Випадкові блукання

Спробуймо зрозуміти, наскільки змінюється положення танцюючої частинки за час, у багато разів більший, ніж проміжок між двома ударами. Погляньмо на маленьку частинку, яка залучилася до броунівського руху і танцює під безперервно й безладно сиплячими на неї ударами молекул води. Питання: чи далеко відійде частинка від початкового положення, коли мине заданий час? Цю задачу розв'язали Ейнштейн і Смолуховський. Уявімо собі, що ми розділили виділений нам час на малі проміжки, скажімо, по одній сотій частці секунди, так що після першої сотої частки секунди частинка опинилася в одному місці, протягом другої сотої секунди вона просунулася ще, наприкінці наступної сотої секунди — ще і т. д. За тієї швидкості бомбардування, якій піддається частинка, одна сота секунди — величезний час. Читач легко може перевірити, що число зіткнень, яких зазнає одна молекула, що плаває у воді, порядка 10¹⁴ за секунду, так що на одну соту частку секунди припадає приблизно 10¹² зіткнень, а це дуже багато! Природно, що після спливання однієї сотої частки секунди частинка не «пам'ятає», що з нею було до цього. Інакше кажучи, всі зіткнення випадкові, так що кожен наступний «крок» частинки цілком не залежить від попереднього. Це нагадує знамениту задачу про п'яного моряка, який виходить з бару і робить кілька кроків, але погано тримається на ногах, і кожен крок робить кудись убік, випадково (фіг. 41.6). То де ж опиниться наш матрос через якийсь час? Звісно, ми цього не знаємо! І передбачити це неможливо. Все, що можна сказати, — це те, що він десь напевно перебуває, але це цілком невизначено. Ну добре, а чи далеко він все-таки піде? Якою буде та середня відстань від бару, на якій опиниться матрос? На це питання ми вже відповіли, тому що ми одного разу вже обговорювали суперпозицію світла від величезного числа різних джерел з різними фазами, а це означає, що ми додавали величезне число стрілок, спрямованих у довільних напрямках (див. розд. 32) Тоді ми виявили, що середній квадрат відстані від одного кінця ланцюга безладних кроків до іншого (тобто інтенсивність світла) дорівнює сумі інтенсивностей окремих джерел. Цілком аналогічно, використовуючи ту саму математику, можна негайно показати, що якщо R_N — векторна відстань від початку через N кроків, то середній квадрат відстані від початку пропорційний числу кроків N. Це означає, що <R_N²>=NL², де L —довжина кожного кроку. Оскільки число кроків пропорційне виділеному нам умовами задачі часу, то середній квадрат відстані пропорційний часу:

Це не означає, що середня відстань пропорційна часу. Якби середня відстань була пропорційна часу, то частинка рухалася б із цілком певною сталою швидкістю. Матрос, безсумнівно, іде вперед, але рух його такий, що квадрат середньої відстані пропорційний часу. Це і є характерна особливість випадкових блукань. Ми легко доведемо, що кожен крок збільшує квадрат відстані в середньому на L². Якщо записати R_N,= R_N-1 + L, то виявиться, що R_N² дорівнює

а усереднюючи за багатьма спробами, отримаємо <R_N²>= <R_N-1²>+ L² тому що <R_N-1·L> = 0. Таким чином, за індукцією

Тепер добре було б обчислити коефіцієнт а в рівнянні (41.17); для цього потрібно ще дещо додати. Припустімо, що якщо до частинки прикладена сила (вона не має жодного стосунку до броунівського руху, просто ми підшукуємо вираз для імпульсу), то частинка протидіятиме силі таким чином. Перш за все має проявитися інерція. Нехай m —коефіцієнт інерції, ефективна маса частинки (не обов'язково справжня маса справжньої частинки, тому що якщо протягувати частинку крізь воду, то рухається і вода). Тому якщо ми розглядаємо рух в одному напрямку, то треба обзавестися з одного боку доданком m(d²x/dt²). Далі підкреслимо, що, якщо ми штовхаємо частинку рівномірно, вона повинна гальмуватися рідиною з силою, пропорційною швидкості. Крім інерції рідини, існує ще опір течії, викликаний в'язкістю і складною будовою рідини. Для виникнення флуктуації абсолютно необхідне існування незворотних втрат, чогось на кшталт опору. Поки таких втрат немає, немає способу отримати kТ. Причина флуктуації тісно пов'язана з такими втратами. Ми ще обговоримо, який механізм такого тертя, ми поговоримо про сили, пропорційні швидкості, і з'ясуємо, звідки вони беруться. А поки давайте просто припустимо, що такий опір існує. Тоді формула для руху під дією зовнішньої сили, якщо вона штовхає частинку найзвичайнішим способом, виглядає так:

Величину µ можна визначити експериментально. Наприклад, ми можемо вивчити падіння краплі під дією сили тяжіння. Тоді відомо, що сила дорівнює mg, а µ — це mg, поділене на остаточно встановлену швидкість падіння краплі. Або можна помістити краплю в центрифугу і стежити за швидкістю осадження. А якщо вона заряджена, то можна прикласти електричне поле. Таким чином, µ, — це вимірювана величина, а не якась штучна річ, і її значення відоме для колоїдних частинок багатьох типів. Застосуємо цю формулу також у тому випадку, коли сила не зовнішня, а дорівнює безладним силам броунівського руху. Спробуймо визначити середній квадрат пройденого тілом шляху. Будемо розглядати відстані не в трьох, а в одному вимірі і визначимо середнє значення х², щоб підготувати себе до розв'язання задачі. (Звісно, середнє значення х² дорівнює середньому у² і середньому z², тому середній квадрат відстані буде втричі більшим за те, що ми отримаємо.) Звісно, x-складова безладної сили така сама безладна, як і решта компонентів. Чому ж дорівнює швидкість зміни х²? Вона дорівнює (d/dt)(x²) = 2x(dx/dt), тому швидкість зміни середнього х² можна знайти, усереднивши добуток швидкості на координату. Покажемо, що це стала величина, тобто середній квадрат радіуса зростає пропорційно часу, і знайдемо швидкість зростання. Якщо помножити рівняння (41.19) на х, то отримаємо mx(d²x/dt²) +µx(dx/dt) = xF_x. Нас цікавить середнє за часом x(dx/dt), тому усереднимо за часом усе рівняння цілком і вивчимо всі три доданки. Що можна сказати про добуток х на силу? Хоч частинка і добралася до точки х, наступні поштовхи можуть бути спрямовані в будь-якому напрямку щодо х, адже випадкова сила цілком випадкова і їй нема діла, звідки частинка почала рухатися. Якщо координата х додатна, у середньої сили немає жодних підстав спрямуватися в цьому ж напрямку. Для неї він так само ймовірний, як і будь-який інший. Випадкові сили не можуть відправити частинку у певному напрямку. Тому середнє добутку х на F_x дорівнює нулю. З іншого боку, доданку mx(d²x/dt²) можна, трохи повозившись, надати вигляду

Ми розбили первісний доданок на два і повинні усереднити їх обидва. Подивімося, чому ж дорівнює добуток х на швидкість. Цей добуток не змінюється з часом, тому що, коли частинка потрапляє в задану точку, вона вже не пам'ятає, де вона була раніше, і величини, що характеризують такі ситуації, не повинні залежати від часу. Тому середнє значення цієї величини дорівнює нулю. У нас залишився лише mv², а про цю величину нам дещо відомо: середнє значення mv²/2 дорівнює ¹/₂ kТ. Отже, ми встановили, що

тягне за собою

Це означає, що середній квадрат радіус-вектора частинки <R²> до моменту t дорівнює

Таким чином, ми й справді можемо з'ясувати, як далеко підуть частинки! Спочатку потрібно вивчити реакцію частинки на сталу силу, з'ясувати швидкість дрейфу частинки під дією відомої сили (щоб визначити µ), а тоді ми зможемо дізнатися, чи далеко розповзуться безладно рухомі частинки. Отримане нами рівняння має велику історичну цінність, тому що на ньому засновано один із перших способів визначення сталої k. Адже врешті-решт можна виміряти величину µ, і час, визначити відстань, на яку віддалиться частинка, і отримати середні значення. Чому так важливо визначити точне значення k? Тому що за законом PV=RT для моля можна виміряти R, яке дорівнює добутку числа атомів у молі на k. Моль колись визначався як стільки-то грамів кисню 16 (тепер для цієї мети використовують вуглець), тому числа атомів у молі спочатку не знали. Це, звісно, цікаве й важливе питання. Які розміри атомів? Чи багато їх? Таким чином, одне з найраніших визначень числа атомів звелося до визначення того, чи далеко підуть найдрібніші порошинки, поки ми будемо терпляче розглядати їх у мікроскоп протягом строго визначеного часу. Після цього можна було знайти і сталу Больцмана k, і число Авогадро N₀, тому що R на той час уже було виміряно.