У цьому випадку корінь визначається за останньою цифрою підкореневого числа.
Ознайомившись раз із наведеною нижче таблицею, що показує зміну останніх цифр чисел, піднесених до різних степенів, ви зможете свідомо використовувати цей спосіб, а в разі потреби відновити його технічні подробиці.
Ознайомившись раз із наведеною нижче таблицею, що показує зміну останніх цифр чисел, піднесених до різних степенів, ви зможете свідомо використовувати цей спосіб, а в разі потреби відновити його технічні подробиці.
Зображення
Таким чином остання цифра числа, піднесеного до кожного четвертого степеня ( наприклад, А1, А5, А9 і т.д.), збігається.
На підставі цього спостереження зазначимо таке:
1) Якщо підкореневе число закінчується на 5, то ця цифра і є відповіддю за будь-якої остачі від ділення.
Sqrt7 (78125) = 5.
В інших випадках ділимо показник кореня на 4 і досліджуємо остачу від ділення (функція Mod):
2) Mod (n,4) = 1. Якщо ця остача дорівнює 1, то остання цифра підкореневого виразу є відповіддю:
Sqrt 9 (40353607) = 7.
3) Mod (n,4) = 2. Якщо та сама остача дорівнює 2, то за останньою цифрою знаходять два числа, одне з яких є відповіддю.
При останній цифрі: 4 - це числа 2 або 8 (див. таблицю);
6 - числа 4 або 6;
9-3 або 7.
Як із пари чисел вибрати правильну відповідь, буде показано нижче.
4) Mod (n,4) = 3. У цьому випадку шуканий корінь дорівнює або останній цифрі підкореневого числа, або її доповненню до 10.
Sqrt7 (2187) = Sqrt11(177147) = Sqrt15(14348907) = 3.
5) Mod (n,4) = 0. Підкореневе число в цьому випадку закінчується на 4 або 6 (закінчення на 5 ми вже розглянули в першому випадку).
Якщо підкореневе число закінчується на: 6, то шуканий корінь - одне з парних чисел {2, 4, 6,8}; -на 1, то це одне з непарних чисел {1,3,7,9}.
Для остаточного визначення кореня користуються:
• ознаками подільності
Вибираючи між 4 і 6 або між 3 і 7, перевіряємо, чи ділиться число на 3 (якщо сума всіх цифр числа ділиться на 3, то так). Якщо ділиться, то корінь -3 або 6, інакше 7 або 4 відповідно;
• залежністю між кількістю цифр у підкореневому числі (Length) і значенням показника степеня (n)
Вибір між цифрами 2-4-8 і 3-9. {Length =< n/2, то А = {2, 3};
Sqrt12(4096) = 2 (4< 12:2); Якщо {n/2 < Length =< .75*n, то А = {4};
Sqrt7 (16384) = 4 (7:2 < 5 < .75 * 7) {0.75*n < Length, то А = {8, 9};
Sqrt7 (2097152 = 8 (.75 * 7 < 7).
Приклади:
Sqrt7(83543). 7:4 - остача 3. Підкореневе число закінчується на 3, => А = 3 або 7. Число 83543 (8 + 3 + 5 + 4 + 3 = 23) на 3 не ділиться. Відповідь: А = 7.
Sqrt8(65536). Mod (8,4) = 0 => А = {2, 4, 6, 8}. 83543 на 3 не ділиться і тому 6 виключаємо. Оскільки .75 * 8 = 6 > Length (83543) = 5, то А = 4.
На підставі цього спостереження зазначимо таке:
1) Якщо підкореневе число закінчується на 5, то ця цифра і є відповіддю за будь-якої остачі від ділення.
Sqrt7 (78125) = 5.
В інших випадках ділимо показник кореня на 4 і досліджуємо остачу від ділення (функція Mod):
2) Mod (n,4) = 1. Якщо ця остача дорівнює 1, то остання цифра підкореневого виразу є відповіддю:
Sqrt 9 (40353607) = 7.
3) Mod (n,4) = 2. Якщо та сама остача дорівнює 2, то за останньою цифрою знаходять два числа, одне з яких є відповіддю.
При останній цифрі: 4 - це числа 2 або 8 (див. таблицю);
6 - числа 4 або 6;
9-3 або 7.
Як із пари чисел вибрати правильну відповідь, буде показано нижче.
4) Mod (n,4) = 3. У цьому випадку шуканий корінь дорівнює або останній цифрі підкореневого числа, або її доповненню до 10.
Sqrt7 (2187) = Sqrt11(177147) = Sqrt15(14348907) = 3.
5) Mod (n,4) = 0. Підкореневе число в цьому випадку закінчується на 4 або 6 (закінчення на 5 ми вже розглянули в першому випадку).
Якщо підкореневе число закінчується на: 6, то шуканий корінь - одне з парних чисел {2, 4, 6,8}; -на 1, то це одне з непарних чисел {1,3,7,9}.
Для остаточного визначення кореня користуються:
• ознаками подільності
Вибираючи між 4 і 6 або між 3 і 7, перевіряємо, чи ділиться число на 3 (якщо сума всіх цифр числа ділиться на 3, то так). Якщо ділиться, то корінь -3 або 6, інакше 7 або 4 відповідно;
• залежністю між кількістю цифр у підкореневому числі (Length) і значенням показника степеня (n)
Вибір між цифрами 2-4-8 і 3-9. {Length =< n/2, то А = {2, 3};
Sqrt12(4096) = 2 (4< 12:2); Якщо {n/2 < Length =< .75*n, то А = {4};
Sqrt7 (16384) = 4 (7:2 < 5 < .75 * 7) {0.75*n < Length, то А = {8, 9};
Sqrt7 (2097152 = 8 (.75 * 7 < 7).
Приклади:
Sqrt7(83543). 7:4 - остача 3. Підкореневе число закінчується на 3, => А = 3 або 7. Число 83543 (8 + 3 + 5 + 4 + 3 = 23) на 3 не ділиться. Відповідь: А = 7.
Sqrt8(65536). Mod (8,4) = 0 => А = {2, 4, 6, 8}. 83543 на 3 не ділиться і тому 6 виключаємо. Оскільки .75 * 8 = 6 > Length (83543) = 5, то А = 4.