Коефіцієнт корисної дії ідеальної машини

А зараз спробуємо знайти закон, що визначає роботу W як функцію Q₁, T₁ і Т₂. Зрозуміло, що W пропорційна Q₁, бо якщо дві оборотні машини працюють паралельно, то така здвоєна машина теж буде оборотною машиною. Якщо кожна з цих машин поглинає тепло Q₁, то обидві разом поглинають 2Q₁, а робота, яку вони виконують, дорівнює 2W і т. д. Тому пропорційність W витраченому теплу Q₁ цілком природна. Після цього зробимо ще один важливий крок до універсального закону. Як робочу речовину машини можна взяти одну речовину з добре відомими нам властивостями. Скористаємося цим і виберемо ідеальний газ. Можна й не робити цього, а вивести правило, яке нас цікавить, суто логічно, зовсім не використовуючи для цього якоїсь речовини. Це одне з найблискучіших теоретичних доведень у фізиці, але поки що ми використаємо менш абстрактний і простіший метод прямого обчислення. Нам потрібно лише отримати формули для Q₁ і Q₂ (адже W=Q₁–Q₂) — тепла, яким машина обмінюється з резервуарами під час ізотермічного розширення і стискання. Для прикладу обчислимо Q₁— тепло, отримане від резервуара при температурі Т₁ під час ізотермічного розширення (крива 1 на фіг. 44.6) від точки а, де тиск дорівнює р_a, об'єм V_a, температура Т₁, до точки b, де тиск дорівнює р_b, об'єм V_b, а температура та сама T₁. Енергія кожної молекули ідеального газу залежить тільки від температури, а оскільки в точках а і b однакові й температура, і число молекул, то й внутрішня енергія теж однакова. Енергія U не змінюється; повна робота газу за час розширення

виконується за рахунок енергії Q₁, отриманої з резервуара. Під час розширення pV=NkT₁, або

отже

Ось те тепло, яке взято з резервуара при температурі Т₁. Точно так само можна обчислити і тепло, віддане при стисканні (крива 3 на фіг. 44.6) резервуару при температурі Т₂:

Щоб закінчити аналіз, потрібно ще знайти співвідношення між V_c/V_d і V_b/V_a. Для цього поглянемо спочатку на криву 2, яка описує адіабатичне розширення від b до с. У цей час pV^γ залишається постійним. Оскільки pV=NkT, то формулу для адіабатичного розширення в кінцевих точках шляху можна записати у вигляді (pV)^γ-1=const, або TV^γ-1=const, тобто

Оскільки крива 4 описує адіабатичне стискання від d до а, то

Якщо поділити ці рівності одну на іншу, то ми з'ясуємо, що відношення V_b/V_a і V_c/V_d рівні, тому рівні й логарифми в (44.4) і (44.5). Отже,

Це і є те співвідношення, яке ми шукали. Хоча воно доведено для машини з ідеальним газом, ми вже знаємо, що воно справедливе для будь-якої оборотної машини. А тепер подивимося, як можна вивести цей універсальний закон на підставі лише логічних аргументів, не цікавлячись окремими властивостями речовин. Припустімо, що в нас є три машини й три температури Т₁, Т₂ і Т₃. Одна машина поглинає тепло Q₁ при температурі T₁, виконує роботу W₁₃ і віддає тепло Q₃ при температурі Т₃ (фіг. 44.8). Друга машина працює при перепаді температур T₂ і Т₃. Припустімо, що ця машина влаштована так, що вона поглинає те саме тепло Q₃ при температурі Т₃ і віддає тепло Q₂. Тоді нам доведеться витратити роботу W₃₂, адже ми змусили машину працювати у зворотному напрямку. Цикл першої машини полягає в поглинанні тепла Q₁ і виділенні тепла Q₃ при температурі Т₃. Друга машина в цей час забирає з резервуара те саме тепло Q₃ при температурі T₃ і віддає його в резервуар з температурою Т₂. Таким чином, чистий результат циклу цих спарених машин полягає у вилученні тепла Q₁ при температурі Т₁ і виділенні тепла Q₂ при температурі Т₂. Ці машини еквівалентні третій, яка поглинає тепло Q₁ при температурі Т₁, виконує роботу W₁₂ і виділяє тепло Q₂ при температурі Т₂. Дійсно, виходячи з першого закону, можна одразу ж показати, що W₁₂=W₁₃—W₃₂:

Тепер можна отримати закон, що пов'язує коефіцієнти корисної дії машин. Адже зрозуміло, що між ефективностями машин, які працюють при перепаді температур Т₁— T₃, Т₂—Т₃ і Т₁—Т₂, повинні існувати певні співвідношення. Сформулюємо чіткіше наші аргументи. Ми переконалися, що завжди можемо пов'язати тепло, поглинуте при температурі T₁, і тепло, виділене при температурі Т₂, визначивши тепло, виділене при якійсь іншій температурі Т₃. Це означає, що ми можемо описати всі властивості машини, якщо введемо стандартну температуру і будемо аналізувати всі процеси за допомогою саме такої стандартної температури. Інакше кажучи, якщо ми знаємо коефіцієнт корисної дії машини, що працює між температурою Т і якоюсь стандартною температурою, то зможемо обчислити коефіцієнт корисної дії машини, що працює при будь-якому перепаді температур. Адже ми розглядаємо тільки оборотні машини, тому ніщо не заважає нам спуститися від початкової температури до стандартної, а потім знову повернутися до кінцевої температури. Приймемо температуру в один градус за стандартну. Для позначення тепла, що виділяється при стандартній температурі, використаємо особливий символ Q_s. Це означає, що якщо машина поглинає при температурі Т тепло Q, то при температурі в один градус вона виділяє тепло Q_s. Якщо якась машина, поглинаючи тепло Q₁ при T₁, виділяє тепло Q_s при температурі в один градус, а інша машина, поглинувши тепло Q₂ при Т₂, виділяє те саме тепло Q_s при температурі в один градус, то машина, яка поглинає Q₁ при Т₁, повинна при температурі Т₂ виділяти тепло Q₂. Ми вже довели це, розглянувши три машини, що працюють при трьох температурах. Таким чином, для повного опису роботи машин нам залишається дізнатися зовсім небагато. Ми повинні з'ясувати, скільки тепла Q₁ повинна поглинути машина при температурі Т₁, щоб виділити при одиничній температурі тепло Q_s. Звісно, між теплом Q і температурою Т існує залежність. Легко зрозуміти, що тепло повинно зростати при зростанні температури, адже ми знаємо, що якщо змусити машину працювати у зворотному напрямку, то при вищій температурі вона віддає тепло. Легко також зрозуміти, що тепло Q₁ повинно бути пропорційне Q_s. Таким чином, наш великий закон виглядає приблизно так: кожній кількості тепла Q_s, виділеного при температурі в один градус, відповідає кількість тепла, поглинутого машиною при температурі Т, що дорівнює Q_s, помноженому на деяку зростаючу функцію Q температури: