Щоб краще зрозуміти, що таке число в уявному степені, обчислимо послідовні степені десяти. Ми не будемо щоразу подвоювати степінь, щоб не повторювати табл. 22.3, і подивимося, що станеться з дійсною частиною після того, як вона стане від'ємною. Результат можна побачити в табл. 22.4.
Зображення
У цій таблиці зібрані послідовні добутки числа 10i/8. Видно, що ж зменшується, проходить через нуль, досягає майже —1 (у проміжку між р=10 і р = 11 величина точно дорівнює —1) і повертається назад. Точнісінько так само величина у ходить туди-сюди.
Точки на фіг. 22.1 відповідають числам, наведеним у табл. 22.4, а лінії, що їх з'єднують, допомагають стежити за зміною х я у. Видно, що числа хну осцилюють; 10i/8 повторює себе. Легко пояснити, чому так відбувається. Адже i в четвертій степені — це i2 у квадраті. Це число дорівнює одиниці; отже, якщо 100,68i дорівнює i, то, піднісши це число до четвертої степені, тобто обчисливши 102,72i, ми отримаємо +1. Якщо потрібно отримати, наприклад, 103,00i, то потрібно помножити 102,72i на 100,28i. Іншими словами, функція 10is повторюється, має період. Ми вже знаємо, як виглядають такі криві! Вони схожі на графік синуса або косинуса, і ми назвемо їх на деякий час алгебраїчним синусом і алгебраїчним косинусом. Тепер перейдемо від основи 10 до натуральної основи. Це тільки змінить масштаб горизонтальної осі; ми позначимо 2,3025s через t і напишемо 10is=eit, де t — дійсне число. Відомо, що eit =x+iy, і ми запишемо це число у вигляді
Точки на фіг. 22.1 відповідають числам, наведеним у табл. 22.4, а лінії, що їх з'єднують, допомагають стежити за зміною х я у. Видно, що числа хну осцилюють; 10i/8 повторює себе. Легко пояснити, чому так відбувається. Адже i в четвертій степені — це i2 у квадраті. Це число дорівнює одиниці; отже, якщо 100,68i дорівнює i, то, піднісши це число до четвертої степені, тобто обчисливши 102,72i, ми отримаємо +1. Якщо потрібно отримати, наприклад, 103,00i, то потрібно помножити 102,72i на 100,28i. Іншими словами, функція 10is повторюється, має період. Ми вже знаємо, як виглядають такі криві! Вони схожі на графік синуса або косинуса, і ми назвемо їх на деякий час алгебраїчним синусом і алгебраїчним косинусом. Тепер перейдемо від основи 10 до натуральної основи. Це тільки змінить масштаб горизонтальної осі; ми позначимо 2,3025s через t і напишемо 10is=eit, де t — дійсне число. Відомо, що eit =x+iy, і ми запишемо це число у вигляді
Зображення
Якими є властивості алгебраїчного косинуса cos t і алгебраїчного синуса sin t? Перш за все x2 + y2= 1; це ми вже довели, і це правильно для будь-якої основи, чи то 10, чи е. Отже, cos2t + sin2t = 1. Ми знаємо, що eit = 1+it для малих t; отже, якщо t— близьке до нуля число, то cos t близький до одиниці, a sin t близький до t. Продовжуючи далі, ми дійдемо висновку, що всі властивості цих чудових функцій, які виникають у результаті піднесення до уявного степеня, точнісінько збігаються з властивостями тригонометричного синуса і тригонометричного косинуса.
А як справи з періодом? Знайдімо його. До якого степеня треба піднести е, щоб отримати i? Іншими словами, чому дорівнює логарифм i за основою е? Ми обчислили вже логарифм i за основою 10; він дорівнює 0,68226i; щоб перейти до основи е, ми помножимо це число на 2,3025 і отримаємо 1,5709i. Це число можна назвати «алгебраїчним π/2». Але погляньте-но, воно відрізняється від справжнього π/2 лише останнім десятковим знаком, і це просто-напросто наслідок наших наближень при обчисленнях! Таким чином, чисто алгебраїчно виникли дві нові функції — синус і косинус; вони належать алгебрі і тільки алгебрі. Ми пішли по їхніх слідах і виявили, що це ті самі функції, які так природно виникають у геометрії. Ми відшукали мостик між алгеброю і геометрією.
Підсумовуючи наші пошуки, напишемо одну з найпрекрасніших формул математики
Зображення
Ось вона, наша перлина.
Зв'язок між алгеброю і геометрією можна використати для зображення комплексних чисел на площині; точка на площині визначається координатами х і у (фіг. 22.2). Представимо кожне комплексне число у вигляді x+iy. Якщо відстань точки від початку координат позначити через r, а кут радіуса-вектора точки з віссю х — через θ, то вираз x+iy можна представити у вигляді reiθ. Це випливає з геометричних співвідношень між х, у, r і θ. Таким чином, ми об'єднали алгебру і геометрію. Починаючи цей розділ, ми знали тільки цілі числа й уміли їх рахувати. Натомість у нас була невелика ідея про могутність кроку в бік і узагальнення. Використовуючи алгебраїчні «закони», або властивості чисел, зведені в рівняння (22.1), і визначення обернених операцій (22.2), ми змогли створити не тільки нові числа, а й такі корисні речі, як таблиці логарифмів, степенів і тригонометричні функції (вони виникли при піднесенні дійсних чисел до уявних степенів), і все це вдалося зробити, добуваючи багато разів квадратний корінь із десяти!
Зв'язок між алгеброю і геометрією можна використати для зображення комплексних чисел на площині; точка на площині визначається координатами х і у (фіг. 22.2). Представимо кожне комплексне число у вигляді x+iy. Якщо відстань точки від початку координат позначити через r, а кут радіуса-вектора точки з віссю х — через θ, то вираз x+iy можна представити у вигляді reiθ. Це випливає з геометричних співвідношень між х, у, r і θ. Таким чином, ми об'єднали алгебру і геометрію. Починаючи цей розділ, ми знали тільки цілі числа й уміли їх рахувати. Натомість у нас була невелика ідея про могутність кроку в бік і узагальнення. Використовуючи алгебраїчні «закони», або властивості чисел, зведені в рівняння (22.1), і визначення обернених операцій (22.2), ми змогли створити не тільки нові числа, а й такі корисні речі, як таблиці логарифмів, степенів і тригонометричні функції (вони виникли при піднесенні дійсних чисел до уявних степенів), і все це вдалося зробити, добуваючи багато разів квадратний корінь із десяти!