Відбита і заломлена хвилі

Тепер ми готові застосувати наші граничні умови до хвиль, перелічених у § 2, де ми отримали:

Нами отримано ще деякі відомості: вектор Е перпендикулярний для кожної хвилі до вектора поширення k.
 
Отриманий результат залежатиме від напрямку вектора Е («поляризації») у падаючій хвилі. Аналіз значно спроститься, якщо ми розглянемо окремо випадок, коли вектор Е паралельний «площині падіння» (тобто площині ху), і випадок, коли він перпендикулярний до неї. Хвиля з будь-якою іншою поляризацією буде просто лінійною комбінацією цих хвиль. Іншими словами, відбиті й заломлені інтенсивності для різних поляризацій будуть різними, і найлегше відібрати два найпростіші випадки і розглянути їх окремо.
 
Я детально проаналізую випадок падаючої хвилі, перпендикулярної до площини падіння, а потім просто опишу вам, що виходить в інших випадках. Я трохи хитрую, розглядаючи найпростіший приклад, однак в обох випадках принцип той самий. Отже, ми вважаємо, що вектор Еi має тільки z-компоненту, а оскільки всі вектори Е дивляться в одному й тому самому напрямку, векторний значок можна опустити.
Обидва матеріали ізотропні, тому вимушені коливання зарядів у матеріалі відбуватимуться в напрямку осі z, і в полів Е в заломленій і відбитій хвилях теж буде тільки одна z-компонента. Таким чином, для всіх хвиль Е_x і Е_y , Р_x і Р_y дорівнюють нулю. Напрямки векторів Е і В в цих хвилях показані на фіг. 33.6. (Тут ми відступили від нашого первісного наміру все отримати з рівнянь. Цей результат також можна було б отримати з граничних умов, однак, використовуючи фізичні аргументи, ми уникнули великих алгебраїчних викладок. Коли у вас буде вільний час, подивіться, чи можна дійсно вивести його з рівнянь. Він, звичайно, узгоджується з рівняннями; просто ми не довели, що немає інших можливостей.)
 
Тепер   наші   граничні    умови [рівняння   (33.26) — (33.31)] повинні дати співвідношення між компонентами Е і В в областях 1 і 2.  В області 2 в нас є тільки одна заломлена хвиля, а от в області 1 — їх дві. Яку ж із них нам взяти? Поля в області 1 будуть, звичайно, суперпозицією полів падаючої й відбитої хвиль. (Оскільки кожне задовольняє рівняння Максвелла, то їм задовольняє й сума.) Тому, коли ми використовуємо граничні умови, потрібно пам'ятати, що

Таким чином, ми отримуємо рівняння
і аналогічно для В.
 
Для поляризацій, якими ми зараз займаємося, рівняння (33.26) і (33.28) не дають жодної нової інформації, і тільки рівняння (33.27) допоможе нам. Воно каже, що на межі, тобто при х=0:

яке має виконуватися для будь-якого t і будь-якого у. Візьмемо спочатку y=0. Для цього значення рівняння (33.38) перетворюється на

згідно з яким два осцилюючих члени дорівнюють третьому. Це може статися, тільки коли частоти всіх осциляцій однакові. (Неможливо, додавши три або якесь інше число подібних членів з різними частотами, отримати для будь-якого моменту часу в результаті нуль.) Отже,

як це нам завжди й було відомо, тобто частоти заломленої і відбитої хвиль ті самі, що й падаючої.
 
Якби ми припустили це із самого початку, то, безсумнівно, уникли б багатьох труднощів, але мені хотілося показати вам, що той самий результат можна отримати і з рівнянь. А от коли перед вами постане реальна задача, найкраще одразу пустити в хід усе, що ви знаєте. Це позбавить вас зайвого клопоту.
 
За визначенням абсолютна величина k задається рівністю k²=n²ω²/с², тому

А тепер звернемося до рівняння (33.38) для t=0. Використовуючи знову ті самі міркування, що й раніше, але цього разу спираючись на те, що рівняння мають бути справедливі при всіх значеннях y, ми отримуємо

З формули (33.40) к′² = к², так що

Комбінуючи це з  (33.41), знаходимо

або k′_x= ±k_x. Знак плюс не має жодного сенсу; він не дає нам жодної відбитої хвилі, а лише іншу падаючу хвилю, а ми з самого початку говорили, що розв'язуватимемо задачу з єдиною падаючою хвилею, так що

Два співвідношення (33.41) і (33.42) кажуть нам, що кут відбиття дорівнює куту падіння, як це й очікувалося (див. фіг. 33.3). Отже, у відбитій хвилі

Для заломленої хвилі ми вже отримували

Їх можна розв'язати і в результаті отримати

Припустімо на мить, що n₁ і n₂ — дійсні числа (тобто що уявна частина показників дуже мала). Тоді всі k теж будуть дійсними, і з фіг. 33.3 ми бачимо, що

тобто вже відомий нам закон Снелла для заломлення. Якщо ж показник заломлення не дійсний, то хвильові числа виявляються комплексними, і нам слід скористатися (33.45). [Звичайно, ми могли б визначити кути θ_i і θ_t з (33.46), і тоді закон Снелла (33.47) був би правильний і в загальному випадку. Однак при цьому кути теж стали б комплексними числами і, отже, втратили б свою геометричну інтерпретацію як кути. Уже краще описувати поведінку хвиль відповідними комплексними величинами   k_x  або  k″_x.]
 
Дотепер ми не виявили нічого нового. Ми доставили собі лише невеличку розвагу, виводячи очевидні речі зі складного математичного механізму. А зараз ми готові знайти амплітуди хвиль, які нам ще не відомі. Використовуючи результати для всіх ω і k, ми можемо скоротити експоненційний множник у (33.38) і отримати

Але оскільки ми не знаємо ні E′₀, ні E″₀, то потрібне ще одне співвідношення. Потрібно використати ще одну граничну умову. Рівняння для Е_x і Е_y не допоможуть, бо всі Е мають тільки одну z-компоненту. Тож ми повинні скористатися умовою на В. Спробуймо взяти (33.29):

Але це знову рівняння (33.48)! Ми даремно витратили час і отримали те, що вже давно нам відомо.
 
Можна було б звернутися до (33.30) B_z2= B_z1, але у вектора В немає z-компоненти! Залишилася тільки одна умова — (33.31) В_y2=В_y1 Для наших трьох хвиль

Підставляючи замість E_i E_r і E_t хвильові вирази при х=0 (бо справа відбувається на межі), ми отримуємо таку граничну умову:

Враховуючи  рівність усіх ω і k_y, знову приходимо до умови

Це дає нам рівняння для величини E, відмінне від (33.48). Отримані два рівняння можна розв'язати відносно E′₀ і E″_0. Пригадуючи, що k′_x= –k_x , отримуємо

Разом із (33.45) або (33.46) для k″_x ці формули дають нам усе, що ми хотіли дізнатися. Наслідки отриманого результату ми обговоримо в наступному параграфі.
 
Якщо взяти поляризовану хвилю з вектором Е, паралельним площині падіння, то Е, як це видно з фіг. 33.7, матиме як х-, так і y-компоненту. Уся алгебра при цьому буде менш хитра, але складніша. (Можна, щоправда, дещо зменшити роботу в цьому випадку, виразивши все через магнітне поле, яке цілком спрямоване вздовж осі z.) При цьому ми знайдемо

Подивімося, чи узгоджуватиметься наш результат із тим, що ми отримували раніше. Вираз (33.3) ми вивели у вип. 3, коли знаходили відношення інтенсивностей відбитої і падаючої хвиль. Однак тоді ми розглядали тільки дійсний показник заломлення. Для дійсного показника (або дійсних k) можна записати:

Підставляючи це в рівняння (33.51), отримуємо

що анітрохи не схоже на рівняння (33.3). Якщо, однак, ми скористаємося законом Снелла і позбудемося всіх n, то схожість буде відновлено. Підставляючи n₂=n₁(sinθ_i/sinθ_t) і множачи чисельник і знаменник на sinθ_t, отримуємо

Зверніть увагу, що в чисельнику й знаменнику стоять просто синуси (θ_i –θ_t) і (θ_i +θ_t), тому

Оскільки амплітуди Е′₀ і Е₀ вимірюються в тому самому матеріалі, інтенсивності пропорційні квадратам електричних полів, і ми отримуємо той самий результат, що й раніше. Подібним чином формула (33.53) теж аналогічна формулі (33.4).
 
Для хвиль, що падають перпендикулярно, θ_i=0 і θ_t=0. Формула (33.56) виглядає як 0/0, від чого нам користі мало. Однак ми можемо повернутися назад до формули (33.55), згідно з якою

Цей результат, природно, застосовний для «будь-якої» поляризації, оскільки для перпендикулярного променя немає жодної особливої «площини падіння».