Крім прямих операцій додавання, множення й піднесення до степеня, існують обернені операції. Їх можна визначити так. Припустимо, що нам задано а і с; як знайти b, яке задовольняє рівнянням а+b=с, ab=c, ba=c? Якщо a+b=c, то b визначається за допомогою віднімання: b=с—а. Так само проста операція ділення: якщо аb=с, то b=с/а; це розв'язання рівняння aЬ=с «задом наперед». Якщо вам зустрінеться степінь: bа=с, то треба запам'ятати, що b називається коренем а-го степеня з с. Наприклад, на запитання: «Яке число, будучи піднесеним до куба, дає 8?» — слід відповідати: «Кубічний корінь з 8, тобто 2». Зверніть увагу, що, коли справа доходить до степеня, з'являються дві обернені операції. Справді, адже раз аb і Ьа— різні числа, то можна поставити і таке запитання: «До якого степеня треба піднести 2, щоб отримати 8?» У цьому випадку доводиться брати логарифм. Якщо аb=с, то b=-logac. He треба лякатися громіздкого запису числа b у цьому випадку; знаходити його так само просто, як і результати інших обернених операцій. Хоча логарифм «проходять» набагато пізніше кореня, це така сама проста річ: просто-напросто це розв'язання алгебраїчних рівнянь різного сорту. Випишемо разом прямі й обернені операції:
Зображення
У чому ж ідея? Виписані співвідношення правильні для цілих чисел, тому що вони виводяться з визначень додавання, множення й піднесення до степеня. Подумаємо, чи не можна розширити клас об'єктів, які і надалі позначатимуться буквами а, b і с і для яких і надалі будуть правильні всі сформульовані нами правила, хоча додавання вже не можна розуміти як послідовне збільшення числа на одиницю, а піднесення до степеня — як послідовне перемноження цілих чисел.