Імпульс усе-таки зберігається!

Можна експериментально перевірити наші припущення про те, що, по-перше, два тіла з рівною масою, які спочатку спокійні і розірвані вибухом, полетять у різні боки з рівною швидкістю, і, по-друге, що два тіла з рівними швидкостями і масами при зіткненні й злипанні зупиняються. Таку перевірку можна зробити за допомогою чудового пристрою — повітряного жолоба (фіг. 10.1). 

У цьому пристрої немає жодних деталей, що труться, — питання, яке дуже турбувало Галілея. Він не міг поставити експеримент із тілами, що ковзають, бо вони не ковзали вільно, але за допомогою чудового жолоба ми можемо тепер позбутися тертя. Наші тіла летітимуть без перешкод, а швидкість їх, згідно з передбаченням Галілея, залишатиметься сталою. Це досягається тим, що тіло підтримується повітряною подушкою, а оскільки тертя об повітря дуже мале, то тіло планує практично зі сталою швидкістю, якщо на нього не діють жодні сили. Візьмемо спочатку два бруски, що ковзають, вага чи маси яких з великою точністю рівні одна одній (практично вимірюється вага, але вона, як ви знаєте, пропорційна масі), і помістимо між ними невеликий підривник у закритому циліндрі (фіг. 10.2). 

Усю цю систему встановлюємо в центрі жолоба і електричною іскрою підпалюємо підривник. Що ж станеться? Якщо маси брусків однакові, то вони, розлетівшись у боки, одночасно досягнуть кінців жолоба. Там вони відскакують від обмежувачів, стикаються і злипаються в центрі, точно в тому самому місці, звідки розлетілися (фіг. 10.3). 

Це цікавий дослід. І насправді все відбувається так, як ми розповіли. Тепер на черзі проблема складніша. Припустімо, ми маємо дві маси, причому одна рухається зі швидкістю v, а інша стоїть на місці. Потім перша вдаряє по другій, і вони злипаються. Що станеться далі? Утвориться одне тіло з масою 2m, яке якось рухатиметься. Але з якою швидкістю? Ось у чому питання. Щоб відповісти на нього, припустімо, що ми їдемо вздовж жолоба на автомобілі. Усі закони фізики мають при цьому виглядати точнісінько так само, як і раніше, коли ми стояли на місці. Ми почали з того, що якщо зіштовхнути два тіла з рівними масами й однаковими швидкостями v, то після злипання вони зупиняються. А тепер уявіть, що в цей час ми котимо на автомобілі зі швидкістю —v. Яку ж картину ми побачимо? Ясно, що одне з тіл, оскільки воно весь час летить поряд з автомобілем, здаватиметься нам нерухомим. Друге ж, яке рухається назустріч зі швидкістю v, здасться нам таким, що несеться з подвоєною швидкістю 2v (фіг. 10.4).  Нарешті, тіло, що утворилося після зіткнення і злипання, здаватиметься нам таким, що летить зі швидкістю v. Звідси ми робимо висновок, що якщо тіло, яке летить зі швидкістю 2v, вдаряється об нерухоме тіло тієї самої маси і прилипає до нього, то тіло, яке утворилося, рухатиметься зі швидкістю v, або (що математично те саме) тіло зі швидкістю v, вдаряючись об нерухоме тіло тієї самої маси і прилипаючи до нього, утворює тіло, що рухається зі швидкістю v/2. Зауважте, що якщо помножити маси тіл на їхні швидкості і додати їх, то отримаємо однаковий результат як до зіткнення (mv + 0), так і після (2m·v/2). Ось як стоїть справа, якщо тіло, що має швидкість v, зіткнеться з тілом, яке перебуває у спокої. Точно так само можна визначити, що станеться, коли стикаються два однакових тіла, кожне з яких рухається з довільною швидкістю. Нехай одне тіло летить зі швидкістю v₁, а інше — зі швидкістю v₂ у тому самому напрямку (v₁ > v₂). Якою буде їхня швидкість після зіткнення? Давайте знову сядемо в машину і поїдемо, скажімо, зі швидкістю v₂. Тоді одне з тіл здаватиметься нам нерухомим, а друге — таким, що налітає на нього зі швидкістю v₁ — v₂. Ця ситуація вже знайома нам, і ми знаємо, що після зіткнення швидкість нового тіла відносно машини дорівнюватиме 1/2 (v₁— v₂). Що ж стосується дійсної швидкості відносно землі, то її можна знайти, додавши швидкість автомобіля: v = 1/2(v₁ - v₂) + v₂ або 1/2(v₁ +v₂) (фіг. 10.5). Зверніть увагу, що знову

Таким чином, принцип відносності Галілея допомагає нам розібратися в будь-якому зіткненні рівних мас. Досі ми розглядали рух в одному вимірі, однак на основі цього стає зрозумілим багато чого з того, що відбуватиметься у складніших випадках зіткнення: потрібно тільки пустити автомобіль не вздовж напрямку руху тіл, а під якимось кутом. Принцип залишається тим самим, хоча деталі дещо ускладнюються. Щоб експериментально перевірити, чи дійсно тіло, яке летить зі швидкістю v, після зіткнення з нерухомим тілом тієї самої маси утворює нове тіло, що летить зі швидкістю v/2, проведемо на нашій чудовій установці такий дослід. Помістимо в жолоб три тіла з однаковими масами, два з яких з'єднані циліндром із підривником, а третє перебуває поблизу одного з них, хоча і трохи відділене від нього. Воно оснащене клейким амортизатором, так що прилипає до того тіла, яке вдаряє його. У першу мить після вибуху ми маємо два об'єкти з масами m, що рухаються зі швидкістю v кожне. У наступну мить одне з тіл стикається з третім і утворює нове тіло з масою 2m, яке, як ми вважаємо, має рухатися зі швидкістю v/2. Але як перевірити, що швидкість його дійсно v/2? Для цього ми спочатку встановимо тіла таким чином, щоб відстані до кінців жолоба відносилися як 2:1, так що перше тіло, яке продовжує рухатися зі швидкістю v, має пролетіти за той самий проміжок часу вдвічі більшу відстань, ніж скріплені два інших тіла (з урахуванням, звісно, тієї малої відстані Δ, яку друге тіло пройшло до зіткнення з третім). Якщо ми праві, то маси m і 1m мають досягти кінців жолоба одночасно; так воно й відбувається насправді (фіг. 10.6).

Наступна проблема, яку ми маємо розв'язати: що вийде, якщо тіла мають різні маси. Візьмемо маси m і 2m і влаштуємо між ними вибух. Що станеться тоді? З якою швидкістю полетить маса 2m, якщо маса m летить зі швидкістю v? Фактично нам потрібно повторити щойно проведений експеримент, але з нульовим зазором між другим і третім тілом. Звісно, що при цьому ми отримаємо той самий результат — швидкості тіл з масами m і 2m мають бути відповідно рівні — v і v/2. Отже, при розльоті тіл з масами m і 2m виходить той самий результат, що й при симетричному розльоті двох тіл з масами m з подальшим непружним зіткненням одного з цих тіл з третім, маса якого теж дорівнює m. Більше того, відбившись від кінців, кожне з цих тіл летітиме з майже тією самою швидкістю, але, звісно, у зворотному напрямку, і після непружного зіткнення вони зупиняються. Перейдемо тепер до наступного питання. Що станеться, якщо тіло з масою m і швидкістю v зіткнеться з нерухомим тілом з масою 2m? Скориставшись принципом відносності Галілея, можна легко відповісти на це питання. Простіше кажучи, нам потрібно знову сідати в машину, що йде зі швидкістю —v/2 (фіг. 10.7), і спостерігати за щойно описаним процесом. Швидкості, які ми при цьому побачимо, будуть рівні 

Після зіткнення маса 3m здасться нам такою, що рухається зі швидкістю v/2. Таким чином, ми отримали, що відношення швидкостей до і після зіткнення дорівнює 3:1, тобто тіло з масою 3m, яке утворилося, рухатиметься втричі повільніше. І в цьому випадку знову виконується загальне правило: сума добутків маси на швидкість залишається тією самою як до, так і після зіткнення: mv + 0 дорівнює 3mv/3. Ви бачите, як поступово, крок за кроком, встановлюється закон збереження імпульсу. Отже, ми розглянули зіткнення одного тіла з двома. Використовуючи ті самі міркування, можна передбачити результати зіткнення одного тіла з трьома тілами, двох тіл з трьома тілами тощо. На фіг. 10.8 якраз показано випадок розльоту мас 2m і 3m зі стану спокою.

У кожному з цих випадків виконується одне й те саме правило: маса першого тіла, помножена на його швидкість, плюс маса другого тіла, помножена на його швидкість, дорівнюють добутку повної маси на швидкість її руху. Усе це — приклади збереження імпульсу. Отже, почавши з простого випадку симетричних рівних мас, ми встановили закон збереження для складніших випадків. По суті, це можна зробити для будь-якого раціонального відношення мас, а оскільки будь-яке число може бути зі скільки завгодно великою точністю замінене раціональним, то закон збереження імпульсу справедливий для будь-яких мас.