Броунівський рух відкрив у 1827 р. ботанік Роберт Броун. Вивчаючи життя під мікроскопом, він помітив, що найдрібніші частинки квіткового пилку танцюють у його полі зору; водночас він був достатньо обізнаний, щоб розуміти, що перед ним не живі істоти, а просто порошинки, які плавають у воді. Щоб остаточно довести, що це не живі істоти, Броун розшукав уламок кварцу, всередині якого була заповнена водою порожнина. Вода потрапила туди багато мільйонів років тому, але й у такій воді порошинки все так само продовжували свій танець. Здавалося, що дуже дрібні частинки танцюють безперервно. Пізніше було доведено, що це один з ефектів молекулярного руху, і зрозуміти його якісно можна, уявивши собі, що ми звідкись здалеку стежимо за грою в пушбол. Ми знаємо, що під великим м'ячем рухається натовп людей і кожен штовхає м'яч, куди хоче. Ми не бачимо окремих гравців, тому що поле дуже далеко від нас, але м'яч ми бачимо і помічаємо, що переміщується він дуже безладно. Ми вже знаємо з розглянутих у попередніх розділах теорем, що середня кінетична енергія зваженої в газі або рідині маленької частинки дорівнює 3/2kT, навіть якщо ця частинка набагато важча за молекули газу. Якщо вона дуже важка, то й рухається вона порівняно повільно, але насправді виявляється, що швидкість частинки не така вже й мала. Звісно, помітити рух частинки не дуже легко, тому що середня кінетична енергія 3/2kТ відповідає швидкості близько 1 мм/с, якщо діаметр частинки дорівнює 1—2 мк. Такий рух важко помітити навіть під мікроскопом, тому що частинка постійно змінює напрямок свого руху і йти в якийсь певний бік не бажає. Наприкінці розділу ми подивимося, як далеко вона може відійти. Це питання вперше розв'язав Ейнштейн на початку нашого століття.
До речі, коли кажуть, що середня кінетична енергія частинки дорівнює 3/2 kT, то вимагають, щоб цей результат був виведений з кінетичної теорії, тобто із законів Ньютона. Ми вже можемо отримувати різні дивовижні речі за допомогою кінетичної теорії, найцікавіше — що вдається отримати так багато з такого малого. Звісно, ми не хочемо сказати, що закони Ньютона — це «мале», вони насправді дають усе необхідне для розв'язання задачі, просто нам довелося попрацювати зовсім небагато. Як же нам вдалося так багато отримати? Просто ми постійно виходили з дуже важливого припущення, що коли задана система перебуває за деякої температури в тепловій рівновазі, то за тієї самої температури вона буде в рівновазі з чим завгодно. Скажімо, нам хочеться подивитися, як рухається частинка, якщо вона стикається з водою.
Для цього уявімо, що, крім води й частинки, є ще й газ, що складається з частинок ще одного сорту — маленьких дробинок, які, як ми припускаємо, з водою не взаємодіють і тільки сильно вдаряють по нашій частинці. Припустімо, що частинка настовбурчилася гострими шипами і всі дробинки натикаються на них. Про цей уявний газ із дробинок за температури Т нам відомо все — це ідеальний газ. Вода — справа складна, а ідеальний газ — він простіший. І ось наша частинка перебуває в рівновазі з газом із дробинок. Отже, середній рух частинки має бути таким, яким йому належить бути внаслідок зіткнень з атомами, тому що якби частинка рухалася відносно води з більшою швидкістю, ніж належить, то дробинки, відібравши у частинки частину її енергії, нагрілися б більше, ніж вода. Але ж ми почали з рівних температур і припускаємо, що коли рівновага одного разу настала, то вона такою й залишиться; не може раптом одна частина системи нагрітися, а інша — охолонути.
Це припущення справедливе, і його можна довести, використовуючи закони механіки, але доведення дуже складне, і зрозуміти його можна, тільки добре знаючи механіку. За допомогою квантової механіки довести це набагато легше, ніж за допомогою класичної. Вперше цю теорему довів Больцман, а ми, прийнявши, що вона правильна, можемо стверджувати, що якщо частинка стикається з уявними дробинками, то її енергія дорівнює 3/2kT. Але цією самою енергією вона повинна володіти, якщо ми приберемо дробинки і залишимо частинку наодинці з водою за тієї самої температури. Це дивний, але правильний ланцюг міркувань.
Крім руху колоїдних частинок, на яких і було вперше відкрито броунівський рух, є ще ціла низка інших явищ, і не тільки в лабораторних, але й в інших умовах, що дозволяють виявити броунівський рух. Якби ми змогли спорудити надзвичайно тонкий вимірювальний пристрій, скажімо, крихітне дзеркальце, прикріплене до тонкої кварцової нитки дуже чутливого балістичного гальванометра (фіг. 41.1), то дзеркальце не стояло б на місці, а безперервно танцювало б, тому якби ми освітили це дзеркальце променем світла і простежили за відбитою плямою, то втратили б надію створити досконалий вимірювальний інструмент, оскільки дзеркальце весь час танцює. Чому? Тому що середня кінетична енергія обертання дзеркальця дорівнює 1/2kТ.
Чому дорівнює середній квадратичний кут коливань дзеркальця? Припустімо, що ми визначили період власних коливань дзеркальця, злегка стукнувши по одному його боці і спостерігаючи, як довго воно хитатиметься туди-сюди, і нехай нам також відомий момент інерції I. Формулу для кінетичної енергії обертання ми знаємо, це рівність (19.8): Т = 1/2Iω2. А потенціальна енергія пропорційна квадрату кута відхилення, тобто V = 1/2αθ2. Але якщо ми знаємо період коливань t0 і можемо обчислити власну частоту ω0= 2π/t0, то можна й потенціальну енергію записати у вигляді V = 1/2Iω02θ2. Ми знаємо, що середня кінетична енергія дорівнює 1/2 kТ, але оскільки перед нами гармонічний осцилятор, то середня потенціальна енергія також дорівнює 1/2 kТ. Отже,
Крім руху колоїдних частинок, на яких і було вперше відкрито броунівський рух, є ще ціла низка інших явищ, і не тільки в лабораторних, але й в інших умовах, що дозволяють виявити броунівський рух. Якби ми змогли спорудити надзвичайно тонкий вимірювальний пристрій, скажімо, крихітне дзеркальце, прикріплене до тонкої кварцової нитки дуже чутливого балістичного гальванометра (фіг. 41.1), то дзеркальце не стояло б на місці, а безперервно танцювало б, тому якби ми освітили це дзеркальце променем світла і простежили за відбитою плямою, то втратили б надію створити досконалий вимірювальний інструмент, оскільки дзеркальце весь час танцює. Чому? Тому що середня кінетична енергія обертання дзеркальця дорівнює 1/2kТ.
Чому дорівнює середній квадратичний кут коливань дзеркальця? Припустімо, що ми визначили період власних коливань дзеркальця, злегка стукнувши по одному його боці і спостерігаючи, як довго воно хитатиметься туди-сюди, і нехай нам також відомий момент інерції I. Формулу для кінетичної енергії обертання ми знаємо, це рівність (19.8): Т = 1/2Iω2. А потенціальна енергія пропорційна квадрату кута відхилення, тобто V = 1/2αθ2. Але якщо ми знаємо період коливань t0 і можемо обчислити власну частоту ω0= 2π/t0, то можна й потенціальну енергію записати у вигляді V = 1/2Iω02θ2. Ми знаємо, що середня кінетична енергія дорівнює 1/2 kТ, але оскільки перед нами гармонічний осцилятор, то середня потенціальна енергія також дорівнює 1/2 kТ. Отже,
Зображення
Таким чином ми можемо розрахувати коливання дзеркальця гальванометра і тим самим знайти межу точності нашого інструмента. Якщо нам треба зменшити коливання, то слід охолодити дзеркальце. Але тут виникає цікаве питання — у якому місці його охолодити? Все залежить від того, звідки воно отримує більше «стусанів». Якщо в коливаннях винна кварцова нитка, то охолоджувати треба її верхній кінець, якщо ж дзеркальце перебуває в газовому середовищі і розгойдується головним чином за рахунок зіткнень з молекулами газу, то краще охолодити газ. Отже, практично, якщо відомо, чому відбувається згасання коливань, то виявляється, що завжди є якесь джерело флуктуацій; до цього питання ми ще повернемося.
Ті самі флуктуації діють, і доволі дивовижним чином, в електричних колах. Припустімо, що ми побудували дуже чутливий, точний підсилювач для якоїсь певної частоти і до його входу підключили резонансне коло (фіг. 41.2), налаштоване на цю саму частоту, на кшталт радіоприймача, тільки краще. Припустімо, що ми захотіли якомога точніше вивчити флуктуації, для цього ми зняли напругу, скажімо, з індуктивності і подали її на підсилювач. Звісно, в будь-якому колі такого роду є деякі втрати. Це не ідеальне резонансне коло, але все ж дуже добре коло, і має воно малий опір (на схемі опір показано, треба тільки пам'ятати, що він дуже малий). А тепер ми хочемо дізнатися, наскільки великі флуктуації падіння напруги на індуктивності? Відповідь: нам відомо, що «кінетична енергія», запасена котушкою резонансного кола, дорівнює 1/2 LI2 (див. розд. 25). Тому середнє значення 1/2 LI2 дорівнює 1/2 kT, це дає нам середнє квадратичне значення струму, а звідси можна визначити й середнє квадратичне значення напруги. Якщо ми хочемо знати падіння напруги на індуктивності, нам знадобиться формула VL= iωLI, тоді середній квадрат модуля падіння напруги на індуктивності дорівнює <VL2> = L2ω02<I2>, а поклавши 1/2 L<I2>= 1/2kT, отримуємо
Зображення
Отже, тепер ми можемо розрахувати контур і передбачити, яким у ньому буде так званий шум Джонсона, тобто шум, пов'язаний з тепловими флуктуаціями!
Але звідки ж ці флуктуації беруться? А все через опір, точніше кажучи, в результаті танцю електронів в опорі. Адже вони перебувають у тепловій рівновазі з рештою матеріалу опору, а це призводить до флуктуацій густини електронів. Таким чином вони породжують крихітні електричні поля, що керують резонансним колом.
Інженери-електрики пояснюють усе це інакше. Фізично джерелом шумів слугує опір. Однак можна замінити реальне коло з чесним опором, що спричиняє шуми, фіктивним колом, яке містить маленький генератор, що нібито породжує шуми, а опір тепер буде ідеальним — він уже не шумить. Усі шуми тепер виходять від фіктивного генератора. Отже, якщо нам відомі характеристики шуму, породжуваного опором, і в нас для цього є придатна формула, то можна розрахувати, як коло реагує на цей шум. Отже, нам потрібна формула для шумових флуктуацій. Опір однаково добре породжує шуми всіх частот, оскільки він сам аж ніяк не резонатор. Резонансне коло, звісно, «чує» лише частину цього шуму поблизу певної частоти, а в опорі закладено багато й інших частот. Силу генератора можна описати таким чином: середня потужність, що виділяється на опорі, якщо він безпосередньо з'єднаний з генератором шуму, дорівнює <E2>/R, де Е — знімана з генератора напруга. Але тепер ми хочемо детальніше знати про розподіл потужності за частотами. Кожній певній частоті відповідає дуже мала потужність. Нехай P(ω)dω — потужність, яку генератор посилає опору в інтервалі частот dω. Тоді можна довести (ми доведемо це для іншого випадку, але математика і там, і тут однакова), що потужність, яка виділяється, дорівнює
Зображення
і, таким чином, не залежить від опору.