Хвилі в густих матеріалах

Перш за все я нагадаю вам про зручний спосіб опису синусоїдальних плоских хвиль, яким ми користувалися в розд. 36 (вип. 3). Будь-яка компонента поля в хвилі (візьмемо, наприклад, E) може бути записана у формі

де E — амплітуда поля в точці r (відносно початку координат) у момент t. Вектор k вказує напрямок поширення хвилі, а його величина |k|= k=2π/λ дорівнює хвильовому числу. Фазова швидкість хвилі v_фаз=ω/k для світла в матеріалі з показником n дорівнюватиме с/n, тому

Припустімо, що вектор k спрямований уздовж осі z; тоді к·r буде просто добре знайомим нам kz. Для вектора k у будь-якому іншому напрямку z слід замінити на r_k — відстань від початку в напрямку вектора к, тобто kz ми повинні замінити на kr_k, що якраз дорівнює к·r (фіг. 33.2). Таким чином, запис (33.6) є зручним представленням хвилі, що йде в будь-якому напрямку.
 
Зрозуміло, при цьому ми повинні пам'ятати, що

де к_x, к_y і k_z — компоненти вектора k за трьома осями. Ми вже зазначали одного разу, що насправді величини (ω, к_x, к_y , k_z) утворюють чотиривектор і що його скалярний добуток на (t, х, у, z) є інваріантом. Таким чином, фаза хвилі є інваріантом, і формулу (33.6) можна записати у вигляді

Однак зараз нам такі хитрощі не знадобляться.
 
Для синусоїдального поля E, подібного до виразу (33.6), похідна ∂E/∂t — це те саме, що й iωE, a ∂E/∂х — те саме, що й ik_xE, і аналогічно для решти компонент. Ви бачите, чим зручна форма (33.6): коли ми працюємо з диференціальними рівняннями, то диференціювання замінюється простим множенням. Інша корисна властивість полягає в тому, що операція ∇ = (∂/∂x), (∂/∂y), (∂/∂z) замінюється трьома множеннями (–iк_x, –ik_y,  –ik_z). Але ці три множники перетворюються як компоненти вектора k, тож оператор ∇ замінюється множенням на –ik:

Правило залишається справедливим для операції ∇ у будь-якій комбінації, чи то градієнт, дивергенція чи ротор. Наприклад, z-компонента ∇×Е дорівнює

Якщо і Е_y  і Е_x змінюються як e^{–i k·r}, то ми отримуємо

що є, як бачите, z-компонентою  –ikxE.
 
Таким чином, ми отримали дуже корисний загальний закон: у будь-якому випадку, коли вам потрібно взяти градієнт від вектора, який змінюється, як хвиля в тривимірному просторі (а вони у фізиці відіграють важливу роль), цю операцію ви можете виконати швидко й майже без жодних роздумів, якщо згадаєте, що оператор ∇ еквівалентний множенню на –ik.
 
Наприклад, рівняння Фарадея

Це відповідає результату, знайденому раніше для хвиль у порожньому просторі, тобто що вектор В у хвилі спрямований під прямим кутом до вектора Е і напрямку поширення хвилі. (У порожньому просторі ω/к=с.) Знак у рівнянні (33.9) можна перевірити, виходячи з того, що k є напрямком вектора Пойнтінга S=ε₀c²(ExB).
 
Якщо ви застосуєте те саме правило до інших рівнянь  Максвелла,  то знову  отримаєте  результати  останнього розділу, зокрема

Але раз уже це нам відомо, не будемо проробляти все спочатку.
 
Якщо ви хочете розважитися, можете спробувати розв'язати таку лячну задачу (у 1890 р. її пропонували студентам на випускних іспитах): розв'яжіть рівняння Максвелла для плоскої хвилі в анізотропному кристалі, тобто коли поляризація Р пов'язана з електричним полем Е через тензор поляризовності. Звичайно, як ваші осі ви оберете головні осі тензора, тож зв'язки при цьому спростяться (тоді Р_x= α_aЕ_x, Р_y = α_bE_y, a P_z= α_cЕ_z), але напрямок хвилі та її поляризація нехай залишаться довільними. Ви повинні знайти співвідношення між Е і В та визначити, як змінюється k з напрямком поширення хвилі та її поляризацією. Після цього вам буде зрозуміла оптика анізотропного кристала. Краще почати з легшого випадку двопроменезаломлювального кристала, подібного до турмаліну, для якого два коефіцієнти поляризовності рівні між собою (наприклад, α_b=α_c), і спробувати зрозуміти, чому, коли ми дивимося крізь такий кристал, ми бачимо два зображення. Якщо це вам вдасться, тоді випробуйте свої сили на важчому випадку, коли всі три α різні. Після цього вам уже буде зрозумілий рівень ваших знань — чи знаєте ви стільки ж, скільки студент, що закінчував університет у 1890 р. Але ми з вами в цьому розділі розглядатимемо лише ізотропні речовини.
 
З досвіду вам відомо, що коли на межу розділу двох матеріалів, скажімо повітря і скла або води й бензину, потрапляє плоска хвиля, то виникають як відбита, так і заломлена хвилі. Припустімо, що, крім цього факту, нам більше нічого не відомо, і подивімося, що можна з нього вивести. Виберемо наші осі так, щоб площина yz збігалася з поверхнею розділу, а площина ху була перпендикулярна до фронту хвилі (фіг. 33.3).
 
Електричний вектор у падаючій хвилі можна записати у вигляді

Оскільки вектор k перпендикулярний до осі z, то

Відбиту хвилю ми запишемо як

так що її частота дорівнює ω′, хвильове число k′, а амплітуда Е′₀. (Ми, звичайно, знаємо, що частота і величина вектора k у відбитій хвилі ті самі, що й у падаючій хвилі, але не хочемо припускати навіть це. Нехай усе це вийде само собою з математичного апарату.) Нарешті, запишемо заломлену хвилю:

Ви знаєте, що одне з рівнянь Максвелла дає співвідношення (33.9), так що для кожної з хвиль

Крім того, якщо показники заломлення двох середовищ ми позначимо через n₁ і n₂, то з рівняння (33.10) отримаємо

Оскільки відбита хвиля перебуває в тому  ж  матеріалі, то

тоді як для заломленої хвилі