Вивчаючи осцилятор, нам доведеться скористатися однією з найпрекрасніших, а мабуть, і найдивовижнішою з формул, які можна знайти в математиці. Фізик зазвичай розправляється з цією формулою десь за дві хвилини, навіть не звернувши на неї уваги. Але ж наука не тільки приносить практичну користь, а й служить джерелом задоволення, тому не поспішаймо проходити мимо цієї коштовності, а подивимося, як вона виглядає у чудовому оточенні, яке зазвичай називають елементарною алгеброю.
Ви можете запитати: «Навіщо потрібна математика в книзі з фізики?» Ось кілька поважних причин: перш за все математика— дуже важливий робочий інструмент, але цим можна виправдати витрату лише двох хвилин на виведення цієї формули. Однак під час вивчення теоретичної фізики ми виявляємо, що всі фізичні закони можна записати у вигляді математичних формул, і саме це надає законам простоти й краси. Отже, глибоке розуміння математичних співвідношень зрештою необхідне для розуміння природи. Але головна причина — це краса самої теми: адже хоча люди розрізали природу на багато кусків і продовжують кромсати її, вивчаючи дуже багато предметів на різних факультетах, такий поділ штучний, і ми завжди отримуватимемо насолоду, збираючи окремі куски разом.
Ще одна причина, з якої варто зайнятися алгеброю глибше: хоча багато хто з вас уже знайомився з алгеброю в середній школі, це було лише першим знайомством, і багато формул ще незвичні, тому варто ще раз згадати алгебру, щоб не витрачати на формули стільки ж сил, скільки їх піде на вивчення самої фізики.
Те, чим ми займемося, з погляду математики, не буде справжньою алгеброю. Математика цікавить головним чином те, як викласти те чи інше математичне твердження і які припущення обов'язкові при виведенні теореми, а які ні. Для нас важливіший результат доведення. Наприклад, теорема Піфагора цікава для нас тому, що в ній повідомляється, що сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи; це дуже цікавий факт, і ми будемо користуватися ним, не турбуючись про те, чи справді це теорема, доведена Піфагором, чи просто аксіома. У тому самому дусі ми викладемо елементарну алгебру, по можливості чисто якісно. Ми кажемо «елементарна алгебра» тому, що існує галузь математики, звана вищою алгеброю, де може виявитися неправильним, що аb = bа, але такими речами ми займатися не будемо.
Вивчення алгебри почнемо з середини. Припустимо, що нам уже відомо, що існують цілі числа, що є нуль і що означає збільшити число на одиницю. Не кажіть, будь ласка: «От так середина!», бо для математика це саме середина, адже він знає теорію множин і може вивести всі ці властивості цілих чисел. Але ми не будемо вторгатися в галузь філософії математики та математичної логіки, а обмежимося припущенням, що нам відомі цілі числа і ми вміємо рахувати. Якщо взяти ціле число а і додати до нього b разів по одиниці, ми отримаємо число а+Ъ; цим визначається додавання цілих чисел.
Визначивши додавання, зробимо ось що: почнемо з нуля і додамо до нього bраз число а; таким чином ми визначимо множення цілих чисел і назвемо результат добутком а на b.
Тепер можна виконати ряд послідовних множень: якщо помножити одиницю b разів на число а, то ми піднесемо а до степеня b і запишемо результат у вигляді аb. Виходячи з цих визначень, легко довести такі співвідношення:
Зображення
Ці результати добре відомі, ми не хочемо довго на них зупинятися, а виписані вони більше для порядку. Звісно, 1 і 0 мають особливі властивості, наприклад а+0=а, а*1=а, і а в першому степені дорівнює а.
Складаючи таблицю формул (22.1), ми користувалися такими властивостями, як неперервність і відношення порядку; дати їм визначення дуже важко: для цього створено цілу науку. Крім того, ми виписали, звісно, надто багато «правил»; деякі з цих правил можна вивести з інших, але ми не будемо на цьому зупинятися.