Розподіл ймовірностей

Повернімося до проблеми випадкових блукань, але тепер уже з деякою зміною. Нехай на додачу до випадкового вибору напрямку кроку (+ або —) якимось непередбачуваним чином змінюється також і його довжина, причому вимагається виконання однієї-єдиної умови, щоб довжина кроку в середньому дорівнювала одиниці. Ця задача вже більше схожа на тепловий рух молекул у газі. Позначимо довжину кроку через S, яка, взагалі кажучи, може бути будь-якою, але найчастіше набуватиме значень десь «поблизу» одиниці. Для більшої визначеності покладемо <S²> = 1, або, що еквівалентно, S_ск = 1. Виведення виразу для <D²> при цьому залишиться тим самим, за винятком того, що рівняння (6.8) тепер зміниться так:

Так що, як і раніше,

Яким же в цьому разі буде розподіл відстаней? Яка, наприклад, ймовірність того, що після 30 кроків D виявиться рівним нулю? Ймовірність цього дорівнює нулю! Взагалі ймовірність будь-якої заданої величини D дорівнює нулю. Справді, зовсім неймовірно, щоб сума всіх кроків назад (за довільної довжини кожного з них) у точності компенсувалася кроками вперед. У цьому разі ми вже не можемо побудувати графік такого типу, як зображений на фіг. 6.2. Якщо ж, однак, не вимагати, щоб D було в точності рівне, скажімо, нулю, або одиниці, або двом, а замість цього говорити про ймовірність отримання D десь поблизу нуля, або одиниці, або двох, то при цьому ми можемо намалювати графік, подібний до наведеного на фіг. 6.2. Назвемо Р (х, Δх) ймовірністю того, що D перебуватиме десь всередині інтервалу Δх в околі величини х (скажімо, десь між х і х + Δх). Якщо Δх достатньо мале, то ймовірність того, що D потрапить у цей інтервал, має бути пропорційною його ширині, тобто Δх. Тому ми можемо стверджувати, що

Функція p(x) називається густиною ймовірності. Вигляд кривої p(x) залежить як від числа кроків N, так і від розподілу кроків за довжинами (тобто від того, яку частку становлять кроки даної довжини). На жаль, я не можу тут займатися доведенням цього, а лише скажу, що за достатньо великого числа кроків N густина p(x) однакова для всіх розумних розподілів кроків за довжинами і залежить лише від самого N. На фіг. 6.7 показано три графіки p(x) для різних N. Зауважте, що «півширини» цих кривих, як це й має бути за нашими попередніми розрахунками, приблизно дорівнюють √N. Густина ймовірності опинитися при випадковому блуканні через N кроків на відстані D.
D вимірюється в одиницях середньої квадратичної довжини кроку. Ви, ймовірно, помітили також, що величина p(x) поблизу нуля обернено пропорційна √N. Це відбувається тому, що всі криві за формою дуже схожі, тільки одні «розмазані» більше, а інші — менше, і, крім того, площі, обмежені кожною кривою і віссю х, мають бути рівними. Справді, адже p(x) Ах це ймовірність того, що D перебуває десь всередині інтервалу Δх (Думало). Як визначити ймовірність того, що D перебуває десь між х± і х2? Для цього розіб'ємо інтервал між x₁ і х₂ на вузькі смужки шириною Δх (фіг. 6.8) і обчислимо суму членів p(x) Δх для кожної такої смужки. Геометрично ця ймовірність [запишемо її у вигляді Р (x₁< D < х₂)] дорівнює площі заштрихованої області на фіг. 6.8. При цьому чим вужчі будуть наші смужки, тим точніший результат. Тому можна записати

Площа ж, обмежена всією кривою, просто дорівнює ймовірності того, що D набуває якогось значення між —∞ і +∞. Ясно, що вона має дорівнювати одиниці, тобто

Ну а оскільки ширина кривих на фіг. 6.7 пропорційна √N, то, щоб зберегти ту саму площу, їхня висота має бути пропорційною 1/√N. Густина ймовірності, яку ми щойно описали, трапляється найчастіше. Вона відома також під назвою нормальної, або гаусової, густини ймовірності і записується у вигляді

причому величина σ називається стандартним відхиленням. У нашому випадку σ = √N або √NS_ск, якщо середня квадратична довжина кроку відмінна від одиниці. Ми вже говорили про те, що рухи молекул чи якихось інших частинок у газі схожі на випадкові блукання. Уявіть собі, що ми відкрили в кімнаті флакончик парфумів або якоїсь іншої органічної речовини. Тієї ж миті молекули її почнуть випаровуватися в повітря. Якщо в кімнаті є якісь повітряні течії, скажімо циркуляція повітря, то вони переноситимуть із собою пари цієї речовини. Але навіть у цілком спокійному повітрі молекули поширюватимуться, поки не проникнуть у всі закутки кімнати. Це можна визначити за запахом або кольором. Якщо нам відомий середній розмір «кроку» і число кроків за секунду, то можна підрахувати ймовірність виявлення однієї чи кількох молекул речовини на певній відстані від флакончика через якийсь проміжок часу. З плином часу число кроків зростає і газ «розповзається» по кімнаті, подібно до наших кривих на фіг. 6.7. Довжина кроків та їхня частота, як ви дізнаєтеся згодом, пов'язані з температурою і тиском повітря в кімнаті. Ви знаєте, що тиск газу викликається тим, що його молекули бомбардують стінки посудини. Пізніше, коли ми підійдемо до кількісного опису цього явища, нам знадобиться знати, з якою швидкістю рухаються молекули, вдаряючись об стінку, оскільки сила їхніх ударів залежить від швидкості. Однак говорити про якусь певну швидкість молекул зовсім неможливо. У цьому разі потрібно використовувати ймовірнісний опис. Молекула може мати будь-яку швидкість, але деякі швидкості кращі за інші. Усе, що відбувається в газі, можна описати, сказавши, що ймовірність того, що дана молекула рухається з якоюсь швидкістю між v і v + Δv, дорівнюватиме p(v)Δv, де p(v) — густина ймовірності, яка залежить від швидкості v. Пізніше я розповім, як Максвелл, використовуючи загальні поняття та ідеї теорії ймовірності, знайшов математичний вираз для функції p(v). Приблизний вигляд функції p(v) показано на фіг. 6.9. Швидкість може мати будь-яку величину, однак більше шансів за те, що вона опиниться десь в околі найбільш ймовірного чи очікуваного значення Розподіл молекул газу за швидкостями. Про криву, показану на фіг. 6.9, часто говорять у дещо іншому сенсі. Якщо ми візьмемо газ, укладений у якійсь посудині (скажімо, об'ємом 1 л), то виявиться, що в ньому міститься величезна кількість молекул (N ≈ 10²²). Оскільки p(v) Δv — ймовірність того, що перша-ліпша молекула летітиме зі швидкістю, яка перебуває в інтервалі Δv, то, за визначенням, очікуване число молекул <ΔN> зі швидкістю, яка перебуває в цьому ж інтервалі, дорівнюватиме

Тому Np(v) можна назвати «розподілом молекул за швидкостями». Площа під кривою між двома значеннями швидкостей v1 і v2 [заштрихована область на фіг. 6.9 для кривої Np(v)] являє собою очікуване число молекул зі швидкостями між v₁, і v₂. Але в газі, який зазвичай містить величезне число молекул, відхилення від очікуваного значення будуть дуже малими (порядку 1/√N), тому часто ми відкидаємо слово «очікуване» і говоримо просто: «Число молекул зі швидкостями між v₁, і v₂ дорівнює площі заштрихованої ділянки». Однак усе-таки потрібно пам'ятати, що йдеться в таких випадках завжди про ймовірне число.