{Sqrt (А2)} Добування квадратного кореня з чотиризначного числа, що є повним квадратом.
Розглядаючи число, з якого належить добути квадратний корінь, можна оцінити шукане число, а іноді й одразу дати готову відповідь.
Так, розглядаючи два старші розряди числа 7056, ми одразу можемо точно визначити кількість десятків А:
802 = 6400 < 7056 < 8100 = 902.
Одиниці шуканого числа можна оцінити, пригадавши значення квадратів перших чисел натурального ряду:
12= 1; 22= 4; З2 = 9; 42 = 16; 52 = 25;
92 = 81; 82 = 64; 72 = 49; 62 = 36; 52 = 25.
Таким чином за останньою цифрою квадрата числа можна сказати з точністю до двох цифр, як воно
закінчується.
Чи можна визначити це закінчення однозначно? Звернімо увагу, що дві останні цифри квадратів чисел другого десятка (11-19) різні:
112 = 121; 122 = 144; 132 = 169;
142 = 196; 152 = 225; 162 = 256;
172 = 289; 182 = 324; 192 = 361.
Спробуймо скористатися цією обставиною. Розглянемо дві тотожності:
SQRT(a2) = (а2 - b2)/ (а + b) + b = а; (1)
SQRT(a2) = (а* - b2)/ (а - b) - b = а. (2)
Скажімо, що а + b = 100. Тоді обчислення квадратного кореня стає зовсім простим:
SQRT (7056) = ?
1) Якщо дві останні цифри А утворюють повний квадрат (наприклад, 49), то беремо це число за b, інакше (як у нашому випадку) намагаємося пригадати двозначне число, квадрат якого закінчувався б на ці дві цифри. При цьому спочатку ви можете покластися не на пригадування, а на впізнавання квадрата числа, що легше:
56 - квадрата не утворює;
156 - немає такого квадрата;
256 - це квадрат числа 16. Отже, b2 = 256, b = 16.
2) Далі треба застосувати одну з трьох формул, що пов'язують (а) і (b) залежно від величини (а) (а > 75; 75 > а > 50; 50 > а).
У нас перший випадок (а > 75), тому дотримуємося формули (1), де а + b = 100:
(а2 - b2)/100 = (7056 - 256) : 100 = 68.
Як бачите, це неважко: досить позбутися двох останніх знаків (а2) або, крім того, від кількості сотень а2 відняти кількість сотень b2.
3) До отриманого числа додаємо (b): а = 68 + b = 68 + 16 = 84.
4) Перевіримо себе за формулою (а+b = 100): а + b = 84 + 16 = 100 - правильно.
Це дає змогу переконатися, що ми використали в п. 2 потрібну формулу і не помилилися в іншому місці обчислень.
Для чисел 2500 < а2 <5625 (50 < а < 75) використовується формула:
SQRT(a2) = (а2- b2)/(а - b) - b = а, де а - b = 50
для чисел а2 < 2500 ( а < 25) -
SQRT(a2) =(а2- b2)/(а + b) + b = а, де а + b = 50
Приклади:
sqrt (3969) = ?
1) (502 = 2500 < 3969 < 5625 = 752) => 50 < а < 75.
(169= 132 = b2) => b = 13.
2) (а2- b2)/(а - b) = (3969 - 169) / 50 = 76 (множимо на 2 і ділимо на 100).
3) а = 76-b = 76- 13 = 63.
а - b = 63 - 13 = 50 - правильно.
sqrt (1296) = ?
1) (1296 < 2500 = 502) => а < 50
196 = 142 => b= 14.
2) (а2 - b2)/(а + b) = (1296 - 196)/50 = 22.
3) а = 22 + b = 22+ 14= 36; а + b = 36 + 14= 50.
sqrt (5776) = ?
1) (752 = 5625 < 5776) => а > 75.
Але квадрата числа від 1 до 19, що закінчується на 76, немає. Спробуймо подивитися квадрати чисел > 20, що закінчуються на 4 або 6 (оскільки 5776). Перше придатне - 242 = 576. b2 = 576; b = 24.
2) (5776 -576)/100 = 52.
3) а = 52 + 24 = 76; а + b = 76 + 24 = 100.
Розглядаючи число, з якого належить добути квадратний корінь, можна оцінити шукане число, а іноді й одразу дати готову відповідь.
Так, розглядаючи два старші розряди числа 7056, ми одразу можемо точно визначити кількість десятків А:
802 = 6400 < 7056 < 8100 = 902.
Одиниці шуканого числа можна оцінити, пригадавши значення квадратів перших чисел натурального ряду:
12= 1; 22= 4; З2 = 9; 42 = 16; 52 = 25;
92 = 81; 82 = 64; 72 = 49; 62 = 36; 52 = 25.
Таким чином за останньою цифрою квадрата числа можна сказати з точністю до двох цифр, як воно
закінчується.
Чи можна визначити це закінчення однозначно? Звернімо увагу, що дві останні цифри квадратів чисел другого десятка (11-19) різні:
112 = 121; 122 = 144; 132 = 169;
142 = 196; 152 = 225; 162 = 256;
172 = 289; 182 = 324; 192 = 361.
Спробуймо скористатися цією обставиною. Розглянемо дві тотожності:
SQRT(a2) = (а2 - b2)/ (а + b) + b = а; (1)
SQRT(a2) = (а* - b2)/ (а - b) - b = а. (2)
Скажімо, що а + b = 100. Тоді обчислення квадратного кореня стає зовсім простим:
SQRT (7056) = ?
1) Якщо дві останні цифри А утворюють повний квадрат (наприклад, 49), то беремо це число за b, інакше (як у нашому випадку) намагаємося пригадати двозначне число, квадрат якого закінчувався б на ці дві цифри. При цьому спочатку ви можете покластися не на пригадування, а на впізнавання квадрата числа, що легше:
56 - квадрата не утворює;
156 - немає такого квадрата;
256 - це квадрат числа 16. Отже, b2 = 256, b = 16.
2) Далі треба застосувати одну з трьох формул, що пов'язують (а) і (b) залежно від величини (а) (а > 75; 75 > а > 50; 50 > а).
У нас перший випадок (а > 75), тому дотримуємося формули (1), де а + b = 100:
(а2 - b2)/100 = (7056 - 256) : 100 = 68.
Як бачите, це неважко: досить позбутися двох останніх знаків (а2) або, крім того, від кількості сотень а2 відняти кількість сотень b2.
3) До отриманого числа додаємо (b): а = 68 + b = 68 + 16 = 84.
4) Перевіримо себе за формулою (а+b = 100): а + b = 84 + 16 = 100 - правильно.
Це дає змогу переконатися, що ми використали в п. 2 потрібну формулу і не помилилися в іншому місці обчислень.
Для чисел 2500 < а2 <5625 (50 < а < 75) використовується формула:
SQRT(a2) = (а2- b2)/(а - b) - b = а, де а - b = 50
для чисел а2 < 2500 ( а < 25) -
SQRT(a2) =(а2- b2)/(а + b) + b = а, де а + b = 50
Приклади:
sqrt (3969) = ?
1) (502 = 2500 < 3969 < 5625 = 752) => 50 < а < 75.
(169= 132 = b2) => b = 13.
2) (а2- b2)/(а - b) = (3969 - 169) / 50 = 76 (множимо на 2 і ділимо на 100).
3) а = 76-b = 76- 13 = 63.
а - b = 63 - 13 = 50 - правильно.
sqrt (1296) = ?
1) (1296 < 2500 = 502) => а < 50
196 = 142 => b= 14.
2) (а2 - b2)/(а + b) = (1296 - 196)/50 = 22.
3) а = 22 + b = 22+ 14= 36; а + b = 36 + 14= 50.
sqrt (5776) = ?
1) (752 = 5625 < 5776) => а > 75.
Але квадрата числа від 1 до 19, що закінчується на 76, немає. Спробуймо подивитися квадрати чисел > 20, що закінчуються на 4 або 6 (оскільки 5776). Перше придатне - 242 = 576. b2 = 576; b = 24.
2) (5776 -576)/100 = 52.
3) а = 52 + 24 = 76; а + b = 76 + 24 = 100.