Інтенсивність відбитого світла

Розглянемо тут кількісну залежність коефіцієнта відбиття від кута падіння. На фіг. 33.6, а показано пучок світла, що падає на поверхню скляної пластинки, від якої він частково відбивається, а решта його частини заломлюється і йде вглиб скла. Нехай падаючий промінь має одиничну амплітуду і лінійно поляризований перпендикулярно площині рисунка. Позначимо амплітуду відбитої хвилі літерою b, а амплітуду заломленої — літерою а. Відбита і заломлена хвилі будуть, зрозуміло, лінійно поляризовані, а напрямки електричного поля в падаючій, відбитій і заломленій хвилях паралельні один одному. На фіг. 33.6, б показано подібну ситуацію, але в припущенні, що падаючий промінь поляризований у площині рисунка. Тут через В і А позначено відповідно амплітуди відбитої і заломленої хвиль. Ми хочемо обчислити інтенсивності відбитого променя в обох випадках, наведених на фіг. 33.6. Як ми вже знаємо, у випадку, показаному на фіг. 33.6, б, відбита хвиля не виникає, якщо кут між відбитим і заломленим променями прямий, але нам хотілося б отримати кількісний результат — точну формулу для амплітуд В і b як функцій кута падіння i. Корисно засвоїти такий принцип. Індуковані в склі струми генерують дві хвилі. Насамперед вони створюють хвилю відбиття. Далі, якби в склі струмів не було, падаюча хвиля пройшла б крізь нього наскрізь, не змінюючи напрямку. Згадаймо, що всі заряди у Всесвіті створюють якесь результуюче поле. Джерело, що створило падаючий пучок, дає поле одиничної амплітуди, яке саме собою мало б проходити всередину скла по пунктирній лінії (див. фіг. 33.6). Але це поле всередині скла не спостерігається, а отже, струми, що збуджуються в склі, повинні випромінювати поле з амплітудою —1 вздовж тієї самої пунктирної лінії. ЦЕ дозволяє обчислити амплітуди заломлених хвиль а і А. З фіг. 33.6, а видно, що поле з амплітудою b створюється рухом зарядів скла, а всередині скла цей самий рух дає поле з амплітудою а; отже, амплітуда b пропорційна амплітуді а. Далі, якщо відволіктися від напрямку поляризації, можна було б припустити, що відношення В/А дорівнює відношенню b/а, оскільки обидві схеми на фіг. 33.6 можна вважати однаковими. Насправді це не зовсім правильно, тому що на фіг. 33.6, б, на відміну від ситуації, зображеної на фіг. 33.6, а, напрямки поляризацій не паралельні один одному. У створенні амплітуди В ефективно бере участь лише компонента А, паралельна В, тобто Acos(i+r). Правильне співвідношення пропорційності виглядає тому так:

Тепер трохи схитруємо. Як ми знаємо, на обох рисунках фіг. 33.6 електричне поле в склі викликає рух зарядів, який генерує поле з амплітудою, що дорівнює —1, поляризоване точно так само, як і в падаючому промені, і поширюване вздовж пунктирної лінії. Але з фіг. 33.6, б видно, що тільки перпендикулярна до пунктирної лінії компонента А дає полю необхідну поляризацію, тоді як на фіг. 33.6, а у створенні поля на пунктирній лінії ефективно бере участь уся амплітуда а, оскільки її поляризація паралельна поляризації поля з амплітудою —1. Отже, справедливе співвідношення

оскільки обидві амплітуди в лівій частині (33.2) створюють хвилі з амплітудою —1.
Розділивши (33.1) на (33.2), отримуємо

Перевіримо правильність цього результату на вже відомому нам факті. Поклавши (i+r) =90°, з (33.3) отримаємо B=0, що й було знайдено свого часу Брюстером; таким чином, наш результат принаймні не містить очевидної помилки. За припущенням, падаюча хвиля має одиничну амплітуду; тоді |В|²/1² є коефіцієнт відбиття променів, поляризованих у площині падіння, а |b|²/1² — коефіцієнт відбиття променів, поляризованих перпендикулярно площині падіння. Відношення цих двох коефіцієнтів визначається за допомогою формули (33.3). А тепер сотворімо диво і обчислимо не тільки відношення, а й кожен коефіцієнт |В|² і |b|² окремо! Із закону збереження енергії випливає, що енергія заломленої хвилі повинна дорівнювати енергії падаючої хвилі мінус енергія відбитої хвилі, тобто 1– |В|² в одному випадку і 1–|b|² — в іншому. Більше того, енергія світла, що пройшло всередину скла у випадку, показаному на фіг. 33.6, а, і така сама енергія у випадку фіг. 33.6, б відносяться як квадрати амплітуд заломлених хвиль: |A|²/|а|². Виникає питання, чи можливо обчислити енергію хвилі в склі, якщо крім енергії електричного поля, взагалі кажучи, є ще й енергія руху атомів. Однак зрозуміло, що будь-який внесок у повну енергію повинен бути пропорційним квадрату амплітуди електричного поля. Отже,

Підставимо сюди співвідношення (33.2) і виключимо A/a у написаному виразі, а величину В виразимо через b за допомогою формули (33.3):

Тут невідомою величиною залишається тільки b. Розв'язуючи рівняння відносно |b|² , отримуємо

і, скориставшись (33.3), знаходимо

Таким чином, ми знайшли коефіцієнт відбиття |b|² для падаючої хвилі, поляризованої перпендикулярно площині падіння, і коефіцієнт відбиття |В|² для хвилі, поляризованої в площині падіння! Використовуючи подібні прийоми доведення, можна піти далі й вивести, що b дійсне. Для доведення розглянемо випадок, коли світло приходить одночасно з обох боків поверхні скла (ситуація, важко здійсненна на досліді, але цікава в теоретичному відношенні). Аналізуючи цей загальний випадок, можна переконатися в дійсності величини b, звідки випливає, що b = ±sin(i—r)/sin(i+r). Якщо взяти дуже тонкий шар, у якому відбиття відбувається від обох поверхонь, і обчислити інтенсивність відбитого світла, то можна встановити навіть знак b. Частка світла, відбитого тонким шаром, нам відома, оскільки ми знаємо струм, що генерується в такому шарі, і навіть отримали формулу для поля, створюваного струмом. Ці аргументи приводять до співвідношень

Формули (33.8) для коефіцієнтів відбиття як функцій кутів падіння і заломлення називаються формулами Френеля. В границі, коли кути i і r прямують до нуля, тобто у випадку падіння по нормалі, ми отримуємо В² ≈ b² ≈ (i—r)²/(i+ r)² для обох поляризацій, оскільки і синуси, і тангенси за цих умов практично дорівнюють кутам. Але, як ми вже знаємо, sin i/sin r = n, а для малих кутів i/r ≈ n. Звідси зовсім просто вивести, що коефіцієнт відбиття у випадку падіння по нормалі дорівнює

Цікаво обчислити, наприклад, коефіцієнт відбиття для води. У цьому випадку n = ⁴/₃ і коефіцієнт відбиття дорівнює (¹/₇)² ≈ 2%. При падінні променів по нормалі до поверхні від води відбивається лише 2% усієї енергії.