Нехай маємо два числа X і Y та їхні доповнення а і b до 10n; X=10n-a; Y=10n-b.
Тоді X*Y = (10n - а)*(10n - b) = (10n - а - b)*10n + + а*b = (Х-b) * 10n + a*b = (Y - а) * 10n + а*b.
Якщо а і b малі, це може істотно спростити наші обчислення. Приклад:
94 * 97:
0) n= 2(тобто 102); а = 100 - 94 = 6; b = 100-97 = 3;
1) З будь-якого множника віднімаємо доповнення іншого множника:
94 - (100 - 97) = 97 - (100 - 94) = 91;
2) Знаходимо добуток доповнень: 3*6 = 18;
3) До підсумку п.1 додамо підсумок п.2, з урахуванням розрядності. У цьому випадку:
94 * 97 = 91 * 100 + 18 = 9118. Добутки доповнень можуть займати менше або більше, ніж n позицій:
99 * 98 = (98 - 1) * 100 + 1 *2 = 9700 + 2 = 9702; 87 * 92 = (87 - 8) * 100 + 13*8 = 7900 +104 = 8004; 115 * 107= [115 - (-7)]* 100 + (-15)*(-7) = = 12200+ 105= 12305.
Доповнення можуть мати різні знаки :
105 * 97= [97-(-5)]* 100+ (-5)* 3 = 10200 - 15= 10185;
1009 * 998 = 1007 * 1000 + (-9)*2 = 1006982;
У ряді випадків цей спосіб стає легким у застосуванні після найпростішої підготовки вихідних множників:
1003 * 97 = (1003 * 970) : 10 = (973000-90) : 10= 97291;
0,997 * 0,998 = 10-6 *(997*998) = 0,995006;
0,996 * 0,98 = 10-6 * (996*980) = 0,976080. Проте як бути, якщо числа близькі до А*10n, де А - ціле > 1 ? (Легко показати, що при X = А*10n -а; Y = А*10n - b виходить X*Y = (X - b)* A*10n + ab = = (Y -a)*A*10n + ab).
У цьому разі порядок дій лише незначно доповнюється. Приклад:
198 * 197
1) Знаходимо доповнення кожного з множників до найближчого числа А*10n = 200, тут це 2 і 3;
2) з якого-небудь множника віднімаємо доповнення іншого множника: 198 - 3= 197 -2 = 195;
3) отриманий підсумок (п. 2) множимо на А: 195 * 2 = 390;
4) до підсумку (п. 3) алгебраїчно (з урахуванням знака) і розрядності (n) додаємо добуток доповнень:
198 * 197 = 390 * 100 + 2*3 = 39000 + 6 = 39006. Застосування способу може бути цікавим і для двоцифрових чисел: Приклад:
61 * 83
1) А = 6; n= 1; а= 1; b = 23;
2) (83-(-1)) * 6 = 84 * 6 = 504;
3) 504 * 10 + (-1)*(-23) = 5040 + 23 = 5063.
А ось 71 * 69 або 111 * 89 тощо краще все ж обчислювати за іншою формулою: (а+b) * (а-b) = а2 - b2. тобто як 702-1. Звісно, багато задач усного рахунку можна розв'язати кількома способами. Побачити найбільш придатний із них - зазвичай завдання творче.
Тоді X*Y = (10n - а)*(10n - b) = (10n - а - b)*10n + + а*b = (Х-b) * 10n + a*b = (Y - а) * 10n + а*b.
Якщо а і b малі, це може істотно спростити наші обчислення. Приклад:
94 * 97:
0) n= 2(тобто 102); а = 100 - 94 = 6; b = 100-97 = 3;
1) З будь-якого множника віднімаємо доповнення іншого множника:
94 - (100 - 97) = 97 - (100 - 94) = 91;
2) Знаходимо добуток доповнень: 3*6 = 18;
3) До підсумку п.1 додамо підсумок п.2, з урахуванням розрядності. У цьому випадку:
94 * 97 = 91 * 100 + 18 = 9118. Добутки доповнень можуть займати менше або більше, ніж n позицій:
99 * 98 = (98 - 1) * 100 + 1 *2 = 9700 + 2 = 9702; 87 * 92 = (87 - 8) * 100 + 13*8 = 7900 +104 = 8004; 115 * 107= [115 - (-7)]* 100 + (-15)*(-7) = = 12200+ 105= 12305.
Доповнення можуть мати різні знаки :
105 * 97= [97-(-5)]* 100+ (-5)* 3 = 10200 - 15= 10185;
1009 * 998 = 1007 * 1000 + (-9)*2 = 1006982;
У ряді випадків цей спосіб стає легким у застосуванні після найпростішої підготовки вихідних множників:
1003 * 97 = (1003 * 970) : 10 = (973000-90) : 10= 97291;
0,997 * 0,998 = 10-6 *(997*998) = 0,995006;
0,996 * 0,98 = 10-6 * (996*980) = 0,976080. Проте як бути, якщо числа близькі до А*10n, де А - ціле > 1 ? (Легко показати, що при X = А*10n -а; Y = А*10n - b виходить X*Y = (X - b)* A*10n + ab = = (Y -a)*A*10n + ab).
У цьому разі порядок дій лише незначно доповнюється. Приклад:
198 * 197
1) Знаходимо доповнення кожного з множників до найближчого числа А*10n = 200, тут це 2 і 3;
2) з якого-небудь множника віднімаємо доповнення іншого множника: 198 - 3= 197 -2 = 195;
3) отриманий підсумок (п. 2) множимо на А: 195 * 2 = 390;
4) до підсумку (п. 3) алгебраїчно (з урахуванням знака) і розрядності (n) додаємо добуток доповнень:
198 * 197 = 390 * 100 + 2*3 = 39000 + 6 = 39006. Застосування способу може бути цікавим і для двоцифрових чисел: Приклад:
61 * 83
1) А = 6; n= 1; а= 1; b = 23;
2) (83-(-1)) * 6 = 84 * 6 = 504;
3) 504 * 10 + (-1)*(-23) = 5040 + 23 = 5063.
А ось 71 * 69 або 111 * 89 тощо краще все ж обчислювати за іншою формулою: (а+b) * (а-b) = а2 - b2. тобто як 702-1. Звісно, багато задач усного рахунку можна розв'язати кількома способами. Побачити найбільш придатний із них - зазвичай завдання творче.