Все, що ми робили дотепер, було описом трьох хвиль; тепер нам належить виразити параметри відбитої і заломленої хвиль через параметри падаючої. Як це зробити? Три описані нами хвилі задовольняють рівняння Максвелла в однорідному матеріалі, але, крім того, рівняння Максвелла мають задовольнятися й на межі між двома матеріалами. Тож нам потрібно зараз подивитися — що ж відбувається на самій межі. Ми з'ясуємо, що рівняння Максвелла вимагають, щоб три хвилі певним чином узгоджувалися одна з одною.
Ось один із прикладів того, що ми маємо на увазі. Складова за віссю y електричного поля Е має бути однаковою по обидва боки межі. Цього вимагає закон Фарадея:
Ось один із прикладів того, що ми маємо на увазі. Складова за віссю y електричного поля Е має бути однаковою по обидва боки межі. Цього вимагає закон Фарадея:
Зображення
у чому неважко переконатися. Розглянемо для цього маленьку петлю Г, яка з обох боків охоплює межу (фіг. 33.4). Згідно з рівнянням (33.19), криволінійний інтеграл від Е по петлі Г дорівнює швидкості зміни потоку В через цю петлю:Зображення
Уявіть тепер, що прямокутник дуже вузький, так що він замикається в нескінченно малій області. Якщо при цьому поле В залишається скінченним (немає жодних причин йому бути нескінченним!), то потік через цю область дорівнюватиме нулю. Таким чином, контурний інтеграл від Е повинен бути нулем. Якщо у-компоненти поля на двох сторонах межі дорівнюють Еу1 і Еу2, а довжина прямокутника дорівнює l, то ми отримуємо
Зображення
як ми й очікували. Ця умова дає нам одне співвідношення між полями в трьох хвилях.
Процедуру знаходження наслідків рівнянь Максвелла на межі називають «визначенням граничних умов». Зазвичай вона полягає у знаходженні якомога більшої кількості рівнянь типу (33.20), і виконується вона за допомогою розгляду маленьких прямокутників, подібних до Г на фіг. 33.4, або маленьких гаусових поверхонь, що охоплюють межу з двох боків. Хоча це цілком правильний спосіб міркувань, він створює враження, що в різних фізичних задачах із межами потрібно поводитися по-різному.
Як, наприклад, у задачі про тепловий потік через поверхню визначити температуру на обох прилеглих до неї сторонах? Звичайно, ви маєте право стверджувати, що тепло, яке притікає до межі з одного боку, має дорівнювати теплу, яке витікає від неї з другого. Зазвичай це можливо і, взагалі кажучи, дуже корисно знаходити граничні умови з такого роду фізичних міркувань. Однак можуть трапитися випадки, коли, працюючи над якоюсь проблемою, ви знаєте лише рівняння і не можете безпосередньо побачити, які саме фізичні аргументи можна використати. Тож, хоча наразі нас цікавлять лише електромагнітні явища, де можна навести фізичні аргументи, я хочу навчити вас методу, який можна застосувати в будь-якій задачі: загальному методу знаходження безпосередньо з диференціальних рівнянь того, що відбувається на межі.
Почнемо з виписування всіх рівнянь Максвелла для діелектрика, але цього разу скрупульозно виписуючи всі компоненти:
Процедуру знаходження наслідків рівнянь Максвелла на межі називають «визначенням граничних умов». Зазвичай вона полягає у знаходженні якомога більшої кількості рівнянь типу (33.20), і виконується вона за допомогою розгляду маленьких прямокутників, подібних до Г на фіг. 33.4, або маленьких гаусових поверхонь, що охоплюють межу з двох боків. Хоча це цілком правильний спосіб міркувань, він створює враження, що в різних фізичних задачах із межами потрібно поводитися по-різному.
Як, наприклад, у задачі про тепловий потік через поверхню визначити температуру на обох прилеглих до неї сторонах? Звичайно, ви маєте право стверджувати, що тепло, яке притікає до межі з одного боку, має дорівнювати теплу, яке витікає від неї з другого. Зазвичай це можливо і, взагалі кажучи, дуже корисно знаходити граничні умови з такого роду фізичних міркувань. Однак можуть трапитися випадки, коли, працюючи над якоюсь проблемою, ви знаєте лише рівняння і не можете безпосередньо побачити, які саме фізичні аргументи можна використати. Тож, хоча наразі нас цікавлять лише електромагнітні явища, де можна навести фізичні аргументи, я хочу навчити вас методу, який можна застосувати в будь-якій задачі: загальному методу знаходження безпосередньо з диференціальних рівнянь того, що відбувається на межі.
Почнемо з виписування всіх рівнянь Максвелла для діелектрика, але цього разу скрупульозно виписуючи всі компоненти:
Зображення
Зображення
Ці рівняння мають бути справедливі як в області 1 (ліворуч від межі), так і в області 2 (праворуч від неї). Ми вже виписували розв'язки в областях 1 і 2. Вони мають задовольнятися й на самій межі, яку ми можемо назвати областю 3. Хоча зазвичай ми вважаємо межу чимось абсолютно різким, насправді таких меж не буває. Фізичні властивості, щоправда, змінюються дуже швидко, але все ж не нескінченно швидко. У всякому разі, ми можемо вважати, що між областями 1 і 2 зміна показника заломлення хоч і дуже швидка, але неперервна. Цю невелику відстань, на якій вона відбувається, ми можемо назвати областю 3. Подібного ж переходу в області 3 зазнаватимуть і інші характеристики поля, такі, як Рx або Еy тощо. Однак диференціальні рівняння мають задовольнятися; саме йдучи за диференціальними рівняннями в цій області, ми прийдемо до потрібних «граничних умов».Припустімо, наприклад, що в нас є межа між вакуумом (область 1) і склом (область 2). У вакуумі нічому поляризуватися, тож P1=0. А поляризація в склі нехай дорівнює Р2. Між вакуумом і склом існує гладкий, але швидкий перехід. Якщо ми простежимо за якоюсь компонентою Р, скажімо Рx, то вона може змінюватися так, як це показано на фіг. 33.5, а. Припустімо тепер, що ми взяли перше з наших рівнянь — рівняння (33.21). У нього входить похідна від компонент Р за змінними x, у і z. Похідні за y і z не дуже цікаві — у цих напрямках не відбувається нічого примітного. Але похідна від Рx за x в області 3 через швидку зміну Рx буде величезна. Похідна ∂Px/∂x, як показано на фіг. 33.5,б, має на межі дуже різкий пік. Якщо ви уявите, що межа стискається до ще тоншої області, пік виросте ще більше. Якщо для хвиль, які нас цікавлять, межа справді різка, то величина ∂Px/∂x в області 3 буде більшою, набагато більшою за будь-який внесок, який може виникнути через зміну P осторонь від межі, тож ми нехтуємо будь-якими іншими змінами, за винятком тих, що відбуваються на межі.
Але як тепер можна задовольнити рівняння (33.21), якщо з правого боку в нас височіє величезний пік? Тільки якщо існує рівний йому величезний пік з іншого боку. Щось і з лівого боку має бути великим. Єдина можливість — це ∂Ex/∂x, оскільки зміни в напрямках y і z у тих хвилях, про які ми щойно згадали, дають лише малий ефект. Таким чином, — ε0(∂Ex/∂x) повинно бути, як це показано на фіг. 33.5,в, точною копією ∂Рx/∂х. Отримуємо
Зображення
Якщо це рівняння проінтегрувати за x по всій області 3, то ми прийдемо до висновку, що
Зображення
Іншими словами, стрибок ε0Еx при переході від області 1 до області 2 має дорівнювати стрибку –Рx.
Рівняння (33.25) можна переписати у вигляді
Рівняння (33.25) можна переписати у вигляді
Зображення
воно свідчить, що величина (ε0Еx+Рx) має однакові значення як в області 2, так і в області 1. У таких випадках кажуть, що величина (ε0Еx+Рx) неперервна на межі. Таким чином, ми отримали одну з наших граничних умов.
Хоча як ілюстрацію ми взяли випадок, коли значення Рx дорівнює нулю, бо в області 1 у нас був вакуум, зрозуміло, що ті самі аргументи застосовні для будь-якого матеріалу в цих двох областях, тож рівняння (33.26) правильне в загальному випадку. Перейдімо до решти рівнянь Максвелла і подивімося, що скаже нам кожне з них. Наступним ми візьмемо рівняння (33.22а). У нього немає похідної за x, тож воно нічого нам не каже. (Згадайте, що на межі самі поля не особливо великі. Тільки їхні похідні за x можуть стати настільки величезними, що домінуватимуть у рівнянні.) Погляньмо тепер на рівняння (33.22б). Дивіться! Саме тут у нас є похідна за x! З лівого боку є ∂Ez/∂x. Припустімо, що ця похідна величезна. Але хвилинку терпіння! З правого боку немає нічого, здатного позмагатися з нею, тому Еz не може мати стрибка при переході з області 1 до області 2. [Якби це було так, то з лівого боку рівняння (33.22а) ми отримали б стрибок, а з правого — його не було б, і рівняння виявилося б неправильним.] Отже, ми отримали нову умову:
Хоча як ілюстрацію ми взяли випадок, коли значення Рx дорівнює нулю, бо в області 1 у нас був вакуум, зрозуміло, що ті самі аргументи застосовні для будь-якого матеріалу в цих двох областях, тож рівняння (33.26) правильне в загальному випадку. Перейдімо до решти рівнянь Максвелла і подивімося, що скаже нам кожне з них. Наступним ми візьмемо рівняння (33.22а). У нього немає похідної за x, тож воно нічого нам не каже. (Згадайте, що на межі самі поля не особливо великі. Тільки їхні похідні за x можуть стати настільки величезними, що домінуватимуть у рівнянні.) Погляньмо тепер на рівняння (33.22б). Дивіться! Саме тут у нас є похідна за x! З лівого боку є ∂Ez/∂x. Припустімо, що ця похідна величезна. Але хвилинку терпіння! З правого боку немає нічого, здатного позмагатися з нею, тому Еz не може мати стрибка при переході з області 1 до області 2. [Якби це було так, то з лівого боку рівняння (33.22а) ми отримали б стрибок, а з правого — його не було б, і рівняння виявилося б неправильним.] Отже, ми отримали нову умову:
Зображення
Після тих самих міркувань рівняння (33.22в) дає
Зображення
Останній результат точно збігається з умовою (33.20), отриманою за допомогою контурного інтеграла.
Перейдімо до рівняння (33.23). Єдине, що може дати пік, — це ∂Bx/∂x. Але справа знову немає нічого, здатного протистояти йому; в результаті ми доходимо висновку, що
Перейдімо до рівняння (33.23). Єдине, що може дати пік, — це ∂Bx/∂x. Але справа знову немає нічого, здатного протистояти йому; в результаті ми доходимо висновку, що
Зображення
І, нарешті, останнє з рівнянь Максвелла! Рівняння (33.24а) нічого не дає, бо там немає похідних за x. У рівнянні (33.23б) — одна похідна: — c2(∂Bz/∂x), але їй знову нема чого протиставити з другого боку рівності, тому ми отримуємо
Зображення
Цілком аналогічно друге рівняння, яке дає
Зображення
Отже, останні три умови кажуть нам, що B2=B1.
Хочу тут підкреслити, що такий результат отримано лише тому, що по обидва боки межі ми взяли немагнітний матеріал, точніше, тому, що магнітним ефектом цих матеріалів ми можемо знехтувати. Зазвичай це цілком допустимо для більшості матеріалів, за винятком феромагнетиків. (Магнітні властивості матеріалів ми розглядатимемо в наступних розділах.)
Наша програма привела нас до шести співвідношень між полями в областях 1 і 2. Усі вони виписані в табл. 33.1. Їх можна використати для узгодження хвиль у двох областях.
Хочу тут підкреслити, що такий результат отримано лише тому, що по обидва боки межі ми взяли немагнітний матеріал, точніше, тому, що магнітним ефектом цих матеріалів ми можемо знехтувати. Зазвичай це цілком допустимо для більшості матеріалів, за винятком феромагнетиків. (Магнітні властивості матеріалів ми розглядатимемо в наступних розділах.)
Наша програма привела нас до шести співвідношень між полями в областях 1 і 2. Усі вони виписані в табл. 33.1. Їх можна використати для узгодження хвиль у двох областях.
Зображення
Однак я хочу відзначити, що ідея, яку ми щойно використали, працюватиме в будь-якій фізичній ситуації, де у вас є диференціальні рівняння і потрібно знайти розв'язок в області, перетнутій різкою межею, по обидва боки якої деякі з фізичних властивостей різні. Для наших теперішніх цілей було б легше отримати ті самі рівняння за допомогою міркувань про потоки й циркуляції на межі. (Перевірте, чи можна подібним шляхом отримати ті самі результати.) Однак тепер ви знаєте метод, який буде хорошим, навіть коли ви потрапили у скрутне становище й не бачите простих фізичних міркувань щодо того, що відбувається на межі. Ви можете просто скористатися диференціальними рівняннями.