Ми переходимо до обговорення складнішої й цікавішої теореми, суть якої полягає в такому. Припустімо, що в нас є заряджений осцилятор, на кшталт того, про який ми говорили, коли йшлося про світло. Нехай це буде електрон, що коливається в атомі вгору і вниз. А раз він коливається, то випромінює світло. Припустімо тепер, що цей осцилятор потрапив у сильно розріджений газ, що складається з інших атомів, і час від часу ці атоми з ним стикаються. Коли врешті-решт настане рівновага, осцилятор набуває такої енергії, що кінетична енергія коливань дорівнюватиме 1/2kТ, а оскільки це гармонічний осцилятор, то повна енергія руху стане рівною kТ.
Це, звісно, неправильно, тому що осцилятор несе електричний заряд, а оскільки він має енергію kТ, то, гойдаючись вгору і вниз, він випромінює світло. Тому неможливо отримати рівновагу самої лише речовини без того, щоб заряди не випромінювали світло, а коли світло випромінюється, витікає енергія, осцилятор з часом витрачає енергію kТ, а навколишній газ, що стикається з осцилятором, поступово охолоджується. Саме таким чином охолоджується за ніч натоплена з вечора піч, випускаючи все тепло в повітря. Атоми, що стрибають у її цеглинах, заряджені й безперервно випромінюють, а в результаті цього випромінювання танець атомів поступово сповільнюється.
Але якщо укласти всі атоми й осцилятори в ящик, так щоб світло не могло піти в нескінченність, теплова рівновага може настати. Ми можемо помістити газ у ящик, у стінках якого є й інші випромінювачі, що випускають світло всередину ящика, а ще краще спорудити ящик із дзеркальними стінками. Цей приклад допоможе краще зрозуміти, що станеться. Отже, ми припускаємо, що все випромінювання від осцилятора залишається всередині ящика. Осцилятор і в цьому разі починає випромінювати, але досить скоро він усе ж таки збере своє значення kТ кінетичної енергії. Відбувається це тому, що сам осцилятор буде освітлюватися, так би мовити, власним світлом, відбитим від стінок ящика. Незабаром у ящику буде багато світла і, хоча осцилятор продовжує випромінювати, частина світла повертатиметься і відшкодовуватиме осцилятору втрачену ним енергію.
А тепер підрахуємо, наскільки має бути освітлений ящик за температури Т, щоб розсіяння світла на осциляторі забезпечувало його якраз такою енергією, яка потрібна для підтримання випромінювання. Нехай атомів у ящику зовсім небагато і перебувають вони далеко один від одного, так що наш осцилятор ідеальний, не має іншого тертя, крім радіаційного. Тепер зауважимо, що за теплової рівноваги осцилятор робить одразу дві справи. По-перше, він випромінює, і ми можемо підрахувати енергію випромінювання. По-друге, він у відшкодування отримує точно таку саму кількість енергії в результаті розсіяння на ньому світла. Оскільки енергія нізвідки більше притекти не може, то ефективне випромінювання — це якраз та частина «загального світла», яка розсіялася на осциляторі.
Таким чином, перш за все ми обчислюємо енергію, яку випромінює за 1 с осцилятор із заданою енергією. (Ми запозичимо для цього з розд. 32, присвяченого радіаційному тертю, кілька рівностей і не будемо тут наводити їх виведення.) Відношення енергії, випроміненої за радіан, до енергії осцилятора називається 1/Q [див. рівняння (32.8)] : 1/Q= (dW/dt)/ω0W. Використовуючи величину γ (сталу згасання), можна записати це у вигляді 1/Q = γ/ω0 де ω0 - власна частота осцилятора, якщо γ дуже мала, a Q дуже велике. Випромінена за 1 с енергія дорівнює
Зображення
Випромінена за 1 с енергія просто дорівнює добутку γ на енергію осцилятора. Середня енергія нашого осцилятора дорівнює kТ, тому добуток γ на kТ — це середнє значення випроміненої за 1 с енергії:
Зображення
Тепер нам треба тільки дізнатися, що таке γ. Цю величину легко знайти з рівняння (32.12):
Зображення
де r0= е2/mc2—класичний радіус електрона, і ми поклали λ = 2πс/ω0.
Остаточний результат для середньої швидкості випромінювання світла поблизу частоти ω0 такий:
Зображення
Тепер треба з'ясувати, наскільки сильно має бути освітлений осцилятор. Освітлення має бути таким, щоб поглинута осцилятором енергія (і згодом розсіяна) точно дорівнювала попередній величині. Інакше кажучи, випромінене світло — це світло, розсіяне при освітленні осцилятора в порожнині. Отже, нам залишається розрахувати, скільки світла розсіюється осцилятором, якщо на нього падає якась — невідома — доза випромінювання. Нехай I(ω)dω— енергія світла частоти ω в інтервалі частот dω (адже в нас немає світла точно заданої частоти; випромінювання розподілене за спектром). Таким чином, I(ω) — це спектральний розподіл, який нам треба знайти. Це той колір вогню, який ми побачимо всередині печі за температури Т, якщо відкриємо дверцята й зазирнемо всередину.Скільки ж усе-таки світла поглинеться? Ми вже визначали кількість випромінювання, що поглинається із заданого падаючого пучка світла, і виразили його через ефективний переріз. Це відповідає тому, якби ми припускали, що все світло, яке падає на майданчик певної площі, поглинається. Таким чином, повна перевипромінена (розсіяна) інтенсивність дорівнює добутку інтенсивності падаючого світла I(ω)dω на ефективний переріз σ.
Ми вивели формулу для ефективного перерізу [див. рівняння (31.19)], що не включає згасання. Неважко повторити це виведення знову і врахувати тертя, яким ми тоді знехтували. Якщо це зробити, то, обчислюючи ефективний переріз за колишнім зразком, ми отримаємо
Зображення
Підемо далі; σs як функція частоти має більш-менш помітну величину тільки для ω поблизу власної частоти ω0. (Згадаймо, що для випромінюючого осцилятора Q — порядка 108.) Коли ω дорівнює ω0, осцилятор розсіює дуже сильно, а за інших значень ω він майже не розсіює зовсім. Тому можна замінити ω на ω0, а ω2– ω02 на 2ω0(ω– ω0); тоді
Зображення
Тепер майже вся крива загнана в область поблизу ω = ω0. (Фактично ми не повинні робити жодних наближень, але легше мати справу з інтегралом, у якому підінтегральний вираз дещо простіший.) Якщо помножити інтенсивність у даному інтервалі частот на ефективний переріз розсіяння, то вийде енергія, розсіяна в інтервалі dω. Повна розсіяна енергія — це інтеграл за всіма ω. Таким чином,
Зображення
Тепер ми покладемо dWs /dt=3γkT. Але чому тут стоїть 3? Тому що в розд. 32 ми припускали, що світло поляризоване так, що може розгойдувати осцилятор. Якби ми використали осцилятор, здатний розгойдуватися тільки в одному напрямку, а світло було б, скажімо, поляризоване неправильно, то він зовсім не розсіювався б. Тому ми повинні або усереднити ефективний переріз розсіяння на осциляторі, здатному розгойдуватися тільки в одному напрямку, за всіма напрямками падаючих пучків і поляризацією світла в пучку, або, що легше зробити, уявити собі, що наш осцилятор слухняно йде за полем, яким би воно не було там, де він перебуває. Такий осцилятор, який однаково легко розгойдується в будь-якому з трьох напрямків, має середню енергію 3kТ, тому що в нього 3 ступені вільності. А раз 3 ступені вільності, то треба писати 3γkТ.
Займемося тепер інтегралом. Припустімо, що невідомий спектральний розподіл світла I(ω) — це плавна крива, яка у тій вузькій області частот, де σs має гострий максимум, змінюється не надто сильно (фіг. 41.3). Тоді скільки-небудь суттєвий внесок в інтеграл дають тільки частоти, близькі до ω0 і віддалені від неї на дуже малу величину γ. Тому, хоча I(ω) невідома і, можливо, складна функція, важлива тільки її поведінка поблизу ω =ω0 і можна замінити плавну криву ще рівнішою — «сталою» — всюди однієї висоти. Інакше кажучи, ми просто винесемо I(ω) з-під знака інтеграла і назвемо це I(ω0). Винесемо за інтеграл і решту сталих і тоді отримаємо
Займемося тепер інтегралом. Припустімо, що невідомий спектральний розподіл світла I(ω) — це плавна крива, яка у тій вузькій області частот, де σs має гострий максимум, змінюється не надто сильно (фіг. 41.3). Тоді скільки-небудь суттєвий внесок в інтеграл дають тільки частоти, близькі до ω0 і віддалені від неї на дуже малу величину γ. Тому, хоча I(ω) невідома і, можливо, складна функція, важлива тільки її поведінка поблизу ω =ω0 і можна замінити плавну криву ще рівнішою — «сталою» — всюди однієї висоти. Інакше кажучи, ми просто винесемо I(ω) з-під знака інтеграла і назвемо це I(ω0). Винесемо за інтеграл і решту сталих і тоді отримаємо
Зображення
Інтеграл береться від 0 до ∞, але 0 віддалений так далеко від ω0, що крива за цей час іде майже вздовж осі абсцис, тому замінимо 0 на —∞, різниця невелика, а інтеграл узяти легше. Інтеграл вигляду ∫dx /(x2 + a2) приводить до арктангенса. Якщо зазирнути у довідник, то ми побачимо, що він дорівнює π/α. Отже, для нашого випадку це 2π/γ Після невеликих маніпуляцій ми отримуємо
Зображення
Потім ми підставимо сюди формулу (41.6) для γ (ми вже не будемо намагатися писати ω0; раз це правильно для будь-якої ω0, то можна назвати її просто ω), і формула для I(ω) набуде вигляду
Зображення
Вона й визначає розподіл світла в гарячій печі. Це так зване випромінювання абсолютно чорного тіла. Чорного тому, що, якщо зазирнути в топку печі при абсолютному нулі, вона буде чорною.
Формула (41.13) задає розподіл енергії випромінювання всередині ящика за температури Т згідно з класичною теорією. Відзначимо спочатку чудову особливість цього виразу. Заряд осцилятора, маса осцилятора, всі його окремі властивості випали з формули; адже якщо ми досягли рівноваги з одним осцилятором, ми повинні подбати про рівновагу і з будь-яким іншим осцилятором іншої маси, інакше будуть неприємності. Таким чином, це важливий спосіб перевірки нашої теореми про те, що рівновага залежить тільки від температури, а не від того, що приводить до рівноваги. Тепер можна накреслити криву I(ω) (фіг. 41.4). Вона покаже нам, якою є освітленість за різних частот.
У вираз для інтенсивності в ящику на одиницю частоти входить, як видно, квадрат частоти; це означає, що якщо взяти ящик за будь-якої температури, то в ньому виявиться безліч рентгенівських променів!
Ми знаємо, звісно, що це неправильно, Коли ми відкриваємо піч і заглядаємо в неї, ми не псуємо очі рентгенівськими променями. Далі — гірше, повна енергія ящика, повна інтенсивність, просумована за всіма частотами, має бути площею під цією кривою, що йде в нескінченність. Отже, тут щось зовсім неправильно в самій основі.
Це означає, що класична теорія цілком непридатна для правильного опису розподілу випромінювання чорного тіла, так само як і для опису теплоємностей газів. Фізики ходили навколо цього висновку, розглядали його з різних поглядів і не знайшли виходу. Це передбачення класичної фізики. Рівняння (41.13) називається законом Релея, передбачене воно класичною фізикою і до очевидності абсурдне.
Формула (41.13) задає розподіл енергії випромінювання всередині ящика за температури Т згідно з класичною теорією. Відзначимо спочатку чудову особливість цього виразу. Заряд осцилятора, маса осцилятора, всі його окремі властивості випали з формули; адже якщо ми досягли рівноваги з одним осцилятором, ми повинні подбати про рівновагу і з будь-яким іншим осцилятором іншої маси, інакше будуть неприємності. Таким чином, це важливий спосіб перевірки нашої теореми про те, що рівновага залежить тільки від температури, а не від того, що приводить до рівноваги. Тепер можна накреслити криву I(ω) (фіг. 41.4). Вона покаже нам, якою є освітленість за різних частот.
У вираз для інтенсивності в ящику на одиницю частоти входить, як видно, квадрат частоти; це означає, що якщо взяти ящик за будь-якої температури, то в ньому виявиться безліч рентгенівських променів!
Ми знаємо, звісно, що це неправильно, Коли ми відкриваємо піч і заглядаємо в неї, ми не псуємо очі рентгенівськими променями. Далі — гірше, повна енергія ящика, повна інтенсивність, просумована за всіма частотами, має бути площею під цією кривою, що йде в нескінченність. Отже, тут щось зовсім неправильно в самій основі.
Це означає, що класична теорія цілком непридатна для правильного опису розподілу випромінювання чорного тіла, так само як і для опису теплоємностей газів. Фізики ходили навколо цього висновку, розглядали його з різних поглядів і не знайшли виходу. Це передбачення класичної фізики. Рівняння (41.13) називається законом Релея, передбачене воно класичною фізикою і до очевидності абсурдне.