Другий закон Ньютона, який пов'язує прискорення будь-якого тіла з силою, що на нього діє, дозволяє хоча б у принципі розв'язати будь-яку механічну задачу. Можна, наприклад, за допомогою числового методу, знайомого вам уже з попереднього розділу, визначити рух кількох частинок. Однак є ще достатньо причин, щоб продовжити вивчення законів Ньютона. По-перше, існують такі порівняно прості випадки руху, які можна вивчати не лише числовим шляхом, а й за допомогою прямих математичних методів. Ви знаєте, наприклад, що прискорення вільно падаючого тіла стале і дорівнює 9,8 м/с2. Виходячи з цього, можна було б чисельно відтворити всю картину руху, однак набагато простіше й зручніше за допомогою математичного аналізу знайти загальний розв'язок: s = s0 +v0t + 4,9t2. Те саме стосується і гармонічного осцилятора, розрахунку якого була присвячена частина попереднього розділу. Можна було б просто аналітично довести, що функція cos t є точним розв'язком цієї задачі, тому немає потреби в арифметичних вправах, якщо відповідь можна отримати простішим і строгішим методом.
Одна з таких задач — рух планети навколо Сонця. Можна, звісно, так само, як ми це робили в розд. 9, поступово знайти загальну форму орбіти, однак і ця задача розв'язується точно, причому в результаті виходить строго еліптична орбіта. Але, на жаль, таких задач, які можна точно розв'язати за допомогою аналізу, дуже мало. У тому ж гармонічному осциляторі, наприклад, якщо сила пружини не буде пропорційна відхиленню від положення рівноваги, а виявиться дещо складнішою, ми вже нічого не зможемо вдіяти і будемо змушені звертатися до чисельного розрахунку. Або, наприклад, якщо навколо Сонця обертається не одна планета, а дві (тобто маємо всього три тіла, що взаємодіють одне з одним), то нам не вдасться знайти аналітичну форму такого руху, і насправді задача теж розв'язується чисельно. Це знаменита проблема трьох тіл, над якою впродовж тривалого часу билися найкращі уми людства. Цікаво, що людям знадобилося чимало часу, поки вони усвідомили обмежені можливості математичного аналізу і необхідність використання числових методів. Зараз за допомогою цих методів розв'язується величезна кількість задач, які не могли бути розв'язані аналітично. Та сама знаменита проблема трьох тіл, розв'язання якої вважалося дуже складним, у числовому методі виглядає найзвичайнісінькою задачкою і розв'язується способом, описаним у попередньому розділі, тобто за допомогою великої кількості арифметичних дій. Однак є ситуації, коли обидва методи виявляються безсилі: прості задачі розв'язуються аналітично, а задачі складніші — числовим арифметичним методом, але дуже складні задачі неможливо розв'язати ні так, ні сяк. Візьміть, наприклад, складну задачу зіткнення двох автомобілів або навіть рух молекул газу. У кубічному міліметрі газу міститься незліченна кількість частинок, і було б божевіллям намагатися розв'язувати задачу з такою кількістю змінних (близько 1017, тобто сто мільйонів мільярдів!). Так само складна задача про рух зір у кульовому скупченні, де замість двох або трьох планет, що рухаються навколо Сонця, зібрано величезну кількість зір. Ці проблеми не можна розв'язати прямими методами, і потрібно шукати якісь інші шляхи. За такого стану речей, коли детальний розгляд неможливий, корисно знати деякі загальні властивості, тобто загальні теореми або принципи, які є наслідком законів Ньютона. Один із таких принципів — це закон збереження енергії, який ми обговорювали в розд. 4. Другим принципом є закон збереження імпульсу, якому присвячено цей розділ. Інша причина необхідності подальшого вивчення механіки — це існування деяких загальних властивостей руху, які повторюються за різних обставин; тож корисно вивчити цю властивість на якомусь одному окремому випадку. Ми, наприклад, вивчатимемо зіткнення; різні види зіткнень мають багато спільного. Або візьмемо течію рідини, байдуже якої; закони течії різних рідин мають багато спільного. Ще один приклад, який ми вивчатимемо,— це коливання, або осциляції, зокрема властивості механічних хвиль: звуку, коливань стрижнів тощо. Коли ми обговорювали закони Ньютона, то вже говорили про те, що вони являють собою свого роду програму, яка закликає нас звернути особливу увагу на сили. Але про самі сили Ньютон сказав лише дві речі. Він повністю сформулював закон для сил тяжіння, але майже нічого не знав про складніші сили, наприклад про сили між атомами. Однак він відкрив одне правило, одну загальну властивість усіх сил, яка становить Третій закон. Отже, все, що Ньютон знав про природу сил,— це закон тяжіння і загальний принцип, який говорить:
Сила дії дорівнює силі протидії. Означає це приблизно ось що. Нехай є два маленьких тіла, скажімо дві частинки, і нехай перша з них штовхає другу з якоюсь силою. Тоді відповідно до Третього закону Ньютона друга частинка штовхатиме першу з тією самою силою, але в протилежний бік. Більше того, ці сили діятимуть уздовж однієї й тієї самої лінії. Ця гіпотеза, або, якщо хочете, закон, запропонований Ньютоном, виконується з великою точністю, хоча, втім, він не абсолютно точний (із порушеннями його ми познайомимося пізніше). Зараз, однак, ми вважатимемо його цілком точним. Звісно, якщо є ще третя частинка, розташована не на тій самій лінії, що й перші дві, то закон зовсім не означає, що сила, яка діє на першу частинку, дорівнює повній силі, що діє на другу. Адже ця третя частинка може штовхати перші дві, унаслідок чого повна сила, яка діє на першу частинку, буде спрямована інакше і, взагалі кажучи, не буде ні рівною, ні протилежною силі, що діє на другу частинку. Однак повну силу, яка діє на кожну з частинок, можна розкласти на дві складові, які являють собою сили, що діють між кожною парою частинок. Ці компоненти сили для кожної пари частинок мають бути рівними за величиною і протилежними за напрямком.
Одна з таких задач — рух планети навколо Сонця. Можна, звісно, так само, як ми це робили в розд. 9, поступово знайти загальну форму орбіти, однак і ця задача розв'язується точно, причому в результаті виходить строго еліптична орбіта. Але, на жаль, таких задач, які можна точно розв'язати за допомогою аналізу, дуже мало. У тому ж гармонічному осциляторі, наприклад, якщо сила пружини не буде пропорційна відхиленню від положення рівноваги, а виявиться дещо складнішою, ми вже нічого не зможемо вдіяти і будемо змушені звертатися до чисельного розрахунку. Або, наприклад, якщо навколо Сонця обертається не одна планета, а дві (тобто маємо всього три тіла, що взаємодіють одне з одним), то нам не вдасться знайти аналітичну форму такого руху, і насправді задача теж розв'язується чисельно. Це знаменита проблема трьох тіл, над якою впродовж тривалого часу билися найкращі уми людства. Цікаво, що людям знадобилося чимало часу, поки вони усвідомили обмежені можливості математичного аналізу і необхідність використання числових методів. Зараз за допомогою цих методів розв'язується величезна кількість задач, які не могли бути розв'язані аналітично. Та сама знаменита проблема трьох тіл, розв'язання якої вважалося дуже складним, у числовому методі виглядає найзвичайнісінькою задачкою і розв'язується способом, описаним у попередньому розділі, тобто за допомогою великої кількості арифметичних дій. Однак є ситуації, коли обидва методи виявляються безсилі: прості задачі розв'язуються аналітично, а задачі складніші — числовим арифметичним методом, але дуже складні задачі неможливо розв'язати ні так, ні сяк. Візьміть, наприклад, складну задачу зіткнення двох автомобілів або навіть рух молекул газу. У кубічному міліметрі газу міститься незліченна кількість частинок, і було б божевіллям намагатися розв'язувати задачу з такою кількістю змінних (близько 1017, тобто сто мільйонів мільярдів!). Так само складна задача про рух зір у кульовому скупченні, де замість двох або трьох планет, що рухаються навколо Сонця, зібрано величезну кількість зір. Ці проблеми не можна розв'язати прямими методами, і потрібно шукати якісь інші шляхи. За такого стану речей, коли детальний розгляд неможливий, корисно знати деякі загальні властивості, тобто загальні теореми або принципи, які є наслідком законів Ньютона. Один із таких принципів — це закон збереження енергії, який ми обговорювали в розд. 4. Другим принципом є закон збереження імпульсу, якому присвячено цей розділ. Інша причина необхідності подальшого вивчення механіки — це існування деяких загальних властивостей руху, які повторюються за різних обставин; тож корисно вивчити цю властивість на якомусь одному окремому випадку. Ми, наприклад, вивчатимемо зіткнення; різні види зіткнень мають багато спільного. Або візьмемо течію рідини, байдуже якої; закони течії різних рідин мають багато спільного. Ще один приклад, який ми вивчатимемо,— це коливання, або осциляції, зокрема властивості механічних хвиль: звуку, коливань стрижнів тощо. Коли ми обговорювали закони Ньютона, то вже говорили про те, що вони являють собою свого роду програму, яка закликає нас звернути особливу увагу на сили. Але про самі сили Ньютон сказав лише дві речі. Він повністю сформулював закон для сил тяжіння, але майже нічого не знав про складніші сили, наприклад про сили між атомами. Однак він відкрив одне правило, одну загальну властивість усіх сил, яка становить Третій закон. Отже, все, що Ньютон знав про природу сил,— це закон тяжіння і загальний принцип, який говорить:
Сила дії дорівнює силі протидії. Означає це приблизно ось що. Нехай є два маленьких тіла, скажімо дві частинки, і нехай перша з них штовхає другу з якоюсь силою. Тоді відповідно до Третього закону Ньютона друга частинка штовхатиме першу з тією самою силою, але в протилежний бік. Більше того, ці сили діятимуть уздовж однієї й тієї самої лінії. Ця гіпотеза, або, якщо хочете, закон, запропонований Ньютоном, виконується з великою точністю, хоча, втім, він не абсолютно точний (із порушеннями його ми познайомимося пізніше). Зараз, однак, ми вважатимемо його цілком точним. Звісно, якщо є ще третя частинка, розташована не на тій самій лінії, що й перші дві, то закон зовсім не означає, що сила, яка діє на першу частинку, дорівнює повній силі, що діє на другу. Адже ця третя частинка може штовхати перші дві, унаслідок чого повна сила, яка діє на першу частинку, буде спрямована інакше і, взагалі кажучи, не буде ні рівною, ні протилежною силі, що діє на другу частинку. Однак повну силу, яка діє на кожну з частинок, можна розкласти на дві складові, які являють собою сили, що діють між кожною парою частинок. Ці компоненти сили для кожної пари частинок мають бути рівними за величиною і протилежними за напрямком.