислення у випадку вдвічі більшого s зводиться до піднесення до квадрата і т. д. Але як же піднести 10 хоча б до одного уявного степеня? Для цього зробимо додаткове припущення; його, звісно, не можна ставити в один ряд із правилами (22.1) і (22.2), але воно приведе до розумних результатів і дозволить нам ступити далеко вперед. Припустимо, що «закон» 10ε = 1+2,3025ε (коли е дуже мале) правильний не тільки для дійсних, а й для комплексних е. Якщо це так, то 10 = 1 +2,3025*is при s→0. Припускаючи, що s дуже мале (скажімо, дорівнює 1/1024), ми отримуємо добре наближення числа 10is. Тепер можна скласти таблицю, яка дозволить обчислити всі уявні степені 10, тобто знайти числа х і у. Треба зробити так. Почнемо з показника 1/1024, який ми вважаємо рівним приблизно 1+2,3025 i/1024. Тоді
Однак як усе-таки піднести 10 до уявного степеня? Гдо шукати допомоги? Правила нам уже не допоможуть, але заспокоює от що: якщо вдасться піднести 10 до якогось одного уявного степеня, то нічого не варто піднести 10 уже до будь-якого степеня. Якщо відомо 10is для одного значення s, то обчислення у випадку вдвічі більшого s зводиться до піднесення до квадрата і т. д. Але як же піднести 10 хоча б до одного уявного степеня? Для цього зробимо додаткове припущення; його, звісно, не можна ставити в один ряд із правилами (22.1) і (22.2), але воно приведе до розумних результатів і дозволить нам ступити далеко вперед. Припустимо, що «закон» 10ε = 1+2,3025ε (коли е дуже мале) правильний не тільки для дійсних, а й для комплексних е. Якщо це так, то 10 = 1 +2,3025*is при s→0. Припускаючи, що s дуже мале (скажімо, дорівнює 1/1024), ми отримуємо добре наближення числа 10is. Тепер можна скласти таблицю, яка дозволить обчислити всі уявні степені 10, тобто знайти числа х і у. Треба зробити так. Почнемо з показника 1/1024, який ми вважаємо рівним приблизно 1+2,3025 i/1024. Тоді
Зображення
Множачи це число саме на себе багато разів, ми дійдемо до степенів вищих. Ми просто-напросто перевернули процедуру складання таблиці логарифмів і, обчисливши квадрат, 4-ю степінь, 8-ю степінь і т. д. числа (22.7), склали табл. 22.3. Цікаво, що спочатку всі числа х були додатними, а потім раптом з'явилося від'ємне число. Це означає, що існує число s, для якого дійсна частина 10is дорівнює нулю. Значення iу в цьому випадку дорівнює i, тобто 10is=i, або is=log10i. Як приклад (див. табл. 22.3) обчислимо за її допомогою log10i. Процедура пошуку log10i точнісінько повторює те, що ми робили, обчислюючи log102.
Зображення
Добуток яких чисел із табл. 22.3 дорівнює чисто уявному числу? Після кількох спроб і помилок ми знайдемо, що найкраще помножити «512» на «128». Їхній добуток дорівнює 0,13056+0,99144 i. Приглянувшись до правила множення комплексних чисел, можна зрозуміти, що надію на успіх дає множення цього числа на число, уявна частина якого приблизно дорівнює дійсній частині нашого числа. Уявна частина «64» дорівнює 0,14349, що досить близько до 0,13056. Добуток цих чисел дорівнює —0,01350+0,99993i. Ми перескочили через нуль, тому результат треба поділити на 0,99996+0,00900 i. Як це зробити? Змінимо знак i і помножимо на 0,99996—0,00900 i (адже x2+y2 = 1). Зрештою виявимо, що якщо піднести 10 до степеня i(1/1024) (512+128+64—4—2+0,20) або 698,20i/1024, то отримаємо уявну одиницю. Таким чином, log10 i=0,068226i.