Тепер таке запитання: як піднести число до ірраціонального степеня? Наприклад, нам хочеться дізнатися, що таке 10√2. Відповідь у принципі дуже проста. Візьмемо замість √2 його наближення у вигляді скінченного десяткового дробу — це раціональне число. Підносити до раціонального степеня ми вміємо; справа зводиться до піднесення до цілого степеня і добування кореня. Ми отримаємо наближене значення числа 10√2. Можна взяти десятковий дріб подовше (це знову раціональне число). Тоді доведеться добути корінь більшого степеня; адже знаменник раціонального дробу збільшиться, але натомість ми отримаємо точніше наближення. Звісно, якщо взяти наближене значення √2 у вигляді дуже довгого дробу, то піднесення до степеня буде справою дуже важкою. Як упоратися з цією задачею?
Обчислення квадратних коренів, кубічних коренів та інших коренів невисокого степеня — цілком доступний нам арифметичний процес; обчислюючи, ми послідовно, один за одним, типом знаки десяткового дробу. Але для того, щоб піднести до ірраціонального степеня або взяти логарифм (розв'язати обернену задачу), потрібна така праця, що застосувати попередню процедуру вже не просто. На допомогу приходять таблиці. Їх називають таблицями логарифмів або таблицями степенів, залежно від того, для чого вони призначені. Вони економлять час: щоб піднести число до ірраціонального степеня, ми не обчислюємо, а тільки перегортаємо сторінки.
Хоча обчислення зібраних у таблиці значень — процедура чисто технічна, все ж справа ця цікава й має велику історію. Тому подивимось, як це робиться. Ми обчислимо не тільки x=10√2, а й розв'яжемо ще одну задачу: 10x=2, або x=log102. Розв'язуючи ці задачі, ми не відкриємо нових чисел; це просто обчислювальні задачі. Розв'язком будуть ірраціональні числа, безкінечні десяткові дроби, а їх якось незручно оголошувати новим видом чисел.
Подумаємо, як розв'язати наші рівняння. Загальна ідея дуже проста. Якщо обчислити 101 і 104/10, і 101/00, і 104/1000, і т. д., а потім перемножити результати, то ми отримаємо 101,414..., або 10√2 . Роблячи так, ми розв'яжемо будь-яку задачу такого роду. Однак замість 104/10 і т. д. ми обчислюватимемо 101/2, 101/4 і т. д. Перш ніж починати обчислення, пояснимо ще, чому ми звертаємося до числа 10 частіше, ніж до інших чисел. Ми знаємо, що значення таблиць логарифмів виходить далеко за межі математичної задачі обчислення коренів, тому що
Зображення
Це добре відомо всім, хто користувався таблицею логарифмів, щоб перемножити числа. За якою ж основою b брати логарифми? Це байдуже; адже в основу таких обчислень покладено лише принцип, загальну властивість логарифмічної функції. Обчисливши логарифми один раз за якоюсь довільною основою, можна перейти до логарифмів за іншою основою за допомогою множення. Якщо помножити рівняння (22.3) на 61, то воно залишиться правильним, тому якщо перемножити всі числа в таблиці логарифмів за основою b на 61, то можна буде користуватися і такою таблицею. Припустимо, що нам відомі логарифми всіх чисел за основою b. Іншими словами, можна розв'язати рівняння ba=с для будь-якого с; для цього існує таблиця. Задача полягає в тому, як знайти логарифм цього самого числа с за іншою основою, наприклад х. Нам потрібно розв'язати рівняння ха` =с. Це легко зробити, тому що х завжди можна представити так: х = bt. Знайти t, знаючи х і b, просто: t=logbx. Підставимо тепер х=bt у рівняння ха` = с; воно перейде в таке рівняння: (bt)a`=bta` =с. Іншими словами, добуток ta` є логарифмом с за основою b. Отже, a`=a/t. Таким чином, логарифми за основою х дорівнюють добуткам логарифмів за основою b на постійне число 1/t. Отже, усі таблиці логарифмів еквівалентні з точністю до множення на число 1/logbx;. Це дозволяє нам вибрати для складання таблиць будь-яку основу, але ми вирішили, що найзручніше взяти за основу число 10. (Може виникнути питання: чи не існує все-таки якоїсь природної основи, за якої все виглядає якось простіше? Ми спробуємо відповісти на це питання пізніше. Поки всі логарифми обчислюватимуться за основою 10.)
Тепер подивимося, як складають таблицю логарифмів. Робота починається з послідовного добування квадратного кореня з 10. Результат можна побачити в табл. 22.1. Показники степенів записані в її першому стовпці, а числа 10S— у третьому. Ясно, що 101 = 10. Піднести 10 до половинного степеня легко — це квадратний корінь з 10, а як добувати квадратний корінь з будь-якого числа, знає кожен. Отже, ми знайшли перший квадратний корінь; він дорівнює 3,16228. Що це дає? Дещо дає. Ми вже можемо сказати, чому дорівнює 100,5, і знаємо принаймні один логарифм.
Зображення
Логарифм числа 3,16228 дуже близький до 0,50000. Однак треба ще прикласти невеликі зусилля: нам потрібна докладніша таблиця. Добудемо ще один квадратний корінь і знайдемо 101/4, що дорівнює 1,77828. Тепер ми знаємо ще один логарифм: 1,250— це логарифм числа 17,78; крім того, ми можемо сказати, чому дорівнює 100,75: адже це 10(0,5+0,25), тобто добуток другого і третього чисел із третього стовпця табл. 22.1. Якщо зробити перший стовпець таблиці достатньо довгим, то таблиця міститиме майже всі числа; перемножуючи числа з третього стовпця, ми отримуємо 10 майже в будь-якому степені. Така основна ідея таблиць. У нашій таблиці міститься десять послідовних коренів із 10; основна праця зі складання таблиці вкладена в обчислення цих коренів.
Чому ж ми не продовжуємо підвищувати точність таблиць далі? Тому що ми дещо вже підмітили. Піднісши 10 до дуже малого степеня, ми отримуємо одиницю з малою добавкою. Це, звісно, відбувається тому, що якщо піднести, наприклад, 101/1000 до 1000-го степеня, то ми знову отримаємо 10; ясно, що 101/1000 не може бути великим числом: воно дуже близьке до одиниці. Більш того, малі добавки до одиниці поводяться так, наче їх кожного разу ділять на 2; погляньте-но на таблицю уважніше: 1815 переходить у 903, потім у 450, 225 і т. д. Таким чином, якщо обчислити ще один, одинадцятий, квадратний корінь, він з великою точністю дорівнюватиме 1,00112, і цей результат ми вгадали ще до обчислення. Чи можна сказати, якою буде добавка до одиниці, якщо піднести 10 до степеня Δ/1024, коли А прямує до нуля? Можна. Добавка буде приблизно рівна 0,0022511Δ. Звісно, не в точності 0,0022511Δ; щоб обчислити цю добавку точніше, роблять такий трюк: віднімають від 10S одиницю і ділять різницю на показник степеня s. Відхилення отриманої в такий спосіб частки від її точного значення однакові для будь-якого степеня s. Видно, що ці відношення (див. четвертий стовпець табл. 22.1) приблизно рівні. Спочатку вони все-таки сильно відрізняються одне від одного, але потім усе ближче підходять одне до одного, явно прямуючи до якогось числа. Що це за число? Простежимо, як змінюються числа четвертого стовпця, якщо опускатися вниз по стовпці. Спочатку різниця двох сусідніх чисел дорівнює 0,0211, потім 0,0104, потім 0,0053 і, нарешті, 0,0026. Різниця щоразу зменшується наполовину. Зробивши ще один крок, ми доведемо її до 0,0013, потім до 0,0007, 0,0003, 0,0002 і, нарешті, приблизно до 0,0001; треба послідовно ділити 26 на 2. Таким чином, ми спустимося ще на 26 одиниць і знайдемо для межі
2.3025. (Пізніше ми побачимо, що правильніше було б взяти 2.3026, але візьмімо те, що в нас вийшло.) Користуючись цією таблицею, можна піднести 10 до будь-якого степеня, якщо його показник яким-небудь способом виражається через 1/1024. Тепер легко скласти таблицю логарифмів, бо все необхідне для цього ми вже приготували. Процедура цього показана в табл. 22.2, а потрібні числа беруться з другого і третього стовпців табл. 22.1.
2.3025. (Пізніше ми побачимо, що правильніше було б взяти 2.3026, але візьмімо те, що в нас вийшло.) Користуючись цією таблицею, можна піднести 10 до будь-якого степеня, якщо його показник яким-небудь способом виражається через 1/1024. Тепер легко скласти таблицю логарифмів, бо все необхідне для цього ми вже приготували. Процедура цього показана в табл. 22.2, а потрібні числа беруться з другого і третього стовпців табл. 22.1.
Зображення
Припустимо, що ми хочемо знати логарифм 2. Це означає, що ми хочемо знати, до якого степеня треба піднести 10, щоб отримати 2. Може, піднести 10 до степеня 1/2? Ні, вийде занадто велике число. Дивлячись на табл. 22.1, можна сказати, що потрібне нам число лежить між 1/4 і 1/2. Пошук його почнемо з 1/4; поділимо 2 на 1,788..., отримаємо 1,124...; при діленні ми відняли від логарифма двох 0,250000, і тепер нас цікавить логарифм 1,124.... Знайшовши його, ми додамо до результату 1/4=256/1024. Знайдемо в табл. 22.1 число, яке при русі по третьому стовпцю зверху вниз стояло б відразу за 1,124... . Це 1,074607. Відношення 1,124... до 1,074607 дорівнює 1,046598. Зрештою ми представимо 2 у вигляді добутку чисел із табл. 22.1:
2 = (1,77828)*(1,074607)*(1,036633)*(1,0090350)*(1,000573).
Для останнього множника (1,000573) у нашій таблиці місця не знайшлося; щоб знайти його логарифм, треба представити це число у вигляді 10Δ/1024 ≈ 1+2,3025Δ/1024. Звідси легко знайти, що Δ = 0,254. Таким чином, наш добуток можна представити у вигляді десятки, піднесеної до степеня 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складаючи і ділячи, ми отримуємо потрібний логарифм: log102=0,30103; цей результат правильний до п'ятого десяткового знака!
Ми обчислювали логарифми точнісінько так само, як це робив містер Бріггс із Галіфакса в 1620 р. Закінчивши роботу, він сказав: «Я обчислив послідовно 54 квадратних корені з 10». Насправді він обчислив лише перші 27 коренів, а потім зробив фокус із Δ. Обчислити 27 разів квадратний корінь з 10, взагалі кажучи, трохи складніше, ніж 10 разів, як це зробили ми. Однак містер Бріггс зробив набагато більше: він обчислював корені з точністю до шістнадцятого десяткового знака, а коли опублікував свої таблиці, то залишив у них лише 14 десяткових знаків, щоб округлити помилки. Скласти таблиці логарифмів з точністю до чотирнадцятого десяткового знака таким методом — справа дуже важка. Натомість цілих 300 років пізніше складачі таблиць логарифмів займалися тим, що зменшували таблиці містера Бріггса, викидаючи з них щоразу різну кількість десяткових знаків. Тільки останнім часом за допомогою електронних обчислювальних машин виявилося можливим скласти таблиці логарифмів незалежно від містера Бріггса. При цьому використовувався ефективніший метод обчислень, заснований на розкладанні логарифма в ряд. Складаючи таблиці, ми натрапили на цікавий факт: якщо показник степеня ε дуже малий, то дуже легко обчислити 10ε; це просто 1+2,3025ε. Це означає, що 10n/2,3025 =1+n для дуже малих n. Крім того, ми говорили із самого початку, що обчислюємо логарифми за основою 10 тільки тому, що в нас на руках 10 пальців і рахувати десятками нам зручніше. Логарифми за будь-якою іншою основою отримуються з логарифмів за основою 10 простим множенням. Тепер настав час з'ясувати, чи не існує математично виділеної основи логарифмів, виділеної з причин, що не мають нічого спільного з кількістю пальців на руці. У цій природній шкалі формули з логарифмами повинні виглядати простіше. Складемо нову таблицю логарифмів, помноживши всі логарифми за основою 10 на 2,3025... . Це відповідає переходу до нової основи — натуральної, або основи e. Зауважимо, що loge(l + n)≈n або en»1+n, коли n→0. Легко знайти саме число е; воно дорівнює 101/2,3025 або100,434294.... Це 10 в ірраціональному степені. Для обчислення е можна скористатися таблицею коренів з 10. Представимо 0,434294... спочатку у вигляді 444,73/1024, а чисельник цього дробу у вигляді суми 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е тому дорівнює добутку чисел
(1,77828) * (1,33352) * (1,074607) * (1,036633) * (1,018152) * (1,009035) * (1,001643) = 2,7184.
(Числа 0,73 немає в нашій таблиці, але відповідний йому результат можна представити у вигляді 1+2,3025Δ/1024 і обчислити, чому дорівнює Δ.) Перемноживши всі 7 співмножників, ми отримаємо 2,7184 (насправді має бути 2,7183, але й цей результат хороший). Використовуючи такі таблиці, можна підносити число до ірраціонального степеня і обчислювати логарифми ірраціональних чисел. От як треба обходитися з ірраціональностями.
2 = (1,77828)*(1,074607)*(1,036633)*(1,0090350)*(1,000573).
Для останнього множника (1,000573) у нашій таблиці місця не знайшлося; щоб знайти його логарифм, треба представити це число у вигляді 10Δ/1024 ≈ 1+2,3025Δ/1024. Звідси легко знайти, що Δ = 0,254. Таким чином, наш добуток можна представити у вигляді десятки, піднесеної до степеня 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складаючи і ділячи, ми отримуємо потрібний логарифм: log102=0,30103; цей результат правильний до п'ятого десяткового знака!
Ми обчислювали логарифми точнісінько так само, як це робив містер Бріггс із Галіфакса в 1620 р. Закінчивши роботу, він сказав: «Я обчислив послідовно 54 квадратних корені з 10». Насправді він обчислив лише перші 27 коренів, а потім зробив фокус із Δ. Обчислити 27 разів квадратний корінь з 10, взагалі кажучи, трохи складніше, ніж 10 разів, як це зробили ми. Однак містер Бріггс зробив набагато більше: він обчислював корені з точністю до шістнадцятого десяткового знака, а коли опублікував свої таблиці, то залишив у них лише 14 десяткових знаків, щоб округлити помилки. Скласти таблиці логарифмів з точністю до чотирнадцятого десяткового знака таким методом — справа дуже важка. Натомість цілих 300 років пізніше складачі таблиць логарифмів займалися тим, що зменшували таблиці містера Бріггса, викидаючи з них щоразу різну кількість десяткових знаків. Тільки останнім часом за допомогою електронних обчислювальних машин виявилося можливим скласти таблиці логарифмів незалежно від містера Бріггса. При цьому використовувався ефективніший метод обчислень, заснований на розкладанні логарифма в ряд. Складаючи таблиці, ми натрапили на цікавий факт: якщо показник степеня ε дуже малий, то дуже легко обчислити 10ε; це просто 1+2,3025ε. Це означає, що 10n/2,3025 =1+n для дуже малих n. Крім того, ми говорили із самого початку, що обчислюємо логарифми за основою 10 тільки тому, що в нас на руках 10 пальців і рахувати десятками нам зручніше. Логарифми за будь-якою іншою основою отримуються з логарифмів за основою 10 простим множенням. Тепер настав час з'ясувати, чи не існує математично виділеної основи логарифмів, виділеної з причин, що не мають нічого спільного з кількістю пальців на руці. У цій природній шкалі формули з логарифмами повинні виглядати простіше. Складемо нову таблицю логарифмів, помноживши всі логарифми за основою 10 на 2,3025... . Це відповідає переходу до нової основи — натуральної, або основи e. Зауважимо, що loge(l + n)≈n або en»1+n, коли n→0. Легко знайти саме число е; воно дорівнює 101/2,3025 або100,434294.... Це 10 в ірраціональному степені. Для обчислення е можна скористатися таблицею коренів з 10. Представимо 0,434294... спочатку у вигляді 444,73/1024, а чисельник цього дробу у вигляді суми 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е тому дорівнює добутку чисел
(1,77828) * (1,33352) * (1,074607) * (1,036633) * (1,018152) * (1,009035) * (1,001643) = 2,7184.
(Числа 0,73 немає в нашій таблиці, але відповідний йому результат можна представити у вигляді 1+2,3025Δ/1024 і обчислити, чому дорівнює Δ.) Перемноживши всі 7 співмножників, ми отримаємо 2,7184 (насправді має бути 2,7183, але й цей результат хороший). Використовуючи такі таблиці, можна підносити число до ірраціонального степеня і обчислювати логарифми ірраціональних чисел. От як треба обходитися з ірраціональностями.