Давайте розберемося в наших машинах краще. Одна властивість усіх машин нам уже відома. Якщо в машині є тертя, то неминучі втрати енергії. Найкращою машиною була б машина взагалі без тертя. Припустімо, що ми маємо справу з тими самими ідеальними машинами, що й при вивченні закону збереження енергії, тобто машинами, яким зовсім не треба долати тертя.
А тепер обговоримо аналог руху без тертя — «позбавлене тертя» перенесення тепла. Якщо ми прикладемо гаряче тіло до тіла з нижчою температурою, то виникне тепловий потік. Тепло тече від гарячого тіла до холодного, і щоб повернути потік назад, потрібно злегка змінити температуру якогось одного тіла. Але машина, позбавлена тертя, буде під дією як завгодно малої сили слухняно рухатися туди, куди їй наказують, а коли сила діятиме в інший бік, охоче піде за нею. Аналогом машини без тертя може слугувати пристрій, у якому нескінченно малі зміни температури можуть повернути тепловий потік назад. Якщо різниця температур скінченна, то це неможливо. Але якщо тепло тече між двома тілами практично при однаковій температурі і досить нескінченно малої зміни температури, щоб потік повернув у будь-якому напрямку, то потік вважається оборотним (фіг. 44.4). Якщо нагріти злегка ліву половину тіла, тепло потече праворуч; якщо трошки охолодити ліву половину, тепло попрямує ліворуч. Отже, виявилося, що ідеальною машиною є так звана оборотна машина, в якій будь-який процес оборотний у тому сенсі, що найменші зміни умов роботи можуть змусити машину працювати в зворотному напрямку. Це означає, що машина не повинна ніде мати тертя; в такій машині не повинно бути також місця, де тепло резервуара або пара котла прямо стикалися б із якимись холоднішими або гарячішими частинами.
Займемося ідеальною машиною, в якій оборотні всі процеси. Щоб показати, що створення такої машини в принципі можливе, ми просто наведемо приклад робочого циклу, причому нас не цікавить можливість його практичної реалізації, достатньо того, що з погляду Карно він оборотний.
Припустімо, що в циліндрі, обладнаному поршнем без тертя, є газ. Це не обов'язково ідеальний газ. Вміст циліндра взагалі не зобов'язаний бути газом. Але для визначеності будемо вважати, що в циліндрі ідеальний газ. Припустімо ще, що є дві теплові подушки Т1 і Т2— два дуже великих тіла, що підтримуються при визначених температурах Т1 і Т2 (фіг. 44.5). Будемо вважати, що Т1 більше за Т2. Для початку нагріємо газ і, поклавши циліндр на подушку T1, дозволимо газу розширитися. Нехай у міру притоку тепла в газ поршень дуже повільно висувається з циліндра. Тоді можна поручитися, що температура газу не буде сильно відхилятися від Т1. Якщо висмикнути поршень дуже швидко, температура в циліндрі може впасти значно нижче Т1, і процес уже не можна буде вважати повністю оборотним. Якщо ж ми будемо повільно витягувати поршень, температура газу залишиться близькою до температури Т1. З іншого боку, якщо поршень повільно вдвигати назад у циліндр, температура стане лише трохи вищою за температуру Т1, і тепло потече назад. Ви бачите, що таке ізотермічне (при постійній температурі) розширення може бути оборотним процесом, якщо тільки виконувати його повільно й обережно.
Щоб краще зрозуміти, що відбувається, намалюємо криву залежності тиску газу від його об'єму (фіг. 44.6). Коли газ розширюється, його тиск падає. Крива 1 показує, як змінюються об'єм і тиск, якщо в циліндрі підтримується постійна температура Т1. Для ідеального газу ця крива описується рівнянням PV=NkT1. Під час ізотермічного розширення в міру збільшення об'єму тиск падає, поки ми не зупинимося в точці b. За цей час газ забере з резервуара тепло Q1; адже ми вже знаємо, що якби газ розширювався, не стикаючись з резервуаром, він би охолов. Отже, ми закінчили розширення в точці b. Давайте тепер знімемо циліндр з резервуара і продовжимо розширення. Але тепер теплу вже нізвідки взятися. І знову ми повільно висуваємо поршень, тож немає причини, чому б процес міг бути необоротним. Звісно, ми знову припускаємо, що тертя немає. Газ продовжує розширюватися, і температура падає, бо зв'язок із джерелами тепла перервано.
Будемо розширювати газ так, щоб розширення описувалося кривою 2, доти, поки ми не досягнемо точки c, де температура впаде до Т2. Таке розширення без притоку тепла називається адіабатичним. Ми вже знаємо, що у випадку ідеального газу крива 2 має вигляд PVγ=const, де γ — стала, більша за одиницю; тому адіабатична крива падає крутіше за ізотермічну. Якщо температура газу в циліндрі досягла Т2, то, поклавши циліндр на другу теплову подушку, ми не ризикуємо викликати температурних змін. Тепер можна повільно стиснути газ, просуваючись по кривій 3, причому циліндр стикається з резервуаром при температурі Т2 (див. фіг. 44.5, крок 2). Оскільки циліндр стикається з резервуаром, його температура не може підвищитися, але газу доведеться віддати резервуару тепло Q2 при температурі Т2. Просунувшись по кривій 3 до точки d, ми знову знімемо циліндр з теплової подушки при температурі Т2 і продовжуємо стискати газ. Цього разу ми не будемо відбирати у газу тепло. При цьому підніметься температура, а тиск піде по кривій 4. Якщо ми старанно виконаємо всі етапи, то повернемося до вихідної точки а при температурі Т1 і зможемо повторити цикл.
Судячи з цієї діаграми, газ здійснив повний цикл, відібравши за цей час тепло Q1 при температурі T1 і віддавши тепло Q2 при температурі Т2. Цей цикл оборотний, і тому ми можемо крок за кроком пройти весь шлях у зворотному напрямку. Ми могли б піти назад, а не вперед, могли б почати рух із точки а при температурі T1, рухатися по кривій 4, потім поглинути тепло Q2 при температурі Т2 (для цього треба весь час висувати поршень) і т. д., поки цикл не буде завершено. Якщо ми здійснювали цикл в одному напрямку, то змусили газ працювати; якщо ж нам захотілося повернути назад, то доведеться попрацювати самим.
До речі, легко порахувати повну роботу. Повна робота, виконувана при розширенні, дорівнює добутку тиску на зміну об'єму: ∫PdV. На нашій діаграмі ми відкладали Р вертикально, а V горизонтально. Якщо позначати вертикальну відстань буквою у, а горизонтальну буквою х, то ми отримаємо інтеграл ∫ydx, а це — площа під кривою. Таким чином, площа під кожною з пронумерованих кривих вимірює роботу, виконану або газом, або нами за відповідний етап циклу. Легко зрозуміти, що чистий вихід роботи дорівнює площі всередині кривих.
Раз уже ми навели приклад однієї оборотної машини, то можна припустити, що можливе існування й інших таких самих пристроїв. Нехай оборотна машина А забирає Q1 при T1, виконує роботу W і повертає якусь кількість тепла при температурі Т2. Припустімо, що в нас є ще одна машина В — творіння рук людини, уже сконструйована, а може бути, ще й не винайдена. Можна взяти парову машину, колесо з гумовими спицями — словом, що завгодно. Нас навіть не цікавить, оборотна ця машина чи ні. Важливо тільки, щоб вона забирала тепло Q1 при температурі T1 і повертала частину цього тепла при нижчій температурі Т2. Припустімо, що машина В виконує якусь роботу W′. Тепер покажемо, що W′ не може бути більшою за W; немає такої машини, яка працювала б краще, ніж оборотна. Але чому? Припустімо, що W′ більша за W. Тоді ми можемо забрати тепло Q1 при температурі Т1 і віддати його машині В. Ця машина виконає роботу W′ і віддасть якусь кількість тепла (неважливо яку) резервуару з температурою Т2. Після цього ми можемо розпорядитися якоюсь частиною роботи W′, яку ми вважаємо більшою за W. Прибережемо поки що частину роботи W, а решту W′—W використаємо з користю для себе (фіг. 44.7). Маючи роботу W, можна запустити машину А у зворотному напрямку, адже це — оборотна машина. При цьому вона поглине якусь кількість тепла з резервуара з температурою Т2, але натомість поверне тепло Q1 резервуару при температурі Т1. Яким є чистий результат цього подвійного циклу? Ми повернули все до вихідного стану і виконали додаткову роботу W′—W. Справа звелася до того, що ми видобули енергію з резервуара з температурою Т2! Тепло Q1, взяте з резервуара з температурою Т1, було акуратно повернуто. Раз це тепло все одно повертається, то як резервуар з температурою Т1 можна взяти щось поменше за океан і укласти цей пристрій усередину складеної машини А +В. Чистим результатом циклу такої машини буде вилучення з резервуара при температурі Т2 тепла W′—W і перетворення його на роботу. Але видобування корисної роботи з резервуара при незмінній температурі без інших змін заборонено постулатом Карно. Цього не можна зробити. Таким чином, не існує таких машин, які видобули б якусь кількість тепла з резервуара при температурі Т1, повернули б якусь його частину при температурі Т2 і виконали б більшу роботу, ніж оборотна машина, що працює при тих самих температурних умовах.
Припустімо тепер, що машина В теж оборотна. Тоді, звісно, не тільки W′ не більша за W, а й W не більша за W′. Щоб довести це, треба просто обернути попередні аргументи. Отже, якщо обидві машини оборотні, то вони повинні виконувати однакову роботу, і ми дійшли блискучого висновку Карно: якщо машина оборотна, то байдуже, як вона примудряється перетворювати тепло на роботу. Робота, виконана машиною, якщо тільки машина поглинає певну кількість тепла при температурі Т1 і повертає якусь її частину при температурі Т2, не залежить від устрою машини. Так уже влаштований світ, і від окремих властивостей машини це не залежить.
Якби ми знайшли закон, що визначає роботу, виконувану при вилученні тепла Q1 при температурі Т1 і поверненні частини цього тепла при температурі Т2, то ця величина була б універсальною сталою, що не залежить від властивостей речовини. Звісно, якщо нам відомі властивості якоїсь речовини, ми можемо обчислити величину, яка нас цікавить. Після цього ми матимемо право заявити, що всі інші речовини, якщо з їхньою допомогою побудувати оборотну машину, виконають точно таку саму роботу. Такою є основна ідея, ключ, за допомогою якого ми можемо знайти наступні співвідношення. Наприклад, ми хочемо дізнатися, наскільки гума стискається при нагріванні і наскільки вона охолоджується, коли ми дозволяємо їй стиснутися. Припустімо, що ми взяли гуму як робочу речовину оборотної машини і виконали оборотний цикл. Чистий результат, повна виконана робота, — це універсальна функція, велика функція, що не залежить від властивостей речовини. Таким чином, ми переконуємося, що є щось, що обмежує певною мірою розмаїття властивостей речовини. Ми не можемо зробити ці властивості якими захочемо, не можемо винайти речовину, яка, будучи використаною в тепловій машині, виконала б за оборотний цикл роботу більшу за допустиму. Цей принцип, це обмеження, — єдине реальне правило, яке можна вивести з термодинаміки.
А тепер обговоримо аналог руху без тертя — «позбавлене тертя» перенесення тепла. Якщо ми прикладемо гаряче тіло до тіла з нижчою температурою, то виникне тепловий потік. Тепло тече від гарячого тіла до холодного, і щоб повернути потік назад, потрібно злегка змінити температуру якогось одного тіла. Але машина, позбавлена тертя, буде під дією як завгодно малої сили слухняно рухатися туди, куди їй наказують, а коли сила діятиме в інший бік, охоче піде за нею. Аналогом машини без тертя може слугувати пристрій, у якому нескінченно малі зміни температури можуть повернути тепловий потік назад. Якщо різниця температур скінченна, то це неможливо. Але якщо тепло тече між двома тілами практично при однаковій температурі і досить нескінченно малої зміни температури, щоб потік повернув у будь-якому напрямку, то потік вважається оборотним (фіг. 44.4). Якщо нагріти злегка ліву половину тіла, тепло потече праворуч; якщо трошки охолодити ліву половину, тепло попрямує ліворуч. Отже, виявилося, що ідеальною машиною є так звана оборотна машина, в якій будь-який процес оборотний у тому сенсі, що найменші зміни умов роботи можуть змусити машину працювати в зворотному напрямку. Це означає, що машина не повинна ніде мати тертя; в такій машині не повинно бути також місця, де тепло резервуара або пара котла прямо стикалися б із якимись холоднішими або гарячішими частинами.
Займемося ідеальною машиною, в якій оборотні всі процеси. Щоб показати, що створення такої машини в принципі можливе, ми просто наведемо приклад робочого циклу, причому нас не цікавить можливість його практичної реалізації, достатньо того, що з погляду Карно він оборотний.
Припустімо, що в циліндрі, обладнаному поршнем без тертя, є газ. Це не обов'язково ідеальний газ. Вміст циліндра взагалі не зобов'язаний бути газом. Але для визначеності будемо вважати, що в циліндрі ідеальний газ. Припустімо ще, що є дві теплові подушки Т1 і Т2— два дуже великих тіла, що підтримуються при визначених температурах Т1 і Т2 (фіг. 44.5). Будемо вважати, що Т1 більше за Т2. Для початку нагріємо газ і, поклавши циліндр на подушку T1, дозволимо газу розширитися. Нехай у міру притоку тепла в газ поршень дуже повільно висувається з циліндра. Тоді можна поручитися, що температура газу не буде сильно відхилятися від Т1. Якщо висмикнути поршень дуже швидко, температура в циліндрі може впасти значно нижче Т1, і процес уже не можна буде вважати повністю оборотним. Якщо ж ми будемо повільно витягувати поршень, температура газу залишиться близькою до температури Т1. З іншого боку, якщо поршень повільно вдвигати назад у циліндр, температура стане лише трохи вищою за температуру Т1, і тепло потече назад. Ви бачите, що таке ізотермічне (при постійній температурі) розширення може бути оборотним процесом, якщо тільки виконувати його повільно й обережно.
Щоб краще зрозуміти, що відбувається, намалюємо криву залежності тиску газу від його об'єму (фіг. 44.6). Коли газ розширюється, його тиск падає. Крива 1 показує, як змінюються об'єм і тиск, якщо в циліндрі підтримується постійна температура Т1. Для ідеального газу ця крива описується рівнянням PV=NkT1. Під час ізотермічного розширення в міру збільшення об'єму тиск падає, поки ми не зупинимося в точці b. За цей час газ забере з резервуара тепло Q1; адже ми вже знаємо, що якби газ розширювався, не стикаючись з резервуаром, він би охолов. Отже, ми закінчили розширення в точці b. Давайте тепер знімемо циліндр з резервуара і продовжимо розширення. Але тепер теплу вже нізвідки взятися. І знову ми повільно висуваємо поршень, тож немає причини, чому б процес міг бути необоротним. Звісно, ми знову припускаємо, що тертя немає. Газ продовжує розширюватися, і температура падає, бо зв'язок із джерелами тепла перервано.
Будемо розширювати газ так, щоб розширення описувалося кривою 2, доти, поки ми не досягнемо точки c, де температура впаде до Т2. Таке розширення без притоку тепла називається адіабатичним. Ми вже знаємо, що у випадку ідеального газу крива 2 має вигляд PVγ=const, де γ — стала, більша за одиницю; тому адіабатична крива падає крутіше за ізотермічну. Якщо температура газу в циліндрі досягла Т2, то, поклавши циліндр на другу теплову подушку, ми не ризикуємо викликати температурних змін. Тепер можна повільно стиснути газ, просуваючись по кривій 3, причому циліндр стикається з резервуаром при температурі Т2 (див. фіг. 44.5, крок 2). Оскільки циліндр стикається з резервуаром, його температура не може підвищитися, але газу доведеться віддати резервуару тепло Q2 при температурі Т2. Просунувшись по кривій 3 до точки d, ми знову знімемо циліндр з теплової подушки при температурі Т2 і продовжуємо стискати газ. Цього разу ми не будемо відбирати у газу тепло. При цьому підніметься температура, а тиск піде по кривій 4. Якщо ми старанно виконаємо всі етапи, то повернемося до вихідної точки а при температурі Т1 і зможемо повторити цикл.
Судячи з цієї діаграми, газ здійснив повний цикл, відібравши за цей час тепло Q1 при температурі T1 і віддавши тепло Q2 при температурі Т2. Цей цикл оборотний, і тому ми можемо крок за кроком пройти весь шлях у зворотному напрямку. Ми могли б піти назад, а не вперед, могли б почати рух із точки а при температурі T1, рухатися по кривій 4, потім поглинути тепло Q2 при температурі Т2 (для цього треба весь час висувати поршень) і т. д., поки цикл не буде завершено. Якщо ми здійснювали цикл в одному напрямку, то змусили газ працювати; якщо ж нам захотілося повернути назад, то доведеться попрацювати самим.
До речі, легко порахувати повну роботу. Повна робота, виконувана при розширенні, дорівнює добутку тиску на зміну об'єму: ∫PdV. На нашій діаграмі ми відкладали Р вертикально, а V горизонтально. Якщо позначати вертикальну відстань буквою у, а горизонтальну буквою х, то ми отримаємо інтеграл ∫ydx, а це — площа під кривою. Таким чином, площа під кожною з пронумерованих кривих вимірює роботу, виконану або газом, або нами за відповідний етап циклу. Легко зрозуміти, що чистий вихід роботи дорівнює площі всередині кривих.
Раз уже ми навели приклад однієї оборотної машини, то можна припустити, що можливе існування й інших таких самих пристроїв. Нехай оборотна машина А забирає Q1 при T1, виконує роботу W і повертає якусь кількість тепла при температурі Т2. Припустімо, що в нас є ще одна машина В — творіння рук людини, уже сконструйована, а може бути, ще й не винайдена. Можна взяти парову машину, колесо з гумовими спицями — словом, що завгодно. Нас навіть не цікавить, оборотна ця машина чи ні. Важливо тільки, щоб вона забирала тепло Q1 при температурі T1 і повертала частину цього тепла при нижчій температурі Т2. Припустімо, що машина В виконує якусь роботу W′. Тепер покажемо, що W′ не може бути більшою за W; немає такої машини, яка працювала б краще, ніж оборотна. Але чому? Припустімо, що W′ більша за W. Тоді ми можемо забрати тепло Q1 при температурі Т1 і віддати його машині В. Ця машина виконає роботу W′ і віддасть якусь кількість тепла (неважливо яку) резервуару з температурою Т2. Після цього ми можемо розпорядитися якоюсь частиною роботи W′, яку ми вважаємо більшою за W. Прибережемо поки що частину роботи W, а решту W′—W використаємо з користю для себе (фіг. 44.7). Маючи роботу W, можна запустити машину А у зворотному напрямку, адже це — оборотна машина. При цьому вона поглине якусь кількість тепла з резервуара з температурою Т2, але натомість поверне тепло Q1 резервуару при температурі Т1. Яким є чистий результат цього подвійного циклу? Ми повернули все до вихідного стану і виконали додаткову роботу W′—W. Справа звелася до того, що ми видобули енергію з резервуара з температурою Т2! Тепло Q1, взяте з резервуара з температурою Т1, було акуратно повернуто. Раз це тепло все одно повертається, то як резервуар з температурою Т1 можна взяти щось поменше за океан і укласти цей пристрій усередину складеної машини А +В. Чистим результатом циклу такої машини буде вилучення з резервуара при температурі Т2 тепла W′—W і перетворення його на роботу. Але видобування корисної роботи з резервуара при незмінній температурі без інших змін заборонено постулатом Карно. Цього не можна зробити. Таким чином, не існує таких машин, які видобули б якусь кількість тепла з резервуара при температурі Т1, повернули б якусь його частину при температурі Т2 і виконали б більшу роботу, ніж оборотна машина, що працює при тих самих температурних умовах.
Припустімо тепер, що машина В теж оборотна. Тоді, звісно, не тільки W′ не більша за W, а й W не більша за W′. Щоб довести це, треба просто обернути попередні аргументи. Отже, якщо обидві машини оборотні, то вони повинні виконувати однакову роботу, і ми дійшли блискучого висновку Карно: якщо машина оборотна, то байдуже, як вона примудряється перетворювати тепло на роботу. Робота, виконана машиною, якщо тільки машина поглинає певну кількість тепла при температурі Т1 і повертає якусь її частину при температурі Т2, не залежить від устрою машини. Так уже влаштований світ, і від окремих властивостей машини це не залежить.
Якби ми знайшли закон, що визначає роботу, виконувану при вилученні тепла Q1 при температурі Т1 і поверненні частини цього тепла при температурі Т2, то ця величина була б універсальною сталою, що не залежить від властивостей речовини. Звісно, якщо нам відомі властивості якоїсь речовини, ми можемо обчислити величину, яка нас цікавить. Після цього ми матимемо право заявити, що всі інші речовини, якщо з їхньою допомогою побудувати оборотну машину, виконають точно таку саму роботу. Такою є основна ідея, ключ, за допомогою якого ми можемо знайти наступні співвідношення. Наприклад, ми хочемо дізнатися, наскільки гума стискається при нагріванні і наскільки вона охолоджується, коли ми дозволяємо їй стиснутися. Припустімо, що ми взяли гуму як робочу речовину оборотної машини і виконали оборотний цикл. Чистий результат, повна виконана робота, — це універсальна функція, велика функція, що не залежить від властивостей речовини. Таким чином, ми переконуємося, що є щось, що обмежує певною мірою розмаїття властивостей речовини. Ми не можемо зробити ці властивості якими захочемо, не можемо винайти речовину, яка, будучи використаною в тепловій машині, виконала б за оборотний цикл роботу більшу за допустиму. Цей принцип, це обмеження, — єдине реальне правило, яке можна вивести з термодинаміки.