«Ймовірність», або «шанс»,— це слово ви чуєте мало не щодня. Ось по радіо передають прогноз погоди на завтра: «Ймовірно, буде дощ». Ви можете сказати: «У мене мало шансів дожити до ста років». Учені теж часто вживають ці слова. Сейсмолога цікавить питання: яка ймовірність того, що наступного року в Південній Каліфорнії станеться землетрус такої-то сили? Фізик може запитати: з якою ймовірністю цей лічильник Гайгера зареєструє двадцять імпульсів за наступні десять секунд? Дипломата чи державного діяча хвилює питання: які шанси в цього кандидата бути обраним президентом? Ну а вас, звісно, цікавить: чи є шанс щось зрозуміти в цьому розділі?
Під ймовірністю ми розуміємо щось на кшталт припущення чи здогаду. Але чому й коли ми гадаємо? Це буває тоді, коли ми хочемо зробити якийсь висновок чи умовивід, але не маємо достатньо інформації чи знань, щоб зробити цілком певний висновок. От і доводиться гадати: може, так, а може, і не так, але більше схоже на те, що саме так. Дуже часто ми гадаємо, коли треба ухвалити якесь рішення, наприклад: «Чи брати мені сьогодні з собою плащ, чи не варто?» «На яку силу землетрусу маю я розраховувати будівлю, яку проєктую?» «Чи потрібно мені зробити надійніший захист?» «Чи слід мені змінювати свою позицію в майбутніх міжнародних переговорах?» «Чи йти мені сьогодні на лекцію?»
Іноді ми будуємо здогади тому, що хочемо, попри обмеженість своїх знань, сказати якомога більше про цю ситуацію. Адже, по суті, будь-яке узагальнення має характер здогаду. Будь-яка фізична теорія — це свого роду здогад. Але здогади теж бувають різні: хороші й погані, близькі й далекі від істини. Тому, як робити найкращі здогади, вчить нас теорія ймовірностей. Мова ймовірностей дає нам змогу кількісно говорити про такі ситуації, коли наслідок вельми й вельми невизначений, але про який усе ж у середньому можна щось сказати.
Розгляньмо класичний приклад із підкиданням монети. Якщо монета «чесна», то ми не можемо знати напевно, якою стороною вона впаде. Однак ми передчуваємо, що за великого числа підкидань число випадань «орла» й «решки» має бути приблизно однаковим. У цьому разі кажуть: ймовірність випадання «орла» дорівнює половині.
Ми можемо говорити про ймовірність наслідку лише тих спостережень, які збираємося провести в майбутньому. Під ймовірністю даного окремого результату спостереження розуміють очікувану нами найбільш правдоподібну частку наслідків із цим результатом за певного числа повторень спостереження. Уявіть собі спостереження, яке повторюється N разів, наприклад підкидання монети вгору. Якщо NA — наша оцінка найбільш правдоподібного числа випадань із результатом А, наприклад випадань «орла», то під ймовірністю Р(А) результату А ми розуміємо відношення
Зображення
Наше визначення потребує деяких коментарів. Насамперед ми говоримо про ймовірність якоїсь події лише тоді, коли вона є можливим результатом випробування, яке можна повторити. Але аж ніяк не ясно, чи має сенс таке питання: яка ймовірність того, що в цьому будинку оселився привид?
Ви, звісно, можете заперечити, що жодна ситуація не може повторитися достеменно точно. Це правда. Кожне нове спостереження мусить відбуватися принаймні в інший час або в іншому місці. З цього приводу я можу сказати лише одне: потрібно, щоб кожне «повторне» спостереження здавалося нам еквівалентним. Ми повинні принаймні припускати, що кожен новий результат спостереження виник з рівноцінних початкових умов і з того самого рівня початкових знань. Останнє особливо важливе. (Якщо ви зазирнули в карти супротивника, то, звісно, ваші прогнози щодо шансів на виграш будуть зовсім іншими, ніж якби ви грали чесно!)
Хочу зазначити, що я не збираюся розглядати значення N і NA в (6.1) лише як результат якихось дійсних спостережень. Число NA — це просто найкраща оцінка того, що могло б статися за уявних спостережень. Тому ймовірність залежить від наших знань і здатності бути пророком, по суті — від нашого здорового глузду! На щастя, здоровий глузд не такий уже суб'єктивний, як це здається на перший погляд. Здоровий глузд властивий багатьом людям, і їхні судження про ступінь правдоподібності тієї чи іншої події здебільшого збігаються. Однак ймовірність усе ж не є «абсолютним» числом. Оскільки певною мірою вона залежить від ступеня нашого невігластва, остільки зі зміною наших знань вона може мінятися.
Зазначу ще одну «суб'єктивну» сторону нашого визначення ймовірності. Ми говорили, що NA — це «наша оцінка найбільш ймовірного числа випадків». При цьому, звісно, ми не сподівалися, що число потрібних нам випадків буде точно дорівнювати NA, але воно має бути десь близько до NA; це число ймовірніше за будь-яке інше. Якщо підкидати монету вгору 30 разів, то навряд чи можна очікувати, що число випадань «орла» буде точно 15; швидше це буде якесь число близько 15, може, 12, 13, 14, 15, 16 або 17. Однак якщо потрібно вибрати з цих чисел якесь одне число, то ми б вирішили, що число 15 найбільш правдоподібне. Тому ми і пишемо, що Р (орел) = 0,5.
Але чому все ж число 15 правдоподібніше за всі інші? Можна міркувати так: якщо найбільш ймовірне число випадань «орла» дорівнює N0, а повне число підкидань N, то найбільш ймовірне число випадань «решки» дорівнює N — N0. (Адже передбачається, що при кожному підкиданні має випасти лише або «орел», або «решка» і нічого іншого!) Але якщо монета «чесна», то немає підстав думати, що число випадань «орла», наприклад, має бути більшим за число випадань «решки»? Тож поки в нас немає підстав сумніватися в чесності того, хто підкидає монету, ми повинні вважати, що NP=N0, а отже, NP = N0 = N/2, або Р(орел) = Р(решка) = 0,5.
Наші міркування можна узагальнити на будь-яку ситуацію, у якій можливі m різних, але «рівноцінних» (тобто рівноймовірних) результатів спостереження. Якщо спостереження може привести до m різних результатів і ні до чого більше і якщо в нас немає підстав думати, що один із результатів має перевагу перед іншими, то ймовірність кожного окремого наслідку спостереження А дорівнює 1/m, тобто Р(А) = 1/m.
Нехай, наприклад, у закритій скриньці лежать сім куль різного кольору і ми навмання, тобто не дивлячись, беремо одну з них. Ймовірність того, що в нашій руці опиниться червона куля, дорівнює 1/7. Ймовірність того, що ми з колоди в 36 карт витягнемо даму пік, дорівнює 1/36, так само як і випадання двох шісток при киданні двох гральних костей.
У розд. 5 ми визначали розмір ядра за допомогою площі, яку воно затінює, тобто так званого ефективного перерізу. По суті, йшлося про ймовірності. Якщо ми «обстрілюємо» швидкими частинками тонку пластинку речовини, то є певна ймовірність, що вони пройдуть крізь неї, не зачепивши ядер, однак з певною ймовірністю вони можуть влучити в ядро. (Адже ядра такі малі, що ми не можемо їх бачити, ми, отже, не можемо прицілитися, і «стрільба» ведеться наосліп.) Якщо в нашій пластинці є n атомів і ядро кожного з них затінює площу a, то повна площа, затінена ядрами, дорівнюватиме na. За великого числа N випадкових пострілів ми очікуємо, що число влучень Nc так відноситиметься до повного числа пострілів, як затінена ядрами площа відноситься до повної площі пластинки:
Зображення
Тому можна сказати, що ймовірність влучення кожної з вистріляних частинок у ядро під час проходження крізь пластинку дорівнюватиме
Зображення
де n/A — просто число атомів, що припадають на одиницю площі пластинки.