Трудність, яку ми щойно відзначили, — це ще одна сторона проблеми неперервності в класичній фізиці, вона почалася з безладу в теплоємностях газів, а потім ця проблема зосередилася на розподілі світла в чорному тілі. Звісно, поки теоретики обговорювали ці речі, проводилися ще й вимірювання справжніх кривих. І було встановлено, що правильна крива виглядає так, як пунктирні криві на фіг. 41.4. Жодних рентгенівських променів там немає. Якщо знижувати температуру, то криві наближаються до осі абсцис приблизно так, як того вимагає класична теорія, але й за низької температури дослідні криві теж наприкінці обриваються.
Таким чином, початок кривої розподілу правильно описує дослід, а її високочастотний кінець збивається з правильного шляху. Чому ж так? Коли Джеймс Джинс розмірковував про теплоємності газів, він помітив, що рух, який здійснюється з великою частотою, «замерзає» при зниженні температури. Отже, осцилятор не може мати середню енергію kТ, якщо температура надто мала або якщо частота коливань надто велика. А тепер згадаймо, як ми виводили (41.13). Все залежало від енергії осцилятора за теплової рівноваги. Коли ми підставляли kТ у (41.5), це було те саме kТ, що й у (41.13), тобто середня енергія гармонічного осцилятора частоти ω за температури Т. Класична фізика каже, що вона дорівнює kТ, а експеримент відповідає: Ні! За дуже низьких температур або за дуже високих частот це не так. Таким чином, крива падає з тієї самої причини, що й теплоємності газів. Криву чорного тіла вивчати легше, ніж теплоємності газів, де багато складнощів, і ми зосередимо увагу на визначенні правильної кривої випромінювання чорного тіла, тому що ця крива буде тією кривою, яка розповість нам, як середня енергія гармонічного осцилятора за будь-якої його частоти залежить від температури.
За вивчення цієї кривої взявся Планк. Спочатку він знайшов суто емпіричну відповідь, порівнюючи дослідну криву з відомими функціями, які найкраще цю криву підганяли. Таким чином, він отримав емпіричну формулу для середньої енергії гармонічного осцилятора як функції температури. Інакше кажучи, він замінив kТ правильною формулою, а потім знайшов просте виведення цієї формули, щоправда, за дуже дивного припущення. Це припущення полягає в тому, що гармонічний осцилятор може поглинути за один раз тільки енергію hω. Після цього не можна й подумати, що осцилятор може мати будь-яку енергію. Звісно, це було початком кінця класичної фізики.
Зараз ми виведемо першу правильну формулу квантової механіки. Припустімо, що дозволені рівні енергії гармонічного осцилятора лежать на рівній відстані hω0 один від одного, тому осцилятор може мати тільки одну з цих енергій (фіг. 41.5). Аргументи Планка виглядають трохи складніше за наші, адже це був самий початок квантової механіки, і йому доводилося дещо доводити. Ну, а ми просто приймемо як факт (який Планк і встановив), що ймовірність того, що зайнятий рівень енергії Е, дорівнює Р(Е)=α exp(—Е/kT). Виходячи з цього, ми отримаємо правильний результат.
Припустімо, що в нас є багато осциляторів і кожен коливається з частотою ω0. Деякі з них перебувають у найнижчому квантовому стані, інші забралися на рівень вище і т д. Нам потрібно знати середню енергію цих осциляторів. Щоб знайти її, обчислімо повну енергію всіх осциляторів і поділімо результат на їх число. Тоді ми отримаємо середню енергію на осцилятор за теплової рівноваги, а це те саме, що й енергія за рівноваги з випромінюванням чорного тіла, і її треба підставити в рівняння (41.13) замість kТ.
Нехай N0 — число осциляторів в основному стані (стані з найменшою енергією), N1— число осциляторів у стані Е1, N2— число осциляторів у стані Е2 і т. д. Згідно з гіпотезою (яку ми не довели), класичні вирази для ймовірності exp(–п. е./kТ) або exp(–к.е./kТ) замінюються в квантовій механіці на exp(–ΔЕ/kТ), де ΔЕ — різниця енергій. Можна стверджувати, що число осциляторів у першому стані N1 дорівнює добутку числа молекул в основному стані N0 на exp(–hω/kT). Аналогічно, N2(число молекул у другому стані) дорівнює N2=N0 exp(—2hω/kT). Щоб спростити алгебру, введімо х = exp(–hω/kT). Тоді все виглядає дуже просто:
Зараз ми виведемо першу правильну формулу квантової механіки. Припустімо, що дозволені рівні енергії гармонічного осцилятора лежать на рівній відстані hω0 один від одного, тому осцилятор може мати тільки одну з цих енергій (фіг. 41.5). Аргументи Планка виглядають трохи складніше за наші, адже це був самий початок квантової механіки, і йому доводилося дещо доводити. Ну, а ми просто приймемо як факт (який Планк і встановив), що ймовірність того, що зайнятий рівень енергії Е, дорівнює Р(Е)=α exp(—Е/kT). Виходячи з цього, ми отримаємо правильний результат.
Припустімо, що в нас є багато осциляторів і кожен коливається з частотою ω0. Деякі з них перебувають у найнижчому квантовому стані, інші забралися на рівень вище і т д. Нам потрібно знати середню енергію цих осциляторів. Щоб знайти її, обчислімо повну енергію всіх осциляторів і поділімо результат на їх число. Тоді ми отримаємо середню енергію на осцилятор за теплової рівноваги, а це те саме, що й енергія за рівноваги з випромінюванням чорного тіла, і її треба підставити в рівняння (41.13) замість kТ.
Нехай N0 — число осциляторів в основному стані (стані з найменшою енергією), N1— число осциляторів у стані Е1, N2— число осциляторів у стані Е2 і т. д. Згідно з гіпотезою (яку ми не довели), класичні вирази для ймовірності exp(–п. е./kТ) або exp(–к.е./kТ) замінюються в квантовій механіці на exp(–ΔЕ/kТ), де ΔЕ — різниця енергій. Можна стверджувати, що число осциляторів у першому стані N1 дорівнює добутку числа молекул в основному стані N0 на exp(–hω/kT). Аналогічно, N2(число молекул у другому стані) дорівнює N2=N0 exp(—2hω/kT). Щоб спростити алгебру, введімо х = exp(–hω/kT). Тоді все виглядає дуже просто:
Зображення
Спочатку знайдемо повну енергію всіх осциляторів. Якщо осцилятор перебуває в основному стані, його енергія нуль. Якщо він перебуває в першому стані, то його енергія дорівнює hω0, а таких осциляторів N1. Отже, в цьому стані запасена енергія N1hω, або hωN0x. Енергія осцилятора в другому стані 2hω0 , а осциляторів N2, тому ми отримуємо таку енергію: N22hω =2hω0N0x2 і т. д. Склавши все це, знайдемо повну енергію Eповн=N0hω (0+ x+2x2 +3x3+...).
А скільки всього осциляторів? В основному стані, звісно, N0, у першому стані N1 і т. д.; знову все складемо і отримаємо Nусі =N0(1 + х +х2 +х3 +...). Тому середня енергія дорівнює
Зображення
Читачам надається можливість побавитися цими сумами і отримати від цього задоволення. Коли ви покінчите з підсумовуванням і підставите в остаточний результат значення х, то отримаєте, якщо не помилилися
Зображення
Ця формула була не тільки найпершою формулою, але й найпершою думкою квантової механіки, і вона стала чудовою відповіддю на всі непорозуміння попередніх десятиліть. Максвелл уже розумів, що щось не так, але питання було в тому, що ж правильно? Тут міститься кількісна відповідь — що ж треба взяти замість kТ. Вираз для енергії, звісно, прямує до kТ при ω→0 або при Т→∞. Спробуйте це довести — тут треба вчинити так, як цьому вчить математика.
Вираз для середньої енергії містить знаменитий обрізальний множник, який передбачив Джинс, і якщо використати його замість kТ в (41.13), то ми отримаємо розподіл світла в чорному ящику:
Зображення
Отже, ми бачимо, що за великих ω крива різко йде вниз; хоча в чисельнику стоїть ω3, знаменник містить e у надзвичайно високому степені; на кривій нема жодного натяку на підйом, і там, де ми того не чекаємо, не з'являється ні ультрафіолетових, ні рентгенівських променів!
Може виникнути невдоволення у зв'язку з тим, що при виведенні (41.16) ми користувалися квантовою теорією для рівнів енергії гармонічного осцилятора, а при визначенні ефективного перерізу σs ми залишалися вірні класичній теорії. Але квантова теорія взаємодії світла з гармонічним осцилятором приводить точно до тих самих результатів, що й класична. Ця обставина виправдовує той час, який ми витратили на вивчення показника заломлення і розсіяння світла, засноване на уявленні про атом як про маленький осцилятор, — квантові формули виходять точно такими самими.
Тепер повернемося до шумів Джонсона в опорі. Ми вже відзначали, що теорія потужності шуму, по суті, — та сама, класична теорія випромінювання чорного тіла. Насправді, як ми вже говорили, опір у колі — це не справжній опір, а схожий скоріше на антену (антена ж бо теж схожа на опір, вона випромінює енергію). Це радіаційний опір, і легко підрахувати потужність, яку він випромінює. Ця потужність дорівнює тій потужності, яку антена отримує від навколишнього її світла, і ми повинні дійти того самого розподілу з точністю до одного, двох множників. Ми можемо припустити, що опір — це генератор з невідомим спектром потужності Р(ω). Знайти розподіл допоможе та обставина, що цей генератор, увімкнений у резонансне коло довільної частоти (як на фіг. 41.2, б), породжує на індуктивності падіння напруги, яке визначається рівністю (41.2). Це приведе нас до того самого інтеграла, що й (41.10), а продовжуючи працювати тим самим методом, ми отримаємо рівняння (41.3). Для низьких температур kТ у (41.3), звісно, треба замінити виразом (41.15). Дві теорії (випромінювання чорного тіла і шумів Джонсона) фізично тісно пов'язані, оскільки ми можемо пов'язати резонансне коло з антеною, тоді опір R буде радіаційним опором у чистому вигляді. Оскільки (41.2) не залежить від фізичних властивостей опору, генератор G для справжнього опору і для радіаційного опору буде однаковим. А що ж буде джерелом генерованої потужності Р(ω), якщо опір R — тепер просто-напросто ідеальна антена, що перебуває в рівновазі з її оточенням за температури Т? Це випромінювання в просторі за температури Т, яке обрушується на антену як «прийнятий сигнал» і слугує ефективним генератором. Отже, рухаючись від (41.13) до (41.3), можна знайти пряму відповідність між Р(ω) і I(ω).
Пояснення явищ, про які ми зараз говоримо (так званий шум Джонсона, розподіл Планка і теорія броунівського руху, про яку ми збираємося говорити), — це досягнення першого десятиліття нашого століття. Дізнавшись про це і зазирнувши в історію, повернемося до броунівського руху.